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1. 如图，$AB // CD$，射线$CE$平分$∠ BCD$，$F$为$CE$的反向延长线上的一点，连接$BF$，且满足$∠ CBF = \dfrac{1}{3}∠ ABC$。若$∠ BFC = α$，$∠ ABF = β$，则$α$与$β$满足的关系式为（
A.$α + β = 90°$
B.$α + 2β = 180°$
C.$α = \dfrac{2}{3}β$
D.$β = 4α$
D
）A.$α + β = 90°$
B.$α + 2β = 180°$
C.$α = \dfrac{2}{3}β$
D.$β = 4α$
答案
1. D 提示:如图,过点 F 作$FH// CD$. 因为
$AB// CD$,所以$FH// AB$. 因为$∠ BFC=α$,$∠ ABF=β$,
所以$∠ BFH=∠ ABF=β$,所以$∠ HFC=∠ BFH-∠ BFC=β-α$. 因为$FH// CD$,所以$∠ DCE=∠ HFC=β-α$. 又因为射线 CE 平分$∠ BCD$,所以$∠ BCD=2∠ DCE=2β-2α$. 因为$AB// CD$,所以$∠ ABC=∠ BCD=2β-2α$,所以$∠ CBF=∠ ABC-∠ ABF=2β-2α-β=β-2α$. 因为$∠ CBF=\frac{1}{3}∠ ABC$,所以$β-2α=\frac{1}{3}(2β-2α)$,所以$β=4α$.
解析
【分析】
这道题属于平行线角度推导问题，解题的核心思路是利用平行线的拐点辅助线构造方法，将分散的角度通过平行线的性质进行转化：首先过拐点F作平行于CD的辅助线FH，结合已知AB//CD，可推出FH同时平行于AB，这样就能利用内错角相等的性质，把相关角度都用已知的α、β表示出来；之后结合角平分线的定义、AB//CD的内错角相等关系，再代入题目给出的∠CBF和∠ABC的比例条件，列出关于α和β的等式，化简后就能得到二者的关系式。
【解析】
解：过点F作$FH// CD$，
$\because AB// CD$，
$\therefore FH// AB$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\because FH// AB$，
$\therefore ∠ BFH = ∠ ABF = β$（两直线平行，内错角相等），
已知$∠ BFC = α$，因此$∠ HFC = ∠ BFH - ∠ BFC = β - α$，
又$\because FH// CD$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ HFC = β - α$（两直线平行，内错角相等），
$\because CE$平分$∠ BCD$，
$\therefore ∠ BCD = 2∠ DCE = 2(β - α) = 2β - 2α$，
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ BCD = 2β - 2α$（两直线平行，内错角相等），
计算$∠ CBF$的大小：$∠ CBF = ∠ ABC - ∠ ABF = (2β - 2α) - β = β - 2α$，
根据题设条件$∠ CBF = \frac{1}{3}∠ ABC$，代入上述表达式得：
$β - 2α = \frac{1}{3}(2β - 2α)$
等式两边同乘3消去分母：$3β - 6α = 2β - 2α$，
移项化简可得：$β = 4α$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，角平分线定义
【点评】
本题是平行线角度推导的典型题型，重点考查拐点辅助线的构造思路，通过作平行辅助线将不在同一直线的角度进行转化，要求学生能准确梳理各个角之间的和差关系，结合给定的角度比例条件列等式化简，整体逻辑连贯，能有效锻炼学生的角度转化推导能力。
【难度系数】
0.4
这道题属于平行线角度推导问题，解题的核心思路是利用平行线的拐点辅助线构造方法，将分散的角度通过平行线的性质进行转化：首先过拐点F作平行于CD的辅助线FH，结合已知AB//CD，可推出FH同时平行于AB，这样就能利用内错角相等的性质，把相关角度都用已知的α、β表示出来；之后结合角平分线的定义、AB//CD的内错角相等关系，再代入题目给出的∠CBF和∠ABC的比例条件，列出关于α和β的等式，化简后就能得到二者的关系式。
【解析】
解：过点F作$FH// CD$，
$\because AB// CD$，
