（2025·太原月考）如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ABC = 90°$, 将 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 沿着斜边 $AC$ 翻折得到 $\mathrm{Rt}△ ADC$,点 $E,F$ 分别是射线 $CB$、射线 $DC$ 上的点,且 $∠ EAF = \dfrac{1}{2}∠ DAB$.
(1)初步探索:如图①,点 $F$ 在线段 $DC$ 上,试探究线段 $BE,DF,EF$ 之间的数量关系.
小华同学探究此问题的思路是:延长 $CD$ 至点 $M$,使得 $DM = BE$,连接 $AM$,先证明 $△ ADM ≌ △ ABE$,再证明 $△ MAF ≌ △ EAF$,请你根据该思路探究 $BE,DF,EF$ 之间的数量关系,并说明理由;
(2)探索延伸:如图②,点 $F$ 在线段 $DC$ 的延长线上,$BE,DF,EF$ 之间的数量关系是 ______;
(3)灵活运用:在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,若 $AB = 6,BC = 8,AC = 10,DC = 3CF$,则 $△ CEF$ 的周长为 ______.

(1) $EF = BE + DF$. 理由: 如图①, 延长 CD 至点 M, 使得 $DM = BE$, 连接 AM,
∵ 将 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 沿着斜边 AC 翻折得到 $\mathrm{Rt}△ ADC$,
∴ $AB = AD$, $∠ B = ∠ ADC = 90°$,
∴ $∠ B = ∠ ADM = 90°$,
∴ $△ ADM ≌ △ ABE$ (SAS),
∴ $∠ BAE = ∠ DAM$, $AE = AM$.
∵ $∠ EAF = \frac{1}{2}∠ DAB$,
∴ $∠ BAE + ∠ DAF = \frac{1}{2}∠ BAD$,
∴ $∠ DAF + ∠ DAM = ∠ FAM = \frac{1}{2}∠ BAD = ∠ EAF$. 又
∵ $AF = AF$,
∴ $△ MAF ≌ △ EAF$ (SAS),
∴ $EF = FM = FD + DM = FD + BE$.
(2) $EF = FD - BE$ 解析: 如图②, 在 CD 上截取 $DM = BE$, 连接 AM,
∵ 将 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 沿着斜边 AC 翻折得到 $\mathrm{Rt}△ ADC$,
∴ $AB = AD$, $∠ ABC = ∠ ADC = 90°$,
∴ $∠ ABE = ∠ ADM = 90°$,
∴ $△ ADM ≌ △ ABE$ (SAS),
∴ $∠ BAE = ∠ DAM$, $AE = AM$.
∵ $∠ EAF = \frac{1}{2}∠ DAB$,
∴ $∠ EAB + ∠ BAF = \frac{1}{2}∠ DAB$,
∴ $∠ DAM + ∠ BAF = \frac{1}{2}∠ DAB$,
∴ $∠ MAF = \frac{1}{2}∠ BAD$,
∴ $∠ MAF = ∠ EAF$. 又
∵ $AF = AF$,
∴ $△ MAF ≌ △ EAF$ (SAS),
∴ $EF = FM = FD - DM = FD - BE$.
(3) $16$ 或 $\frac{64}{3}$ 解析: 当点 F 在线段 DC 上时, 如图③, 易得 $△ CEF$ 的周长为 $CE + CF + EF = CE + CF + DF + DM = CE + CD + BE = BC + CD = 2BC = 16$;
当点 F 在线段 DC 的延长线上时, 如图④, 易得 $△ CEF$ 的周长为 $CE + CF + EF = BC + BE + CF + FM = BC + DM + CF + FM = BC + DF + CF = 2BC + 2CF = 2BC + \frac{2}{3}DC = \frac{8}{3}BC = \frac{64}{3}$. 综上所述, $△ CEF$ 的周长为 $16$ 或 $\frac{64}{3}$.