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1. 光线从空气射入水中时,传播方向会发生改变,这就是折射现象. 如图,$MN// EF$,光线$AB$从空气射入水中时发生了折射,沿$BC$射到水底$C$处. 若$∠ 1+∠ 3=100°$,则$∠ 2-∠ 1$的度数为（
A.$60°$
B.$75°$
C.$80°$
D.$90°$
C
）A.$60°$
B.$75°$
C.$80°$
D.$90°$
答案
1. C 提示: 因为 $MN // EF$, 所以 $∠ 2 + ∠ 3 = 180°$①, 因为 $∠ 1 + ∠ 3 = 100°$②, 所以①$-$②, 得 $∠ 2 - ∠ 1 = 80°$.
解析
【分析】
首先梳理已知条件，题目给出MN平行于EF，我们可以先回忆平行线的性质，两直线平行时同旁内角互补，因此可以直接得到∠2和∠3的和为180°。题目还额外给出了∠1+∠3=100°，要求∠2-∠1的度数，不需要分别计算∠1、∠2的具体数值，直接将两个等式左右两边分别相减，就可以消去公共的∠3，直接得到∠2-∠1的结果，快速完成求解。
【解析】
解：
∵ $MN// EF$，根据两直线平行，同旁内角互补
∴ $∠ 2 + ∠ 3 = 180°$ ①
已知 $∠ 1 + ∠ 3 = 100°$ ②
将①式减去②式，可得：
$(∠ 2 + ∠ 3) - (∠ 1 + ∠ 3) = 180° - 100°$
化简后得：$∠ 2 - ∠ 1 = 80°$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线同旁内角互补，等式的性质
【点评】
本题结合物理光的折射的实际场景设置问题，核心考查平行线性质的灵活应用，不需要单独求解各个未知角的具体度数，通过两个等式作差直接得到所求的角度差值，运算过程简洁，能锻炼学生灵活简化计算的思维能力。
【难度系数】
0.8
首先梳理已知条件，题目给出MN平行于EF，我们可以先回忆平行线的性质，两直线平行时同旁内角互补，因此可以直接得到∠2和∠3的和为180°。题目还额外给出了∠1+∠3=100°，要求∠2-∠1的度数，不需要分别计算∠1、∠2的具体数值，直接将两个等式左右两边分别相减，就可以消去公共的∠3，直接得到∠2-∠1的结果，快速完成求解。
【解析】
解：
∵ $MN// EF$，根据两直线平行，同旁内角互补
∴ $∠ 2 + ∠ 3 = 180°$ ①
已知 $∠ 1 + ∠ 3 = 100°$ ②
将①式减去②式，可得：
$(∠ 2 + ∠ 3) - (∠ 1 + ∠ 3) = 180° - 100°$
化简后得：$∠ 2 - ∠ 1 = 80°$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线同旁内角互补，等式的性质
【点评】
本题结合物理光的折射的实际场景设置问题，核心考查平行线性质的灵活应用，不需要单独求解各个未知角的具体度数，通过两个等式作差直接得到所求的角度差值，运算过程简洁，能锻炼学生灵活简化计算的思维能力。
【难度系数】
0.8
2. 已知在数轴上有一点A,将点A向右移动3个单位长度得到点B,点B向右移动5个单位长度得到点C,点A,B,C分别表示有理数a,b,c.若a,b,c三个数的乘积为正数且这三个数的和与其中的一个数相等,则a的值是
$-\dfrac{11}{2}$或-4
.答案
2. $-\dfrac{11}{2}$或$-4$ 提示:根据题意,得 $b = a + 3$,$c = a + 8$,三个数的和 $S = 3a + 11$. 当 $S = a$ 时,$3a + 11 = a$,解得 $a = -\dfrac{11}{2}$,此时 $a = -\dfrac{11}{2}$,$b = -\dfrac{5}{2}$,$c = \dfrac{5}{2}$,三个数的乘积 $abc = (-\dfrac{11}{2})×(-\dfrac{5}{2})×\dfrac{5}{2} = \dfrac{275}{8}＞0$,符合题意;当 $S = b$ 时,$3a + 11 = a + 3$,解得 $a = -4$,此时 $a = -4$,$b = -1$,$c = 4$,三个数的乘积 $abc = (-4)×(-1)×4 = 16＞0$,符合题意;当 $S = c$ 时,$3a + 11 = a + 8$,解得 $a = -\dfrac{3}{2}$,此时 $a = -\dfrac{3}{2}$,$b = \dfrac{3}{2}$,$c = \dfrac{13}{2}$,三个数的乘积 $abc = (-\dfrac{3}{2})×\dfrac{3}{2}×\dfrac{13}{2} = -\dfrac{117}{8}＜0$,不符合题意. 综上,$a$ 的值为 $-\dfrac{11}{2}$ 或 $-4$.