$\therefore FH// AB$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\because FH// AB$，
$\therefore ∠ BFH = ∠ ABF = β$（两直线平行，内错角相等），
已知$∠ BFC = α$，因此$∠ HFC = ∠ BFH - ∠ BFC = β - α$，
又$\because FH// CD$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ HFC = β - α$（两直线平行，内错角相等），
$\because CE$平分$∠ BCD$，
$\therefore ∠ BCD = 2∠ DCE = 2(β - α) = 2β - 2α$，
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ BCD = 2β - 2α$（两直线平行，内错角相等），
计算$∠ CBF$的大小：$∠ CBF = ∠ ABC - ∠ ABF = (2β - 2α) - β = β - 2α$，
根据题设条件$∠ CBF = \frac{1}{3}∠ ABC$，代入上述表达式得：
$β - 2α = \frac{1}{3}(2β - 2α)$
等式两边同乘3消去分母：$3β - 6α = 2β - 2α$，
移项化简可得：$β = 4α$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，角平分线定义
【点评】
本题是平行线角度推导的典型题型，重点考查拐点辅助线的构造思路，通过作平行辅助线将不在同一直线的角度进行转化，要求学生能准确梳理各个角之间的和差关系，结合给定的角度比例条件列等式化简，整体逻辑连贯，能有效锻炼学生的角度转化推导能力。
【难度系数】
0.4
2. 如图,数轴上点 A,B,C 对应的数分别为$x-2,x,5.$
(1) 把数轴沿着点 B 左右对折,点 A 落在数轴上的点 D 处. 若 D 是线段 BC 的中点,则 x 的值为
(2) 在(1)的条件下,若点 A,B,C 同时在数轴上运动,点 A 以每秒 1 个单位长度的速度向右运动,点 B 以每秒 2 个单位长度的速度向左运动,点 C 以每秒 1 个单位长度的速度向左运动,设运动时间为 t s. 若 A,B,C 三点中其中一点是另外两点所连线段的中点,则 t 的值为
(1) 把数轴沿着点 B 左右对折,点 A 落在数轴上的点 D 处. 若 D 是线段 BC 的中点,则 x 的值为
1
;(2) 在(1)的条件下,若点 A,B,C 同时在数轴上运动,点 A 以每秒 1 个单位长度的速度向右运动,点 B 以每秒 2 个单位长度的速度向左运动,点 C 以每秒 1 个单位长度的速度向左运动,设运动时间为 t s. 若 A,B,C 三点中其中一点是另外两点所连线段的中点,则 t 的值为
$\frac{8}{5}$或10
.答案
2. (1) 1 提示:因为 D 是线段 BC 的中点,所以点 D 表示的数为$\frac{x+5}{2}$.因为数轴沿着点 B 左右对折,点 A 落在数轴上的点 D 处,所以$2x=x-2+\frac{x+5}{2}$,解得$x=1$.
(2) $\frac{8}{5}$或 10 提示:由(1)得,点 A 表示的数为-1,点 B 表示的数为 1,点 C 表示的数为 5,所以当运动时间为 t s 时,点 A 表示的数为$-1+t$,点 B 表示的数为$1-2t$,点 C 表示的数为$5-t$. 当 B 为 AC 的中点时,$2(1-2t)=-1+t+5-t$,解得$t=-\frac{1}{2}$(舍去);当 A 为 BC 的中点时,$2(-1+t)=1-2t+5-t$,解得$t=\frac{8}{5}$;当 C 为 AB 的中点时,$2(5-t)=-1+t+1-2t$,解得$t=10$.
(2) $\frac{8}{5}$或 10 提示:由(1)得,点 A 表示的数为-1,点 B 表示的数为 1,点 C 表示的数为 5,所以当运动时间为 t s 时,点 A 表示的数为$-1+t$,点 B 表示的数为$1-2t$,点 C 表示的数为$5-t$. 当 B 为 AC 的中点时,$2(1-2t)=-1+t+5-t$,解得$t=-\frac{1}{2}$(舍去);当 A 为 BC 的中点时,$2(-1+t)=1-2t+5-t$,解得$t=\frac{8}{5}$;当 C 为 AB 的中点时,$2(5-t)=-1+t+1-2t$,解得$t=10$.
