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7. 已知 $a,b,c$ 为三角形的三边长，则 $b+a+c$
＞
$2a$（填“$＞$”“$＜$”或“$=$”）。答案
＞
8. 如图，$P$ 为 $△ ABC$ 内任意一点，求证：$AB+$$AC＞PB+PC$.
答案
如图,延长BP交AC于点D，
在△ABD中,PB+PD＜AB+AD①,在△PCD中,PC＜PD+CD②,由①+②,得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD,
即PB+PC＜AB+AC,
即AB+AC＞PB+PC.
9. 已知线段 $AB=8\ \mathrm{cm},BC=3\ \mathrm{cm}.$
(1)线段 $AC$ 的长度
(2)是否存在使 $A,C$ 之间的距离最短的情形?若存在,求出此时 $AC$ 的长度;若不存在,说明理由.
(3)能比较 $AB+BC$ 与 $AC$ 的大小吗? 为什么?
(1)线段 $AC$ 的长度
不能
确定.(填“能”或“不能”)(2)是否存在使 $A,C$ 之间的距离最短的情形?若存在,求出此时 $AC$ 的长度;若不存在,说明理由.
(3)能比较 $AB+BC$ 与 $AC$ 的大小吗? 为什么?
答案
(1)不能
(2)存在使A,C之间的距离最短的情形,此时AC=AB-BC=8-3=5(cm).
(3)能.理由如下:
①当点C在线段AB的延长线上时,AB+BC=AC;
②当点C在线段AB上时,AB+BC＞AC;
③当点C在直线AB外时,AB+BC＞AC,因为三角形两边之和大于第三边.
综上所述,AB+BC≥AC.故能比较AB+BC与AC的大小.
(2)存在使A,C之间的距离最短的情形,此时AC=AB-BC=8-3=5(cm).
(3)能.理由如下:
①当点C在线段AB的延长线上时,AB+BC=AC;
②当点C在线段AB上时,AB+BC＞AC;
③当点C在直线AB外时,AB+BC＞AC,因为三角形两边之和大于第三边.
综上所述,AB+BC≥AC.故能比较AB+BC与AC的大小.
10. 中考新考法 类比探究 观察并探索下列各问题，写出你通过观察得到的结论.
(1) 如图(1)，在$△ ABC$中，$P$为边$BC$上一点，则$BP+PC$
(2) 如图(2)，试观察比较四边形$BP_1P_2C$的周长与$△ ABC$的周长的大小，并说明理由.
精题详解
(1) 如图(1)，在$△ ABC$中，$P$为边$BC$上一点，则$BP+PC$
＜
$AB+AC$；(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)(2) 如图(2)，试观察比较四边形$BP_1P_2C$的周长与$△ ABC$的周长的大小，并说明理由.
精题详解
答案
(1)＜
(2)四边形$BP_1P_2C$的周长$＜△ABC$的周长.理由如下:
如图,分别延长$BP_1,CP_2$交于点M，
,易知,$BM+CM＜AB+AC$.又$P_1P_2＜P_1M+P_2M$,所以$BP_1+P_1P_2+P_2C＜BM+CM＜AB+AC$,所以四边形$BP_1P_2C$的周长$＜△ABC$的周长.