解析
【分析】
首先根据数轴上点向右移动的坐标变化规律：右移几个单位，对应的数就增加几，先把b、c都用a表示出来，得到b=a+3，c=a+8。接下来处理条件“三个数的和与其中的一个数相等”，这个条件没有指定和等于哪一个数，因此需要分三类情况讨论：和等于a、和等于b、和等于c，分别解出对应a的值后，再结合“三个数乘积为正数”的附加条件逐一验证，筛掉不符合要求的解，最终得到所有符合题意的a的值。
【解析】
解：根据数轴上点的移动规则，点A向右移动3个单位得到B，因此$b = a + 3$；点B向右移动5个单位得到C，因此$c = b + 5 = a + 3 + 5 = a + 8$。
三个数的和为：$S = a + b + c = a + (a+3) + (a+8) = 3a + 11$。
分三种情况讨论：
1. 当和$S = a$时：
列方程得$3a + 11 = a$，
移项计算得$2a = -11$，解得$a = -\dfrac{11}{2}$。
代入验证乘积：此时$a=-\dfrac{11}{2}$，$b=-\dfrac{5}{2}$，$c=\dfrac{5}{2}$，$abc=(-\dfrac{11}{2})×(-\dfrac{5}{2})×\dfrac{5}{2}=\dfrac{275}{8}＞0$，满足乘积为正的条件，符合题意。
2. 当和$S = b$时：
列方程得$3a + 11 = a + 3$，
移项计算得$2a = -8$，解得$a = -4$。
代入验证乘积：此时$a=-4$，$b=-1$，$c=4$，$abc=(-4)×(-1)×4=16＞0$，满足乘积为正的条件，符合题意。
3. 当和$S = c$时：
列方程得$3a + 11 = a + 8$，
移项计算得$2a = -3$，解得$a = -\dfrac{3}{2}$。
代入验证乘积：此时$a=-\dfrac{3}{2}$，$b=\dfrac{3}{2}$，$c=\dfrac{13}{2}$，$abc=(-\dfrac{3}{2})×\dfrac{3}{2}×\dfrac{13}{2}=-\dfrac{117}{8}＜0$，不满足乘积为正的条件，舍去该解。
综上，符合题意的a的值为$-\dfrac{11}{2}$或$-4$。
【答案】
$-\dfrac{11}{2}$或$-4$
【知识点】
数轴点的平移，有理数乘法符号，一元一次方程
【点评】
本题属于数轴与代数结合的分类讨论题型，核心易错点有两处：一是容易漏分情况，没有覆盖“和等于三个数中任意一个”的所有可能性，导致漏解；二是解出a的值后忘记用“乘积为正数”的附加条件验证，保留不符合要求的错误解。解题时要注意，遇到未指定具体对象的条件时，要先做全分类，再逐一验证约束条件筛选结果。
【难度系数】
0.4
首先根据数轴上点向右移动的坐标变化规律：右移几个单位，对应的数就增加几，先把b、c都用a表示出来，得到b=a+3，c=a+8。接下来处理条件“三个数的和与其中的一个数相等”，这个条件没有指定和等于哪一个数，因此需要分三类情况讨论：和等于a、和等于b、和等于c，分别解出对应a的值后，再结合“三个数乘积为正数”的附加条件逐一验证，筛掉不符合要求的解，最终得到所有符合题意的a的值。
【解析】
解：根据数轴上点的移动规则，点A向右移动3个单位得到B，因此$b = a + 3$；点B向右移动5个单位得到C，因此$c = b + 5 = a + 3 + 5 = a + 8$。
三个数的和为：$S = a + b + c = a + (a+3) + (a+8) = 3a + 11$。
分三种情况讨论：
1. 当和$S = a$时：
列方程得$3a + 11 = a$，
