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1. 如图，$P$ 为长方形纸片 $ABCD$ 的边 $AB$ 上一点，$E,M$ 分别为边 $AD,CD$ 上的动点，先把纸片 $ABCD$ 沿 $PE$ 对折，点 $A$ 翻折至点 $F$，再把纸片沿 $PM$ 对折，点 $B$ 翻折至点 $H$。当点 $E,M$ 运动时，若 $∠ FPH=32°$，则 $∠ EPM$ 的度数是（
A.$90°$
B.$106°$
C.$122°$
D.$148°$
B
）A.$90°$
B.$106°$
C.$122°$
D.$148°$
答案
1. B 提示:设$∠FPE=α,∠HPM=β$,因为$∠FPH=32°$,所以$∠EPM=∠FPE+∠HPM+∠FPH=α+β+32°$.由折叠性质,得$∠APE=∠FPE=α,∠BPM=∠HPM=β$,因为$P$为长方形纸片$ABCD$的边$AB$上一点,所以$∠APE+∠EPM+∠BPM=180°$,所以$α+α+β+32°+β=180°$,所以$α+β=74°$,所以$∠EPM=α+β+32°=106°$.
解析
【分析】
这是一道折叠相关的角度计算问题，解题思路如下：1. 首先明确折叠的核心性质：折叠前后的对应角完全相等，本题两次折叠分别对应两组相等的角；2. 点P在AB边上，AB为直线，因此以P为顶点的平角∠APB=180°，即∠APE + ∠EPM + ∠BPM = 180°；3. 我们可以设∠FPE=α，∠HPM=β，结合已知的∠FPH=32°，把∠EPM用α、β表示出来，代入平角的等式后不需要单独求出α和β的具体值，通过整体代换得到α+β的数值，就能直接算出∠EPM的度数。
【解析】
解：设∠FPE=α，∠HPM=β，
已知∠FPH=32°，因此∠EPM = ∠FPE + ∠FPH + ∠HPM = α + β + 32°。
根据折叠的性质：
① 沿PE对折，点A翻折至点F，可得∠APE = ∠FPE = α；
② 沿PM对折，点B翻折至点H，可得∠BPM = ∠HPM = β。
因为点P在AB边上，∠APB是平角，因此∠APE + ∠EPM + ∠BPM = 180°，
将对应角代入等式得：
α + (α + β + 32°) + β = 180°
整理得：2α + 2β = 180° - 32° = 148°，即α + β = 74°
将α+β=74°代入∠EPM的表达式，可得∠EPM = 74° + 32° = 106°。
【答案】B
【知识点】折叠的性质，平角定义
【点评】本题是折叠类角度计算的常规题型，核心是利用折叠前后对应角相等的性质，通过整体代换的思路，不需要分别求解两个未知角的具体数值，大幅简化计算过程，易错点是容易搞错平角中各个角的组成关系，漏算重复的对应角。
【难度系数】0.7
这是一道折叠相关的角度计算问题，解题思路如下：1. 首先明确折叠的核心性质：折叠前后的对应角完全相等，本题两次折叠分别对应两组相等的角；2. 点P在AB边上，AB为直线，因此以P为顶点的平角∠APB=180°，即∠APE + ∠EPM + ∠BPM = 180°；3. 我们可以设∠FPE=α，∠HPM=β，结合已知的∠FPH=32°，把∠EPM用α、β表示出来，代入平角的等式后不需要单独求出α和β的具体值，通过整体代换得到α+β的数值，就能直接算出∠EPM的度数。
【解析】
解：设∠FPE=α，∠HPM=β，
已知∠FPH=32°，因此∠EPM = ∠FPE + ∠FPH + ∠HPM = α + β + 32°。
根据折叠的性质：