解析
【分析】
先解决第(1)问：首先根据D是BC的中点，利用数轴中点的计算公式，先写出点D对应的数；再根据沿点B对折后A落在D处，说明点B是点A和点D的中点，利用中点的性质：中点对应的数的2倍等于两端点对应数的和，列出关于x的一元一次方程，求解即可得到x的值。
再解决第(2)问：先代入第(1)问求出的x值，得到运动前A、B、C三点对应的初始数；再根据三个点的运动方向和速度，写出运动t秒后三个点各自对应的数；接下来分三种情况讨论：分别是A为BC中点、B为AC中点、C为AB中点，每种情况都利用中点性质列方程求解，舍去不符合实际意义的负解，最终得到符合要求的t值。
【解析】
(1) 已知点B对应数为x，点C对应数为5，D是线段BC的中点，因此点D对应的数为$\frac{x+5}{2}$。
因为数轴沿点B左右对折，点A落在D处，说明点B是A、D的中点，根据数轴中点的性质：若点M是点P、Q的中点，则$2x_M = x_P + x_Q$，代入得：
$2x = (x-2) + \frac{x+5}{2}$
两边同乘2去分母：$4x = 2(x-2) + x +5$
展开计算：$4x = 2x -4 +x +5$
整理得：$4x=3x+1$，解得$x=1$。
(2) 由(1)得初始状态下：点A对应数为$x-2=1-2=-1$，点B对应数为$x=1$，点C对应数为5。
运动t秒后：
点A向右运动1单位/秒，对应数为$-1 + t$；
点B向左运动2单位/秒，对应数为$1 - 2t$；
点C向左运动1单位/秒，对应数为$5 - t$。
分三种情况讨论：
① 若B是AC的中点：
代入中点性质得$2(1-2t) = (-1 + t) + (5 - t)$
化简右边得4，因此$2-4t=4$，解得$t=-\frac{1}{2}$，时间不能为负，舍去该解；
② 若A是BC的中点：
代入中点性质得$2(-1 + t) = (1-2t) + (5 - t)$
展开整理得$5t=8$，解得$t=\frac{8}{5}$；
③ 若C是AB的中点：
代入中点性质得$2(5 - t) = (-1 +t) + (1 -2t)$
展开整理得$t=10$。
综上符合条件的t值为$\frac{8}{5}$或10。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{\frac{8}{5}}$或$\boldsymbol{10}$
【知识点】
数轴中点公式，数轴折叠性质，数轴动点问题
【点评】
本题综合考查数轴的折叠变换和动点中点问题，核心是利用中点的代数表示列方程求解，第二问需要完整分类讨论三种中点的情况，注意舍去不符合实际意义的负解，容易出现漏解、忘舍负解的错误，对分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
先解决第(1)问：首先根据D是BC的中点，利用数轴中点的计算公式，先写出点D对应的数；再根据沿点B对折后A落在D处，说明点B是点A和点D的中点，利用中点的性质：中点对应的数的2倍等于两端点对应数的和，列出关于x的一元一次方程，求解即可得到x的值。
再解决第(2)问：先代入第(1)问求出的x值，得到运动前A、B、C三点对应的初始数；再根据三个点的运动方向和速度，写出运动t秒后三个点各自对应的数；接下来分三种情况讨论：分别是A为BC中点、B为AC中点、C为AB中点，每种情况都利用中点性质列方程求解，舍去不符合实际意义的负解，最终得到符合要求的t值。
【解析】
(1) 已知点B对应数为x，点C对应数为5，D是线段BC的中点，因此点D对应的数为$\frac{x+5}{2}$。
因为数轴沿点B左右对折，点A落在D处，说明点B是A、D的中点，根据数轴中点的性质：若点M是点P、Q的中点，则$2x_M = x_P + x_Q$，代入得：
$2x = (x-2) + \frac{x+5}{2}$
两边同乘2去分母：$4x = 2(x-2) + x +5$
展开计算：$4x = 2x -4 +x +5$
整理得：$4x=3x+1$，解得$x=1$。
(2) 由(1)得初始状态下：点A对应数为$x-2=1-2=-1$，点B对应数为$x=1$，点C对应数为5。
运动t秒后：
点A向右运动1单位/秒，对应数为$-1 + t$；
点B向左运动2单位/秒，对应数为$1 - 2t$；
点C向左运动1单位/秒，对应数为$5 - t$。
分三种情况讨论：
① 若B是AC的中点：
代入中点性质得$2(1-2t) = (-1 + t) + (5 - t)$