移项计算得$2a = -11$，解得$a = -\dfrac{11}{2}$。
代入验证乘积：此时$a=-\dfrac{11}{2}$，$b=-\dfrac{5}{2}$，$c=\dfrac{5}{2}$，$abc=(-\dfrac{11}{2})×(-\dfrac{5}{2})×\dfrac{5}{2}=\dfrac{275}{8}＞0$，满足乘积为正的条件，符合题意。
2. 当和$S = b$时：
列方程得$3a + 11 = a + 3$，
移项计算得$2a = -8$，解得$a = -4$。
代入验证乘积：此时$a=-4$，$b=-1$，$c=4$，$abc=(-4)×(-1)×4=16＞0$，满足乘积为正的条件，符合题意。
3. 当和$S = c$时：
列方程得$3a + 11 = a + 8$，
移项计算得$2a = -3$，解得$a = -\dfrac{3}{2}$。
代入验证乘积：此时$a=-\dfrac{3}{2}$，$b=\dfrac{3}{2}$，$c=\dfrac{13}{2}$，$abc=(-\dfrac{3}{2})×\dfrac{3}{2}×\dfrac{13}{2}=-\dfrac{117}{8}＜0$，不满足乘积为正的条件，舍去该解。
综上，符合题意的a的值为$-\dfrac{11}{2}$或$-4$。
【答案】
$-\dfrac{11}{2}$或$-4$
【知识点】
数轴点的平移，有理数乘法符号，一元一次方程
【点评】
本题属于数轴与代数结合的分类讨论题型，核心易错点有两处：一是容易漏分情况，没有覆盖“和等于三个数中任意一个”的所有可能性，导致漏解；二是解出a的值后忘记用“乘积为正数”的附加条件验证，保留不符合要求的错误解。解题时要注意，遇到未指定具体对象的条件时，要先做全分类，再逐一验证约束条件筛选结果。
【难度系数】
0.4
3. 综合与实践.
定义:若存在一个常数 $m\ (m＞0)$, 使得$m∠α+∠β=180°$, 则称$∠α$是$∠β$的“$m$级准补角”. 例如: 当$∠α=40°$,$∠β=60°$时, 因为$3∠α+∠β=180°$, 所以$∠α$是$∠β$的“3 级准补角”. (本题中所有角都是大于$0°$且小于$180°$的角)
如图 1, 将长方形纸片 $ABCD$ 沿 $EF$ 折叠(点 $E$ 在边 $AB$ 上, 点 $F$ 在边 $BC$ 上), 使点 $B$ 落在点 $B'$ 的位置.
(1) ① 若$∠ EFB=30°$, 则它的“1 级准补角”的度数是
② $∠ EFB$是$∠ B'FC$的“
(2) 再将纸片沿 $FG$ 折叠(折痕 $FG$ 在 $FB'$的右侧), 点 $C,D$ 分别落在点 $C'$,$D'$的位置.
① 如图 2, 当点 $E,C',F$ 在同一直线上时, 请说明: $∠ AGF$是$∠ EFB$的“2 级准补角”.
② 在 ① 的条件下, 若$∠ B'FC'$是$∠ EFG$的“5 级准补角”, 则$∠ B'FC'=$
③ 若$∠ B'FC'$是$∠ EFG$的“$m$ 级准补角”, 请求出$∠ B'FC'$的度数(用含$m$的代数式表示).
定义:若存在一个常数 $m\ (m＞0)$, 使得$m∠α+∠β=180°$, 则称$∠α$是$∠β$的“$m$级准补角”. 例如: 当$∠α=40°$,$∠β=60°$时, 因为$3∠α+∠β=180°$, 所以$∠α$是$∠β$的“3 级准补角”. (本题中所有角都是大于$0°$且小于$180°$的角)
如图 1, 将长方形纸片 $ABCD$ 沿 $EF$ 折叠(点 $E$ 在边 $AB$ 上, 点 $F$ 在边 $BC$ 上), 使点 $B$ 落在点 $B'$ 的位置.