① 沿PE对折，点A翻折至点F，可得∠APE = ∠FPE = α；
② 沿PM对折，点B翻折至点H，可得∠BPM = ∠HPM = β。
因为点P在AB边上，∠APB是平角，因此∠APE + ∠EPM + ∠BPM = 180°，
将对应角代入等式得：
α + (α + β + 32°) + β = 180°
整理得：2α + 2β = 180° - 32° = 148°，即α + β = 74°
将α+β=74°代入∠EPM的表达式，可得∠EPM = 74° + 32° = 106°。
【答案】B
【知识点】折叠的性质，平角定义
【点评】本题是折叠类角度计算的常规题型，核心是利用折叠前后对应角相等的性质，通过整体代换的思路，不需要分别求解两个未知角的具体数值，大幅简化计算过程，易错点是容易搞错平角中各个角的组成关系，漏算重复的对应角。
【难度系数】0.7
2. 有一张宽为 1,长为 $a$ $(a＞1)$ 的长方形$ABCD$ 纸片,从中先剪去一个正方形,余下一个长方形,在余下的长方形纸片中再剪去一个正方形,又余下一个长方形……以此类推,如图是剪 3 次后余下的长方形恰好是正方形的其中一种示意图及相应 $a$的值. 若将长方形 $ABCD$ 剪 2 次后余下的长方形恰好是正方形,则 $a$ 的值是
$3或\frac{3}{2}$
.答案
2. $3或\frac{3}{2}$ 提示:如图所示.
$a=1+1+1=3$ 或 $a=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
解析
【分析】
我们先从初始长方形的边长特征入手，初始长方形宽为1、长为a且a＞1，第一次剪正方形时，只能以短边1作为正方形的边长，剪完后余下的新长方形两条邻边分别为1和a-1。接下来要让剪2次后余下的是正方形，需要分两种情况讨论第二次裁剪的方式：第一种是第一次剪完后余下的长方形的长a-1大于1，第二种是a-1小于1，分别根据最后余下的图形是正方形（邻边相等）列方程求解，就能得到所有符合条件的a值。
【解析】
解：已知长方形ABCD的宽为1，长为a（a＞1）：
1. 第一次裁剪：由于初始长方形较短边长为1，因此第一次剪去的正方形边长为1，裁剪后余下的长方形的两条邻边长度分别为1和a-1。
2. 分两类讨论第二次裁剪：
① 当a-1 ＞ 1，即a＞2时：
第二次剪去的正方形边长为1，裁剪后余下的长方形邻边长度分别为1和(a-1)-1 = a-2。
因为最终余下的是正方形，邻边长度相等，因此：
$a - 2 = 1$
解得a=3，满足a＞2的前提条件。
② 当a-1 ＜ 1，即1＜a＜2时：
第二次剪去的正方形边长为a-1，裁剪后余下的长方形邻边长度分别为a-1和1-(a-1)=2-a。
因为最终余下的是正方形，邻边长度相等，因此：
$a - 1 = 2 - a$
解得2a=3，即$a=\frac{3}{2}$，满足1＜a＜2的前提条件。
综上，符合条件的a的值为3或$\frac{3}{2}$。
【答案】
$3或\frac{3}{2}$
【知识点】
矩形性质，正方形性质，分类讨论思想
【点评】
本题的核心是结合裁剪过程的不同情况进行分类讨论，易错点是容易遗漏1＜a＜2的情况，只得到a=3这一个解，解题时要注意每次裁剪后余下长方形的边长大小关系，验证得到的解是否符合对应分类的前提条件，避免漏解错解。
【难度系数】
0.5
