1. 图1是一根起点为1且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成图2，弯折后落在虚线上的点，从起点开始往右上方第一个数是1，第二个数是13，第三个数是57……依此规律，落在虚线上的第六个点对应的数是（）


A.241
B.247
C.363
D.381

1. D 提示:第一个数为1,第二个数为1+2+4+6=13,第三个数为13+8+10+12+14=57,第四个数为57+16+18+20+22=133,第五个数为133+24+26+28+30=241,第六个数为241+32+34+36+38=381.

【分析】
这是一道结合图形的数列规律探究题，解题思路如下：1. 先把题目给出的前三个落在虚线上的数整理出来：1、13、57，计算相邻两个数的差值，拆解差值的组成，观察差值是由哪些数相加得到的；2. 对比拆解出的加数，找到累加部分的规律：第一个数是初始值1，第二个数是1加上2、4、6三个连续偶数的和，第三个数是13加上8、10、12、14四个连续偶数的和，后续每两个相邻虚线上的点之间的增量都是4个连续偶数相加，且每组偶数的起始值依次递增8；3. 按照这个规律依次递推计算第4、5、6个点对应的数值，即可得到最终结果。
【解析】
我们按照规律逐步计算：
1. 第1个点对应的数：$a_1=1$
2. 第2个点对应的数：$a_2=1+2+4+6=13$
3. 第3个点对应的数：$a_3=13+8+10+12+14=57$
4. 第4个点对应的数：$a_4=57+16+18+20+22=133$
5. 第5个点对应的数：$a_5=133+24+26+28+30=241$
6. 第6个点对应的数：$a_6=241+32+34+36+38=381$
最终结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
数列规律探究，偶数求和
【点评】
本题属于中等难度的规律探究题，核心是通过对已知项的拆分找到累加增量的规律，不需要推导复杂通项，逐步递推即可求解，解题时要注意核对每组累加的偶数的数值和个数，避免计算错误。
【难度系数】
0.4

2. 如图,有一无弹性细线,拉直时测得细线$AB$的长为 20 cm,现进行如下操作:
(1) 在细线上任取一点$C$;(2) 将细线折叠,使点$A$与点$C$重合,记折点为$E$,不还原;(3) 将细线另一侧继续折叠,使点$B$与点$C$重合,记折点为$F$,不还原;(4) 继续进行折叠,使点$E$与点$F$重合,记折点为$M$,从点$M$处把细线剪开,使细线分成长为$a\ \mathrm{cm},b\ \mathrm{cm},c\ \mathrm{cm}$的三段,其中$a＜b＜c$.当$a:b=1:4$时,细线未折之前线段$AC$的长为cm.

2. 14或6 提示:由题意可知,a＜b＜c,细线剪开后分为AM',MM',MB三段.如图1,当MM'=c cm，AM'=a cm,MB=b cm时,因为AB=20 cm,所以AM'+MB=M'M=20÷2=10(cm),所以a+b=10 cm. 因为a:b=1:4,所以a=1/(1+4)×10=2,所以b=10-2=8. 因为AM'+FB=MC+CF=10÷2=5(cm),CF=FB,所以MC=AM'=2 cm,所以AC=MM'+MC+AM'=10+2+2=14(cm).如图2，当MM'=c cm,BM'=a cm,MA=b cm时,因为AB=20 cm,所以BM'+MA=M'M=20÷2=10(cm),所以a+b=10 cm. 因为a:b=1:4,所以a=1/(1+4)×10=2，所以b=10-2=8. 因为BM'+AE=EC+CM=10÷2=5(cm),AE=EC,所以MC=BM'=2 cm,AE=EC=3 cm,所以AC=AE+EC=3+3=6(cm).