(1) ① 若$∠ EFB=30°$, 则它的“1 级准补角”的度数是
150
$°$.② $∠ EFB$是$∠ B'FC$的“
2
级准补角”.(2) 再将纸片沿 $FG$ 折叠(折痕 $FG$ 在 $FB'$的右侧), 点 $C,D$ 分别落在点 $C'$,$D'$的位置.
① 如图 2, 当点 $E,C',F$ 在同一直线上时, 请说明: $∠ AGF$是$∠ EFB$的“2 级准补角”.
② 在 ① 的条件下, 若$∠ B'FC'$是$∠ EFG$的“5 级准补角”, 则$∠ B'FC'=$
20
$°$.③ 若$∠ B'FC'$是$∠ EFG$的“$m$ 级准补角”, 请求出$∠ B'FC'$的度数(用含$m$的代数式表示).
答案
3. (1) ① 150 提示:设 $∠ EFB$ 的“1 级准补角”为 $x$, 所以 $x + ∠ EFB = 180°$, 即 $x + 30° = 180°$, 解得 $x = 150°$, 即 $∠ EFB$ 的“1 级准补角”的度数是 $150°$.
② 2 提示: 因为长方形纸片 $ABCD$ 沿 $EF$ 折叠, 所以 $∠ EFB = ∠ EFB'$, 所以 $∠ BFB' = 2∠ EFB$. 因为 $∠ BFB' + ∠ B'FC = 180°$, 所以 $2∠ EFB + ∠ B'FC = 180°$, 所以 $∠ EFB$ 是 $∠ B'FC$ 的“2 级准补角”.
(2) 解:① 因为长方形纸片沿 $FG$ 折叠, 所以 $∠ CFG = ∠ C'FG$, 所以 $AD // BC$, 所以 $∠ AGF = ∠ CFG$. 因为 $∠ C'FG + ∠ CFG + ∠ EFB = 180°$, 所以 $2∠ CFG + ∠ EFB = 180°$, 所以 $2∠ AGF + ∠ EFB = 180°$, 所以 $∠ AGF$ 是 $∠ EFB$ 的“2 级准补角”.
② 20 提示: 因为 $∠ B'FC'$ 是 $∠ EFG$ 的“5 级准补角”, 所以 $5∠ B'FC' + ∠ EFG = 180°$. 由 (2) ① 知, $2∠ CFG + ∠ EFB = 180°$, 因为 $∠ B'FC' = ∠ BFC'$, 所以 $2∠ CFG + ∠ B'FC' = 180°$①. 因为 $∠ EFG = ∠ CFG$, 所以 $5∠ B'FC' + ∠ CFG = 180°$②, 由 $2×$② $-$①, 得 $2(5∠ B'FC' + ∠ CFG) - (2∠ CFG + ∠ B'FC') = 2×180° - 180°$, 即 $9∠ B'FC' = 180°$, 解得 $∠ B'FC' = 20°$.
③ 解: 当点 $E,C',F$ 在同一直线上时, 因为 $∠ B'FC'$ 是 $∠ EFG$ 的“$m$ 级准补角”, 所以 $m∠ B'FC' + ∠ EFG = 180°$. 因为 $∠ EFG = ∠ CFG$, 所以 $m∠ B'FC' + ∠ CFG = 180°$①. 因为 $∠ B' FC' = ∠ EFB$, 由 (2) ① 知, $2∠ CFG + ∠ EFB = 180°$, 所以 $2∠ CFG + ∠ B' FC' = 180°$②, 由 $2×$① $-$ ②, 得 $2(m∠ B'FC' + ∠ CFG) - (2∠ CFG + ∠ B'FC') = 2×180° - 180°$, 即 $2m∠ B'FC' - ∠ B'FC' = 180°$, 整理, 得 $(2m - 1)∠ B'FC' = 180°$, 解得 $∠ B'FC' = \dfrac{180°}{2m - 1}$. 当 $FC'$ 在线段 $FB'$ 右侧时,