我们先从初始长方形的边长特征入手，初始长方形宽为1、长为a且a＞1，第一次剪正方形时，只能以短边1作为正方形的边长，剪完后余下的新长方形两条邻边分别为1和a-1。接下来要让剪2次后余下的是正方形，需要分两种情况讨论第二次裁剪的方式：第一种是第一次剪完后余下的长方形的长a-1大于1，第二种是a-1小于1，分别根据最后余下的图形是正方形（邻边相等）列方程求解，就能得到所有符合条件的a值。
【解析】
解：已知长方形ABCD的宽为1，长为a（a＞1）：
1. 第一次裁剪：由于初始长方形较短边长为1，因此第一次剪去的正方形边长为1，裁剪后余下的长方形的两条邻边长度分别为1和a-1。
2. 分两类讨论第二次裁剪：
① 当a-1 ＞ 1，即a＞2时：
第二次剪去的正方形边长为1，裁剪后余下的长方形邻边长度分别为1和(a-1)-1 = a-2。
因为最终余下的是正方形，邻边长度相等，因此：
$a - 2 = 1$
解得a=3，满足a＞2的前提条件。
② 当a-1 ＜ 1，即1＜a＜2时：
第二次剪去的正方形边长为a-1，裁剪后余下的长方形邻边长度分别为a-1和1-(a-1)=2-a。
因为最终余下的是正方形，邻边长度相等，因此：
$a - 1 = 2 - a$
解得2a=3，即$a=\frac{3}{2}$，满足1＜a＜2的前提条件。
综上，符合条件的a的值为3或$\frac{3}{2}$。
【答案】
$3或\frac{3}{2}$
【知识点】
矩形性质，正方形性质，分类讨论思想
【点评】
本题的核心是结合裁剪过程的不同情况进行分类讨论，易错点是容易遗漏1＜a＜2的情况，只得到a=3这一个解，解题时要注意每次裁剪后余下长方形的边长大小关系，验证得到的解是否符合对应分类的前提条件，避免漏解错解。
【难度系数】
0.5
3. 密码，是数学施展的“魔法”. 它应用精妙的数学变换，将空中传输的通信内容转化为唯有掌握特定“密钥”才能解读的密文，从而守护信息的安全. 一般来说，一个密码系统由明文、加密规则和密文三个基本要素构成，如图1所示.
小明将明文藏在如下信息中：
妈，
每当想您的时候，
一股暖意就涌上心头.
我明白，
唯有努力求学，
才能不负这养育深恩.
他以密文的形式发给妈妈. 设定加密规则为：信息的每一行从左向右数，取第$n$行的第$m$个字，用“$(n,m)$”表示所取汉字的密文，例如密文$(1,1)$表示“妈”.
【爱的密码】
(1) 小明想将明文“想、您”加密，则密文是
(2) 小明将$m$用图2所示的加密规则转换成了新密文$(n,M)$.
①请将“努、力”转换成新密文；
②若妈妈收到新密文“$(4,3),(6,5)$，$(5,13)$”，请帮她翻译.
【规则评价】
(3) 图3是小明设计的另一种对$m$加密的规则，请评价该加密规则.
小明将明文藏在如下信息中：
妈，
每当想您的时候，
一股暖意就涌上心头.
我明白，
唯有努力求学，
才能不负这养育深恩.
他以密文的形式发给妈妈. 设定加密规则为：信息的每一行从左向右数，取第$n$行的第$m$个字，用“$(n,m)$”表示所取汉字的密文，例如密文$(1,1)$表示“妈”.
【爱的密码】
(1) 小明想将明文“想、您”加密，则密文是
$(2,3),(2,4)$
.(2) 小明将$m$用图2所示的加密规则转换成了新密文$(n,M)$.
①请将“努、力”转换成新密文；
②若妈妈收到新密文“$(4,3),(6,5)$，$(5,13)$”，请帮她翻译.
【规则评价】
(3) 图3是小明设计的另一种对$m$加密的规则，请评价该加密规则.
答案
3. (1) $(2,3),(2,4)$
(2) 解:①“努”的密文是$(5,3)$,转换成新密文为$(5,3×2+1)$,即$(5,7)$,“力”的密文是$(5,4)$,转换成新密文为$(5,4×2+1)$,即$(5,9)$.