化简右边得4，因此$2-4t=4$，解得$t=-\frac{1}{2}$，时间不能为负，舍去该解；
② 若A是BC的中点：
代入中点性质得$2(-1 + t) = (1-2t) + (5 - t)$
展开整理得$5t=8$，解得$t=\frac{8}{5}$；
③ 若C是AB的中点：
代入中点性质得$2(5 - t) = (-1 +t) + (1 -2t)$
展开整理得$t=10$。
综上符合条件的t值为$\frac{8}{5}$或10。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{\frac{8}{5}}$或$\boldsymbol{10}$
【知识点】
数轴中点公式，数轴折叠性质，数轴动点问题
【点评】
本题综合考查数轴的折叠变换和动点中点问题，核心是利用中点的代数表示列方程求解，第二问需要完整分类讨论三种中点的情况，注意舍去不符合实际意义的负解，容易出现漏解、忘舍负解的错误，对分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
3. 为美化某市夜景,在两栋垂直于地面的高楼 $PQ$ 和 $MN$ 上,分别安置了可旋转探照灯 $A$ 和 $B$(点 $A$ 高于点 $B$),现抽象成:如图,$PQ// MN$,灯 $A$ 射线从 $AP$ 开始顺时针旋转至 $AQ$ 便立即回转,灯 $B$ 射线从$BM$ 开始顺时针旋转至 $BN$ 便立即回转,两灯不停交叉照射巡视,灯 $A$ 转动的速度是每秒 $1°$,灯 $B$ 转动的速度是每秒 $3°$,所研究的转动时间小于 $180\ \mathrm{s}$.
(1) 若灯 $B$ 比灯 $A$ 先转动 $10\ \mathrm{s}$,当灯 $B$ 射线第一次经过 $BN$ 时,灯 $A$ 射线转过的角度为
(2) 若灯 $A$ 比灯 $B$ 先转动 $30\ \mathrm{s}$,当两灯射线在 $PQ$ 和 $MN$ 之间交于点 $C$,且当$∠ ACB=130°$时,求灯 $B$ 转动的时间.
(3) 若两灯同时开始转动,设转动时间为$t\ \mathrm{s}(0＜t＜180)$,是否存在两灯射线所在直线平行或垂直? 若存在,请求出 $t$的值;若不存在,请说明理由.
(1) 若灯 $B$ 比灯 $A$ 先转动 $10\ \mathrm{s}$,当灯 $B$ 射线第一次经过 $BN$ 时,灯 $A$ 射线转过的角度为
50
$°$.(2) 若灯 $A$ 比灯 $B$ 先转动 $30\ \mathrm{s}$,当两灯射线在 $PQ$ 和 $MN$ 之间交于点 $C$,且当$∠ ACB=130°$时,求灯 $B$ 转动的时间.
(3) 若两灯同时开始转动,设转动时间为$t\ \mathrm{s}(0＜t＜180)$,是否存在两灯射线所在直线平行或垂直? 若存在,请求出 $t$的值;若不存在,请说明理由.
答案
3. (1) 50
(2) 解:设灯 B 转动的时间为 x s.
①当$0＜x≤ 60$时,如图 1,$30+x+180-3x=130$,整理,得$-2x=-80$,解得$x=40$.
②当$60＜x≤ 120$时,如图 2、图 3,$30+x+3x-180=130$,整理,得$4x=280$,解得$x=70$;$180-30-x+360-3x=130$,整理,得$-4x=-380$,解得$x=95$.
③当$120＜x＜150$时,如图 4,$180-30-x+3x-360=130$,整理,得$2x=340$,解得$x=170$(舍去).
综上,当$∠ ACB=130°$时,灯 B 转动的时间为 40 s 或 70 s 或 95 s.
(3) 解:①当$0＜t≤ 60$时,两光线不平行;
当两光线垂直时,如图 5,$t+180-3t=90$,整理,得$-2t=-90$,解得$t=45$.
②当$60＜t≤ 120$,且两光线垂直时,如图 6、图 7,$t+3t-180=90$,整理,得$4t=270$,解得$t=67.5$;$180-t+360-3t=90$,整理,得$-4t=-450$,解得$t=112.5$.
当两光线平行时,如图 8,$t=360-3t$,整理,得$4t=360$,解得$t=90$.
③当$120＜t＜180$,且两光线垂直时,如图 9,$180-t+3t-360=90$,整理,得$2t=270$,解得$t=135$.当两光线平行时,如图 10,$t=3t-360$,整理,得$2t=360$,解得$t=180$(舍去).