, 因为 $∠ B'FC'$ 是 $∠ EFG$ 的“$m$ 级准补角”, 所以 $m∠ B'FC' + ∠ EFG = 180°$. 因为 $∠ EFB = ∠ EFB'$, $∠ CFG = ∠ C'FG$, 所以 $2∠ EFB' + ∠ B'FC' + 2∠ C'FG = 180°$, 所以 $∠ EFB' + ∠ C'FG = \dfrac{180° - ∠ B'FC'}{2}$. 因为 $∠ EFG = ∠ EFB' + ∠ B'FC' + ∠ C'FG$, 所以 $m∠ B'FC' + ∠ EFB' + ∠ B'FC' + ∠ C' FG = 180°$, 则有 $(m + 1)∠ B'FC' + \dfrac{180° - ∠ B'FC'}{2} = 180°$, 整理可得 $2(m + 1)∠ B'FC' + 180° - ∠ B'FC' = 360°$, 即 $(2m + 1)∠ B' FC' = 180°$, 解得 $∠ B'FC' = \dfrac{180°}{2m + 1}$. 当 $FC'$ 在线段 $FB'$ 左侧时, 
, 因为 $∠ B'FC'$ 是 $∠ EFG$ 的“$m$ 级准补角”, 所以 $m∠ B'FC' + ∠ EFG = 180°$. 因为 $∠ EFB = ∠ EFB'$, $∠ CFG = ∠ C' FG$, 所以 $2∠ EFB' - ∠ B'FC' + 2∠ C'FG = 180°$, 所以 $∠ EFB' + ∠ C'FG = \dfrac{180° + ∠ B'FC'}{2}$. 因为 $∠ EFG = ∠ EFB' - ∠ B'FC' + ∠ C' FG$, 所以 $m∠ B'FC' + ∠ EFB' - ∠ B'FC' + ∠ C' FG = 180°$, 则有 $(m - 1)∠ B' FC' + \dfrac{180° + ∠ B'FC'}{2} = 180°$, 整理可得 $2(m - 1)·∠ B'FC' + 180° + ∠ B'FC' = 360°$, 即 $(2m - 1)·∠ B'FC' = 180°$, 解得 $∠ B'FC' = \dfrac{180°}{2m - 1}$.综上所述, $∠ B' FC'$ 的度数为 $\dfrac{180°}{2m - 1}$ 或 $\dfrac{180°}{2m + 1}$.
解析
【分析】
首先先读懂题目给出的“m级准补角”的定义规则：若常数m＞0，满足m∠α + ∠β=180°，则∠α是∠β的m级准补角。解题时结合折叠前后对应角相等、平角为180°、长方形对边平行的性质逐步推导：
1. 第(1)①问直接套1级准补角的定义，即1倍的所求角加已知∠EFB=30°等于180°，直接计算即可。
2. 第(1)②问利用沿EF折叠的性质，得∠EFB=∠EFB'，结合点B、F、C共线，∠BFB'+∠B'FC=180°，代入替换得到2∠EFB + ∠B'FC=180°，即可得到对应的m值。
3. 第(2)①问利用长方形AD//BC的性质，内错角相等得∠AGF=∠CFG，再结合沿FG折叠得∠CFG=∠C'FG，且E、C'、F共线，平角为180°，推导得到2∠AGF + ∠EFB=180°，符合2级准补角的定义即可证明。
4. 第(2)②问结合新定义得到5∠B'FC'+∠EFG=180°，再结合之前推导的2∠CFG + ∠EFB=180°，利用∠EFG=∠CFG，消元即可解出∠B'FC'的度数。
5. 第(2)③问需要分类讨论FC'相对于FB'的不同位置，分别结合折叠性质、平角定义和准补角的定义列方程化简，得到两种情况下的∠B'FC'的表达式。
【解析】
(1) ① 设∠EFB的“1级准补角”为x，根据定义得$1· x + ∠EFB = 180°$，代入∠EFB=30°，得$x+30°=180°$，解得$x=150°$。
② 由折叠性质可知，沿EF折叠后$∠EFB=∠EFB'$，因此$∠BFB'=∠EFB+∠EFB'=2∠EFB$。又因为点B、F、C在同一直线上，$∠BFB'+∠B'FC=180°$，代入得$2∠EFB + ∠B'FC=180°$，符合m级准补角的定义，因此m=2。
(2) ① 证明：因为四边形ABCD是长方形，所以$AD// BC$，由平行线内错角相等得$∠AGF=∠CFG$。由沿FG折叠的性质，得$∠CFG=∠C'FG$。已知点E、C'、F在同一直线上，因此$∠EFB + ∠C'FG + ∠CFG = 180°$，代入$∠CFG=∠C'FG$，得$∠EFB + 2∠CFG =180°$，再替换∠CFG为∠AGF，得$2∠AGF + ∠EFB=180°$，符合“2级准补角”的定义，因此∠AGF是∠EFB的“2级准补角”。