②由$(4,3)$可得,$3=2m+1$,解得$m=1$
所以密文为$(4,1)$,所以第4行的第1个字为“我”;由$(6,5)$可得,$5=2m+1$,解得$m=2$,所以密文为$(6,2)$,所以第6行的第2个字为“能”;由$(5,13)$可得,$13=2m+1$,解得$m=6$,所以密文为$(5,6)$,所以第5行的第6个字为“学”.综上所述,翻译为“我能学”.
(3) 解:不合理,若$m$为偶数,则新密文$M$为偶数;若$m$为奇数,$M$还是偶数.故在进行新密文$M$解密时,对应的$m$值可能不唯一.例如:当$M$为6时,$m$可以是4,也可以是3,所以密文$m$不具有唯一性,可以将$2m$修改为$2m+1$.(修改不唯一)
(2) 解:①“努”的密文是$(5,3)$,转换成新密文为$(5,3×2+1)$,即$(5,7)$,“力”的密文是$(5,4)$,转换成新密文为$(5,4×2+1)$,即$(5,9)$.
②由$(4,3)$可得,$3=2m+1$,解得$m=1$
所以密文为$(4,1)$,所以第4行的第1个字为“我”;由$(6,5)$可得,$5=2m+1$,解得$m=2$,所以密文为$(6,2)$,所以第6行的第2个字为“能”;由$(5,13)$可得,$13=2m+1$,解得$m=6$,所以密文为$(5,6)$,所以第5行的第6个字为“学”.综上所述,翻译为“我能学”.
(3) 解:不合理,若$m$为偶数,则新密文$M$为偶数;若$m$为奇数,$M$还是偶数.故在进行新密文$M$解密时,对应的$m$值可能不唯一.例如:当$M$为6时,$m$可以是4,也可以是3,所以密文$m$不具有唯一性,可以将$2m$修改为$2m+1$.(修改不唯一)
解析
【分析】
这是一道结合密码情境的创新应用题，解题思路可按小问逐步梳理：
1. 第(1)问：先明确题目定义的密文$(n,m)$的含义是“第n行从左向右数的第m个汉字”，先定位“想”和“您”所在的行数，再数该行汉字的顺序得到对应的m值，即可写出对应密文。
2. 第(2)问①：先按第一问的方法找到“努”“力”原本的密文$(n,m)$，再代入给定的$M=2m+1$的加密规则，计算出新的M值，就能得到新密文。②属于逆向推导，已知新密文的M，代入加密公式反解出原本的m，再结合行数n找到对应位置的汉字，拼接后就得到明文。
3. 第(3)问：判断加密规则是否合理的核心是看加密后的M能不能和原本的m一一对应，若不同的m能得到同一个M，就无法唯一解密，说明规则存在缺陷，据此给出评价和改进方向即可。
【解析】
(1) 逐行统计汉字顺序：第2行内容为“每当想您的时候，”，从左向右数第3个字是“想”，第4个字是“您”，因此对应的密文为$(2,3),(2,4)$。
(2) ① 先定位汉字位置：第5行内容为“唯有努力求学，”，从左向右数第3字是“努”，原本密文为$(5,3)$；第4字是“力”，原本密文为$(5,4)$。代入加密规则$M=2m+1$：
“努”的新密文：$M=2×3+1=7$，即$(5,7)$；
“力”的新密文：$M=2×4+1=9$，即$(5,9)$。
② 对每个新密文逆向求解m：
对$(4,3)$：代入$M=2m+1$得$3=2m+1$，解得$m=1$，对应第4行第1字为“我”；
对$(6,5)$：代入$M=2m+1$得$5=2m+1$，解得$m=2$，对应第6行第2字为“能”；
对$(5,13)$：代入$M=2m+1$得$13=2m+1$，解得$m=6$，对应第5行第6字为“学”；
拼接后得到明文为“我能学”。
(3) 该加密规则不合理：当m为奇数时，$M=2m$，结果为偶数；当m为偶数时，$M=2m-2$，结果也为偶数，所有加密得到的M都是偶数，同一个M可以对应两个不同的m值，例如$M=6$时，既可以对应$m=3$，也可以对应$m=4$，解密时无法唯一确定原本的m，不能准确还原明文，可修改规则保证M与m一一对应即可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,3),(2,4)}$