【分析】
解题时首先从折叠的性质入手，第一步折叠A与C重合，可直接得到折点E是线段AC的中点；第二步折叠B与C重合，折点F是线段BC的中点，由此可以算出EF的长度恒等于AB长度的一半，也就是10cm，这是本题的核心突破口。接下来第三步折叠E与F重合，折点M是EF的中点，从M剪开细线得到三段，结合总长度20cm和a:b=1:4的条件，分两种位置情况讨论：短段a靠近A侧、短段a靠近B侧，分别计算对应的AC长度，即可得到全部结果。
【解析】
解：设AC的长度为x cm，则BC的长度为(20-x) cm。
1. 由折叠的性质：
将A与C重合折叠，折点E为AC中点，因此$AE=EC=\frac{x}{2}\ \mathrm{cm}$；
将B与C重合折叠，折点F为BC中点，因此$BF=FC=\frac{20-x}{2}\ \mathrm{cm}$。
因此$EF=EC+CF=\frac{x}{2}+\frac{20-x}{2}=10\ \mathrm{cm}$，即EF的长度恒为10cm，与点C的位置无关。
2. 将E与F重合折叠，折点M为EF中点，因此$EM=MF=5\ \mathrm{cm}$，从M处剪开细线得到三段长度a、b、c，满足$a＜b＜c$，且$a+b+c=20\ \mathrm{cm}$。
已知$a:b=1:4$，设$a=k$，$b=4k$，由剪开后中间段长度$c=EF=10\ \mathrm{cm}$，可得$a+b=20-10=10\ \mathrm{cm}$，即$k+4k=10$，解得$k=2$，因此$a=2\ \mathrm{cm}$，$b=8\ \mathrm{cm}$。
分两种情况计算AC的长度：
① 当短段a靠近点A，长段b靠近点B时：
$a=EC-EM=\frac{x}{2}-5=2$，解得$\frac{x}{2}=7$，$x=14$，即$AC=14\ \mathrm{cm}$；
② 当短段a靠近点B，长段b靠近点A时：
$a=FC-MF=\frac{20-x}{2}-5=2$，解得$\frac{20-x}{2}=7$，$20-x=14$，$x=6$，即$AC=6\ \mathrm{cm}$。
综上，AC的长为14cm或6cm。
【答案】
14或6
【知识点】
折叠的性质，线段中点，线段和差计算
【点评】
本题属于线段折叠的分类讨论问题，核心突破口是先推导得到EF恒为10cm，大幅简化运算，学生解题时容易忽略短段a的两种不同位置，漏算其中一个解，需要注意分类讨论的完整性，结合a＜b＜c的条件验证结果合理性。
【难度系数】
0.3

3. 根据以下素材,探索完成任务.

（续表）

某同学在数学实验课上将一副三角板按图1、图2方式摆放,使得边 AC 与边 EF 重合,在上述所拼图形中,图 1 中,$∠ BAD$ 的度数为°,图 2 中,$∠ BAD$ 的度数为°.
将三角板按图 2 方式摆放(点 C 与点 E 重合),现将三角板 ABC 固定不动,三角板 DEF 绕点 C以每秒 $30°$的速度顺时针旋转一周. 在旋转过程中,当边 EF 所在的直线恰好平分$∠ BCA$时,旋转的时间是多少秒?
将三角板按图 3 方式摆放(点 C 与点 E 重合),$∠ ACF=20°$,现将三角板 DEF 绕点 C 以每秒$30°$的速度顺时针旋转,同时将三角板 ABC 也绕着点 C 以每秒 $5°$的速度顺时针旋转,当三角板DEF 旋转一周时,两个三角板同时停止运动. 在旋转过程中,当边 EF 所在直线与边 AB 所在直线垂直时,旋转的时间是多少秒?

3. 任务1 75 15
任务2 解:①如图1,当EF平分∠BCA时,∠ACF=1/2∠ACB=45°,旋转时间为45°÷30°=1.5(s).
②如图2,当EF的反向延长线EG平分∠BCA时,旋转角为∠ACG + 180°=1/2∠ACB + 180°=225°,旋转时间为225°÷30°=7.5(s).
综上,在旋转过程中,当边EF所在的直线恰好平分∠BCA时,旋转的时间是1.5 s或7.5 s.


任务3 解:设旋转时间为t s.
①如图3,当EF⊥AB于点G时,∠MCF=30t°,∠MCA=(20+5t)°. 因为∠AGC=90°,∠A=30°,所以∠ACF=90°-30°=60°.又因为∠ACF=∠MCF-∠MCA,所以30t-(20+5t)=60,解得t=3.2.
②如图4,当EF的反向延长线EG⊥AB于点G时,∠MCG + 180°=30t°,∠MCA=(20+5t)°. 因为∠AGC=90°,∠A=30°,所以∠ACG=90°-30°=60°. 因为∠ACG + 180°=60°+180°=240°,又因为∠ACG + 180°=∠MCG + 180°-∠MCA,所以30t-(20+5t)=240,解得t=10.4.
综上所述,当边EF所在直线与边AB所在直线垂直时,旋转的时间是3.2 s或10.4 s.