② 根据“5级准补角”的定义，得$5∠B'FC' + ∠EFG =180°$。由①知$∠EFG=∠CFG$，代入得$5∠B'FC' + ∠CFG =180°$ ①。又由折叠性质得$∠EFB=∠EFB'$，且$∠EFB=∠B'FC'$，结合①中$2∠CFG + ∠EFB=180°$，得$2∠CFG + ∠B'FC' =180°$ ②。将①式两边乘2，减去②式，得$10∠B'FC' + 2∠CFG - 2∠CFG - ∠B'FC' = 360° - 180°$，化简得$9∠B'FC'=180°$，解得$∠B'FC'=20°$。
③ 分两种情况讨论：
情况1：当FC'在线段FB'右侧时，由折叠性质得$∠EFB=∠EFB'$，$∠CFG=∠C'FG$，结合平角定义得$2∠EFB' + ∠B'FC' + 2∠C'FG =180°$，整理得$∠EFB' + ∠C'FG = \frac{180°-∠B'FC'}{2}$。又$∠EFG=∠EFB' + ∠B'FC' + ∠C'FG$，代入“m级准补角”定义$m∠B'FC' + ∠EFG=180°$，整理得$(2m+1)∠B'FC'=180°$，解得$∠B'FC'=\frac{180°}{2m+1}$。
情况2：当FC'在线段FB'左侧时，由折叠性质得$∠EFB=∠EFB'$，$∠CFG=∠C'FG$，结合平角定义得$2∠EFB' - ∠B'FC' + 2∠C'FG =180°$，整理得$∠EFB' + ∠C'FG=\frac{180°+∠B'FC'}{2}$。又$∠EFG=∠EFB' - ∠B'FC' + ∠C'FG$，代入“m级准补角”定义$m∠B'FC' + ∠EFG=180°$，整理得$(2m-1)∠B'FC'=180°$，解得$∠B'FC'=\frac{180°}{2m-1}$。
综上，$∠B'FC'$的度数为$\frac{180°}{2m-1}$或$\frac{180°}{2m+1}$。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{150}$；② $\boldsymbol{2}$
(2) ① 证明如上；② $\boldsymbol{20}$；③ $\boldsymbol{∠ B' FC'}$ 的度数为 $\dfrac{180°}{2m - 1}$ 或 $\dfrac{180°}{2m + 1}$
【知识点】
折叠的性质，平行线性质，新定义运算
【点评】
本题是新定义结合几何折叠的综合题，首先需要学生准确理解“m级准补角”的全新定义，再结合长方形的性质、折叠前后对应角相等的规律进行推导，最后一问需要分类讨论折痕的不同位置，避免漏解，既考察基础几何知识点的掌握，也锻炼学生的信息迁移能力和分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.4
首先先读懂题目给出的“m级准补角”的定义规则：若常数m＞0，满足m∠α + ∠β=180°，则∠α是∠β的m级准补角。解题时结合折叠前后对应角相等、平角为180°、长方形对边平行的性质逐步推导：
1. 第(1)①问直接套1级准补角的定义，即1倍的所求角加已知∠EFB=30°等于180°，直接计算即可。
2. 第(1)②问利用沿EF折叠的性质，得∠EFB=∠EFB'，结合点B、F、C共线，∠BFB'+∠B'FC=180°，代入替换得到2∠EFB + ∠B'FC=180°，即可得到对应的m值。
3. 第(2)①问利用长方形AD//BC的性质，内错角相等得∠AGF=∠CFG，再结合沿FG折叠得∠CFG=∠C'FG，且E、C'、F共线，平角为180°，推导得到2∠AGF + ∠EFB=180°，符合2级准补角的定义即可证明。
4. 第(2)②问结合新定义得到5∠B'FC'+∠EFG=180°，再结合之前推导的2∠CFG + ∠EFB=180°，利用∠EFG=∠CFG，消元即可解出∠B'FC'的度数。