(2) ① “努”的新密文为$(5,7)$，“力”的新密文为$(5,9)$；② 翻译为“我能学”
(3) 该加密规则不合理，不同的m可得到相同的M，解密时m不唯一，无法准确还原明文，修改规则保证M和m一一对应即可（答案合理即可）
【知识点】
有序数对应用，一元一次方程求解，逻辑推理判断
【点评】
本题以密码为趣味创新情境，将有序数对的基础概念和实际应用结合，既考察了学生对新定义规则的阅读理解能力，也锻炼了正向计算、逆向推导的运算能力，第三问引导学生思辨加密规则的合理性，兼具知识性和趣味性，符合情境化命题的考察特点。
【难度系数】
0.7
这是一道结合密码情境的创新应用题，解题思路可按小问逐步梳理：
1. 第(1)问：先明确题目定义的密文$(n,m)$的含义是“第n行从左向右数的第m个汉字”，先定位“想”和“您”所在的行数，再数该行汉字的顺序得到对应的m值，即可写出对应密文。
2. 第(2)问①：先按第一问的方法找到“努”“力”原本的密文$(n,m)$，再代入给定的$M=2m+1$的加密规则，计算出新的M值，就能得到新密文。②属于逆向推导，已知新密文的M，代入加密公式反解出原本的m，再结合行数n找到对应位置的汉字，拼接后就得到明文。
3. 第(3)问：判断加密规则是否合理的核心是看加密后的M能不能和原本的m一一对应，若不同的m能得到同一个M，就无法唯一解密，说明规则存在缺陷，据此给出评价和改进方向即可。
【解析】
(1) 逐行统计汉字顺序：第2行内容为“每当想您的时候，”，从左向右数第3个字是“想”，第4个字是“您”，因此对应的密文为$(2,3),(2,4)$。
(2) ① 先定位汉字位置：第5行内容为“唯有努力求学，”，从左向右数第3字是“努”，原本密文为$(5,3)$；第4字是“力”，原本密文为$(5,4)$。代入加密规则$M=2m+1$：
“努”的新密文：$M=2×3+1=7$，即$(5,7)$；
“力”的新密文：$M=2×4+1=9$，即$(5,9)$。
② 对每个新密文逆向求解m：
对$(4,3)$：代入$M=2m+1$得$3=2m+1$，解得$m=1$，对应第4行第1字为“我”；
对$(6,5)$：代入$M=2m+1$得$5=2m+1$，解得$m=2$，对应第6行第2字为“能”；
对$(5,13)$：代入$M=2m+1$得$13=2m+1$，解得$m=6$，对应第5行第6字为“学”；
拼接后得到明文为“我能学”。
(3) 该加密规则不合理：当m为奇数时，$M=2m$，结果为偶数；当m为偶数时，$M=2m-2$，结果也为偶数，所有加密得到的M都是偶数，同一个M可以对应两个不同的m值，例如$M=6$时，既可以对应$m=3$，也可以对应$m=4$，解密时无法唯一确定原本的m，不能准确还原明文，可修改规则保证M与m一一对应即可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,3),(2,4)}$
(2) ① “努”的新密文为$(5,7)$，“力”的新密文为$(5,9)$；② 翻译为“我能学”
(3) 该加密规则不合理，不同的m可得到相同的M，解密时m不唯一，无法准确还原明文，修改规则保证M和m一一对应即可（答案合理即可）
【知识点】
有序数对应用，一元一次方程求解，逻辑推理判断
【点评】
本题以密码为趣味创新情境，将有序数对的基础概念和实际应用结合，既考察了学生对新定义规则的阅读理解能力，也锻炼了正向计算、逆向推导的运算能力，第三问引导学生思辨加密规则的合理性，兼具知识性和趣味性，符合情境化命题的考察特点。
【难度系数】
0.7