【分析】
我们可以分三个任务逐步梳理解题思路：
1. 任务1求∠BAD的度数：首先明确常规两款三角板的内角度数，含45°的三角板∠BAC=45°，含30°的三角板∠CAF=30°。图1中两个角在AC两侧，角度相加得到75°；图2中两个角在AC同侧，角度相减得到15°，直接得出结果。
2. 任务2求单旋转的时间：已知∠BCA=90°，题干限定是EF所在直线平分该角，不是仅射线EF，因此分两种情况：第一种是EF本身作为角平分线，此时旋转角度为45°，用角度除以转速30°/s得到对应时间；第二种是EF的反向延长线作为角平分线，总旋转角为45°+180°=225°，再除以转速得到第二个时间，避免漏解。
3. 任务3求双旋转的时间：设旋转时间为t，先表示出两个三角板各自转过的角度，DEF转过30t°，ABC转过5t°，初始∠ACF=20°，同样分两种EF所在直线和AB垂直的情况，利用直角三角形两锐角互余得到对应角的度数关系，列一元一次方程求解，同时验证t的取值在DEF旋转一周的12s范围内即可。
【解析】
分三个任务逐一规范解答：
任务1：
结合三角板固有角度：∠BAC=45°，∠CAF=30°，图1中∠BAD=∠BAC+∠CAF=45°+30°=75°；图2中∠BAD=∠BAC-∠CAF=45°-30°=15°。
任务2：
已知∠ACB=90°，EF所在直线平分∠BCA，分两类讨论：
① 当EF本身平分∠BCA时，∠ACF=1/2∠ACB=45°，旋转角为45°，旋转时间为45°÷30°=1.5(s)。
② 当EF的反向延长线EG平分∠BCA时，旋转角为1/2∠ACB + 180°=45°+180°=225°，旋转时间为225°÷30°=7.5(s)。
综上，EF所在直线恰好平分∠BCA时，旋转时间为1.5s或7.5s。
任务3：
设旋转时间为t s，DEF旋转一周总时长为360°÷30°=12s，即0＜t≤12。
① 当EF⊥AB于点G时，∠MCF=30t°，∠MCA=(20+5t)°，由∠A=30°，∠AGC=90°，得∠ACF=90°-30°=60°，根据角度差关系：30t-(20+5t)=60，解得t=3.2，符合t的取值范围。
② 当EF的反向延长线EG⊥AB于点G时，∠A=30°，∠AGC=90°，得∠ACG=60°，此时总旋转角满足30t-(20+5t)=60+180=240，解得t=10.4，符合t的取值范围。
综上，EF所在直线与AB所在直线垂直时，旋转时间为3.2s或10.4s。
【答案】
任务1 75 15
任务2 解:①如图1,当EF平分∠BCA时,∠ACF=1/2∠ACB=45°,旋转时间为45°÷30°=1.5(s).
②如图2,当EF的反向延长线EG平分∠BCA时,旋转角为∠ACG + 180°=1/2∠ACB + 180°=225°,旋转时间为225°÷30°=7.5(s).
综上,在旋转过程中,当边EF所在的直线恰好平分∠BCA时,旋转的时间是1.5 s或7.5 s.


任务3 解:设旋转时间为t s.
①如图3,当EF⊥AB于点G时,∠MCF=30t°,∠MCA=(20+5t)°. 因为∠AGC=90°,∠A=30°,所以∠ACF=90°-30°=60°.又因为∠ACF=∠MCF-∠MCA,所以30t-(20+5t)=60,解得t=3.2.
②如图4,当EF的反向延长线EG⊥AB于点G时,∠MCG + 180°=30t°,∠MCA=(20+5t)°. 因为∠AGC=90°,∠A=30°,所以∠ACG=90°-30°=60°. 因为∠ACG + 180°=60°+180°=240°,又因为∠ACG + 180°=∠MCG + 180°-∠MCA,所以30t-(20+5t)=240,解得t=10.4.
综上所述,当边EF所在直线与边AB所在直线垂直时,旋转的时间是3.2 s或10.4 s.


【知识点】
三角板角度运算，旋转的性质，角平分线定义
【点评】
本题是三角板旋转类的动态几何综合题，从基础静态角度计算逐步升级到单旋转、双旋转的动态问题，核心要注意题干中“直线”的限定条件，不能只考虑射线的位置导致漏解，同时结合方程思想将角度动态关系转化为代数方程求解，对学生的分类讨论能力和几何直观有较好的考察作用。
【难度系数】
0.3