5. 第(2)③问需要分类讨论FC'相对于FB'的不同位置，分别结合折叠性质、平角定义和准补角的定义列方程化简，得到两种情况下的∠B'FC'的表达式。
【解析】
(1) ① 设∠EFB的“1级准补角”为x，根据定义得$1· x + ∠EFB = 180°$，代入∠EFB=30°，得$x+30°=180°$，解得$x=150°$。
② 由折叠性质可知，沿EF折叠后$∠EFB=∠EFB'$，因此$∠BFB'=∠EFB+∠EFB'=2∠EFB$。又因为点B、F、C在同一直线上，$∠BFB'+∠B'FC=180°$，代入得$2∠EFB + ∠B'FC=180°$，符合m级准补角的定义，因此m=2。
(2) ① 证明：因为四边形ABCD是长方形，所以$AD// BC$，由平行线内错角相等得$∠AGF=∠CFG$。由沿FG折叠的性质，得$∠CFG=∠C'FG$。已知点E、C'、F在同一直线上，因此$∠EFB + ∠C'FG + ∠CFG = 180°$，代入$∠CFG=∠C'FG$，得$∠EFB + 2∠CFG =180°$，再替换∠CFG为∠AGF，得$2∠AGF + ∠EFB=180°$，符合“2级准补角”的定义，因此∠AGF是∠EFB的“2级准补角”。
② 根据“5级准补角”的定义，得$5∠B'FC' + ∠EFG =180°$。由①知$∠EFG=∠CFG$，代入得$5∠B'FC' + ∠CFG =180°$ ①。又由折叠性质得$∠EFB=∠EFB'$，且$∠EFB=∠B'FC'$，结合①中$2∠CFG + ∠EFB=180°$，得$2∠CFG + ∠B'FC' =180°$ ②。将①式两边乘2，减去②式，得$10∠B'FC' + 2∠CFG - 2∠CFG - ∠B'FC' = 360° - 180°$，化简得$9∠B'FC'=180°$，解得$∠B'FC'=20°$。
③ 分两种情况讨论：
情况1：当FC'在线段FB'右侧时，由折叠性质得$∠EFB=∠EFB'$，$∠CFG=∠C'FG$，结合平角定义得$2∠EFB' + ∠B'FC' + 2∠C'FG =180°$，整理得$∠EFB' + ∠C'FG = \frac{180°-∠B'FC'}{2}$。又$∠EFG=∠EFB' + ∠B'FC' + ∠C'FG$，代入“m级准补角”定义$m∠B'FC' + ∠EFG=180°$，整理得$(2m+1)∠B'FC'=180°$，解得$∠B'FC'=\frac{180°}{2m+1}$。
情况2：当FC'在线段FB'左侧时，由折叠性质得$∠EFB=∠EFB'$，$∠CFG=∠C'FG$，结合平角定义得$2∠EFB' - ∠B'FC' + 2∠C'FG =180°$，整理得$∠EFB' + ∠C'FG=\frac{180°+∠B'FC'}{2}$。又$∠EFG=∠EFB' - ∠B'FC' + ∠C'FG$，代入“m级准补角”定义$m∠B'FC' + ∠EFG=180°$，整理得$(2m-1)∠B'FC'=180°$，解得$∠B'FC'=\frac{180°}{2m-1}$。
综上，$∠B'FC'$的度数为$\frac{180°}{2m-1}$或$\frac{180°}{2m+1}$。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{150}$；② $\boldsymbol{2}$
(2) ① 证明如上；② $\boldsymbol{20}$；③ $\boldsymbol{∠ B' FC'}$ 的度数为 $\dfrac{180°}{2m - 1}$ 或 $\dfrac{180°}{2m + 1}$
【知识点】
折叠的性质，平行线性质，新定义运算
【点评】
本题是新定义结合几何折叠的综合题，首先需要学生准确理解“m级准补角”的全新定义，再结合长方形的性质、折叠前后对应角相等的规律进行推导，最后一问需要分类讨论折痕的不同位置，避免漏解，既考察基础几何知识点的掌握，也锻炼学生的信息迁移能力和分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.4