综上所述,当 t 的值为 45 或 67.5 或 112.5 或 135 时,两光线垂直;当 t 的值为 90 时,两光线平行.
解析
【分析】
我们可以按小问逐步梳理解题思路：
1. 第(1)问：先计算灯B从BM顺时针转到BN的总转动时长，B需要转180°，结合转速3°/s就能得到总耗时，减去B先转动的10s就是灯A的转动时长，再结合A的转速1°/s，直接算出A转过的角度即可。
2. 第(2)问：设灯B转动时间为x s，那么灯A总转动时长为(x+30)s，转过角度为(x+30)°。由于两灯转速不同，射线在不同时间段的位置有差异，我们按x的取值范围分类讨论，结合PQ//MN的平行线拐角模型，把∠ACB拆分为两个内错角的和列方程，最后舍去不在对应区间的无效解。
3. 第(3)问：两灯同时转动，时间为t s，同样按t的不同取值区间分类讨论，利用平行线同位角相等的性质列平行的方程，利用两直线垂直夹角为90°的性质列垂直的方程，求解后验证解是否在对应区间，舍去不符合题意的结果即可。
【解析】
(1) 灯B从BM顺时针旋转至BN，总转动角度为180°，转速为3°/s，总耗时为$180÷3=60\ \mathrm{s}$。
灯B比灯A先转动10s，因此灯A的转动时长为$60-10=50\ \mathrm{s}$，灯A转速为1°/s，转过的角度为$50×1°=50°$。
(2) 设灯B转动的时间为$x\ \mathrm{s}$，此时灯A总共转动的时长为$(x+30)\ \mathrm{s}$，转过的角度为$(x+30)°$，分情况讨论：
① 当$0＜x≤ 60$时，灯B的射线从BM向BN转动，结合平行线拐角性质得：$30+x+180-3x=130$，整理得$-2x=-80$，解得$x=40$，符合取值范围。
② 当$60＜x≤ 120$时，灯B的射线已经从BN回转向BM方向转动：
第一种情况，A的射线未到达AQ，得$30+x+3x-180=130$，整理得$4x=280$，解得$x=70$，符合取值范围；
第二种情况，A的射线已经从AQ回转向AP方向转动，得$180-30-x+360-3x=130$，整理得$-4x=-380$，解得$x=95$，符合取值范围。
③ 当$120＜x＜150$时，灯B的射线第二次从BM向BN转动，得$180-30-x+3x-360=130$，整理得$2x=340$，解得$x=170$，不在取值范围内，舍去。
综上，灯B转动的时间为40 s或70 s或95 s。
(3) 两灯同时转动，时间为$t\ \mathrm{s}$，灯A转过角度为$t°$，灯B转过角度为$3t°$，分情况讨论：
① 当$0＜t≤ 60$时，两光线不可能平行；若两光线垂直，得$t+180-3t=90$，整理得$-2t=-90$，解得$t=45$，符合区间范围。
② 当$60＜t≤ 120$时：
若两光线垂直，第一种情况：$t+3t-180=90$，整理得$4t=270$，解得$t=67.5$，符合区间范围；第二种情况：$180-t+360-3t=90$，整理得$-4t=-450$，解得$t=112.5$，符合区间范围。
若两光线平行，由同位角相等得$t=360-3t$，整理得$4t=360$，解得$t=90$，符合区间范围。
③ 当$120＜t＜180$时：
若两光线垂直，得$180-t+3t-360=90$，整理得$2t=270$，解得$t=135$，符合区间范围。
若两光线平行，得$t=3t-360$，整理得$2t=360$，解得$t=180$，不在$0＜t＜180$范围内，舍去。
综上所述，当t的值为45、67.5、112.5、135时两光线垂直，当t的值为90时两光线平行。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50}$
(2) 灯B转动的时间为40 s或70 s或95 s
(3) 存在，当t的值为45或67.5或112.5或135时，两光线垂直；当t的值为90时，两光线平行
【知识点】
平行线性质，动态角旋转，分类讨论思想
【点评】
本题是平行线性质与动态旋转结合的综合压轴题，核心考察平行线的拐角模型应用，需要根据不同时间段射线的位置分类讨论，很容易出现漏解的情况，解题时要注意角度的取值范围，及时舍去不符合题意的无效解，重点锻炼学生的分类讨论逻辑思维能力。
【难度系数】
0.25
我们可以按小问逐步梳理解题思路：
1. 第(1)问：先计算灯B从BM顺时针转到BN的总转动时长，B需要转180°，结合转速3°/s就能得到总耗时，减去B先转动的10s就是灯A的转动时长，再结合A的转速1°/s，直接算出A转过的角度即可。
2. 第(2)问：设灯B转动时间为x s，那么灯A总转动时长为(x+30)s，转过角度为(x+30)°。由于两灯转速不同，射线在不同时间段的位置有差异，我们按x的取值范围分类讨论，结合PQ//MN的平行线拐角模型，把∠ACB拆分为两个内错角的和列方程，最后舍去不在对应区间的无效解。
3. 第(3)问：两灯同时转动，时间为t s，同样按t的不同取值区间分类讨论，利用平行线同位角相等的性质列平行的方程，利用两直线垂直夹角为90°的性质列垂直的方程，求解后验证解是否在对应区间，舍去不符合题意的结果即可。
【解析】
(1) 灯B从BM顺时针旋转至BN，总转动角度为180°，转速为3°/s，总耗时为$180÷3=60\ \mathrm{s}$。
灯B比灯A先转动10s，因此灯A的转动时长为$60-10=50\ \mathrm{s}$，灯A转速为1°/s，转过的角度为$50×1°=50°$。
(2) 设灯B转动的时间为$x\ \mathrm{s}$，此时灯A总共转动的时长为$(x+30)\ \mathrm{s}$，转过的角度为$(x+30)°$，分情况讨论：
① 当$0＜x≤ 60$时，灯B的射线从BM向BN转动，结合平行线拐角性质得：$30+x+180-3x=130$，整理得$-2x=-80$，解得$x=40$，符合取值范围。
② 当$60＜x≤ 120$时，灯B的射线已经从BN回转向BM方向转动：
第一种情况，A的射线未到达AQ，得$30+x+3x-180=130$，整理得$4x=280$，解得$x=70$，符合取值范围；
第二种情况，A的射线已经从AQ回转向AP方向转动，得$180-30-x+360-3x=130$，整理得$-4x=-380$，解得$x=95$，符合取值范围。
③ 当$120＜x＜150$时，灯B的射线第二次从BM向BN转动，得$180-30-x+3x-360=130$，整理得$2x=340$，解得$x=170$，不在取值范围内，舍去。
综上，灯B转动的时间为40 s或70 s或95 s。
(3) 两灯同时转动，时间为$t\ \mathrm{s}$，灯A转过角度为$t°$，灯B转过角度为$3t°$，分情况讨论：
① 当$0＜t≤ 60$时，两光线不可能平行；若两光线垂直，得$t+180-3t=90$，整理得$-2t=-90$，解得$t=45$，符合区间范围。
② 当$60＜t≤ 120$时：
若两光线垂直，第一种情况：$t+3t-180=90$，整理得$4t=270$，解得$t=67.5$，符合区间范围；第二种情况：$180-t+360-3t=90$，整理得$-4t=-450$，解得$t=112.5$，符合区间范围。
若两光线平行，由同位角相等得$t=360-3t$，整理得$4t=360$，解得$t=90$，符合区间范围。
③ 当$120＜t＜180$时：
若两光线垂直，得$180-t+3t-360=90$，整理得$2t=270$，解得$t=135$，符合区间范围。
若两光线平行，得$t=3t-360$，整理得$2t=360$，解得$t=180$，不在$0＜t＜180$范围内，舍去。
综上所述，当t的值为45、67.5、112.5、135时两光线垂直，当t的值为90时两光线平行。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50}$
(2) 灯B转动的时间为40 s或70 s或95 s
(3) 存在，当t的值为45或67.5或112.5或135时，两光线垂直；当t的值为90时，两光线平行
【知识点】
平行线性质，动态角旋转，分类讨论思想
【点评】
本题是平行线性质与动态旋转结合的综合压轴题，核心考察平行线的拐角模型应用，需要根据不同时间段射线的位置分类讨论，很容易出现漏解的情况，解题时要注意角度的取值范围，及时舍去不符合题意的无效解，重点锻炼学生的分类讨论逻辑思维能力。
【难度系数】
0.25
