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11. 若$M=3x^{2}+5,N=2x^{2}+4x$,则$M$与$N$之间的大小关系是（
A.$M ≥ N$
B.$M ≤ N$
C.$M ＞ N$
D.$M ＜ N$
C
）A.$M ≥ N$
B.$M ≤ N$
C.$M ＞ N$
D.$M ＜ N$
答案
11. C 解析: 因为$M=3x^2+5,N=2x^2+4x$,所以$M-N=3x^2+5-(2x^2+4x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1.$ 因为$(x-2)^2≥0$,所以$M-N＞0$,所以$M＞N.$
12. 新素养 抽象能力 对任意实数 $a,b$, 定义新运
$\mathrm{算“}*\mathrm{”}:a*b=\begin{cases}a^2-ab\ (a＞b),\\ ab-b^2\ (a≤ b).\end{cases}\mathrm{例如}:4*2,$
因为 $4＞2$, 所以 $4*2=4^2-4×2=8$. 若 $x_1$,
$x_2$ 是一元二次方程 $x^2-10x+16=0$ 的两个
根,则 $x_1*x_2=$
$\mathrm{算“}*\mathrm{”}:a*b=\begin{cases}a^2-ab\ (a＞b),\\ ab-b^2\ (a≤ b).\end{cases}\mathrm{例如}:4*2,$
因为 $4＞2$, 所以 $4*2=4^2-4×2=8$. 若 $x_1$,
$x_2$ 是一元二次方程 $x^2-10x+16=0$ 的两个
根,则 $x_1*x_2=$
48或-48
.答案
12. 48或$-48$ 解析: 因为$x^2-10x+16=0$,所以$x^2-10x=-16$,所以$x^2-10x+25=-16+25$,即$(x-5)^2=9$,所以$x-5=\pm3$,解得$x_1=8,x_2=2$或$x_1=2,x_2=8.$ 分类讨论如下:① 当$x_1=8,x_2=2$时,$x_1*x_2=8^2-8×2=48$;② 当$x_1=2,x_2=8$时,$x_1*x_2=2×8-8^2=-48.$ 综上所述,$x_1*x_2=48$或$-48.$
13. 规定:$a\bigotimes b=(a+b)b$,如:$2\bigotimes 3=(2+3)×$$3=15$.若$2\bigotimes x=3$,则$x=$
1或-3
.答案
13. 1或$-3$ 解析: 由题意,得$(2+x)x=3.$ 整理,得$x^2+2x=3$,所以$x^2+2x+1=3+1$,即$(x+1)^2=4$,所以$x+1=\pm2$,所以$x=1$或$-3.$
14. 已知实数 $x,y$ 满足 $x^{2}+y^{2}+6x-2y+10=$
$0,$ 则 $x=$
$0,$ 则 $x=$
-3
,$y=$ 1
.答案
14. $-3$ $1$ 解析: 因为$x^2+y^2+6x-2y+10=0$,所以$x^2+6x+9+y^2-2y+1=0$,即$(x+3)^2+(y-1)^2=0$,所以$x+3=0,y-1=0$,所以$x=-3$,$y=1.$
15. 有 $n$ 个关于 $x$ 的一元二次方程: $x^{2}+2x-$
$8=0 ; x^{2}+2 ×2 x-8 ×2^{2}=0 ; ··· ; x^{2}+2 n x-$
$8 n^{2}=0$. 小静同学解第 1 个方程 $x^{2}+2 x-$
$8=0$ 的步骤如下:
① $x^{2}+2 x=8$;
② $x^{2}+2 x+1=8+1$;
③ $(x+1)^{2}=9$;
④ $x+1= \pm 3$;
⑤ $x=1 \pm 3$;
⑥ $x_{1}=4, x_{2}=-2$.
(1) 小静的解法是从步骤
(2) 用配方法解第 $n$ 个方程: $x^{2}+2 n x-$ $8n^{2}=0$.(用含 $n$ 的代数式表示方程的解)
$8=0 ; x^{2}+2 ×2 x-8 ×2^{2}=0 ; ··· ; x^{2}+2 n x-$
$8 n^{2}=0$. 小静同学解第 1 个方程 $x^{2}+2 x-$
$8=0$ 的步骤如下:
① $x^{2}+2 x=8$;
② $x^{2}+2 x+1=8+1$;
③ $(x+1)^{2}=9$;
④ $x+1= \pm 3$;
⑤ $x=1 \pm 3$;
⑥ $x_{1}=4, x_{2}=-2$.
(1) 小静的解法是从步骤
⑤
开始出现错误的;(填序号)(2) 用配方法解第 $n$ 个方程: $x^{2}+2 n x-$ $8n^{2}=0$.(用含 $n$ 的代数式表示方程的解)
答案
15. (1) ⑤
(2) 因为$x^2+2nx-8n^2=0$,所以$x^2+2nx=8n^2$,所以$x^2+2nx+n^2=8n^2+n^2$,即$(x+n)^2=9n^2$,所以$x+n=\pm3n$,所以$x=-n\pm3n$,所以$x_1=-4n$,$x_2=2n.$
(2) 因为$x^2+2nx-8n^2=0$,所以$x^2+2nx=8n^2$,所以$x^2+2nx+n^2=8n^2+n^2$,即$(x+n)^2=9n^2$,所以$x+n=\pm3n$,所以$x=-n\pm3n$,所以$x_1=-4n$,$x_2=2n.$
16. 已知 $3x - y = 3a^2 - 6a + 9, x + y = a^2 +$
$6a - 9.$ 若 $x ≤ y$, 则实数 $a$ 的值为 （
A.3
B.$-3$
C.$\pm 3$
D.任意数
$6a - 9.$ 若 $x ≤ y$, 则实数 $a$ 的值为 （
A
）A.3
B.$-3$
C.$\pm 3$
D.任意数
答案
16. A 解析: 解方程组$\begin{cases}3x-y=3a^2-6a+9,\\x+y=a^2+6a-9,\end{cases}$得$\begin{cases}x=a^2,\\y=6a-9.\end{cases}$ 因为$x≤ y$,所以$a^2≤6a-9$,即$(a-3)^2≤0.$ 又$(a-3)^2≥0$,所以$(a-3)^2=0$,解得$a=3.$
17. 亮点原创 若 $0＜m＜n,m^{2}-7mn+n^{2}=$
0 , 则 $\dfrac{m-n}{m+n}=$
0 , 则 $\dfrac{m-n}{m+n}=$
$-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
.答案
17. $-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ 解析: 因为$m^2-7mn+n^2=0$,所以$m^2+n^2=7mn$,所以$(m+n)^2=9mn$,$(m-n)^2=5mn.$ 因为$0＜m＜n$,所以$m-n＜0$,$m+n＞0$,$mn＞0$,所以$\dfrac{m-n}{m+n}=-\sqrt{\dfrac{(m-n)^2}{(m+n)^2}}=-\sqrt{\dfrac{5mn}{9mn}}=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}.$
18. (2025·江苏泰州二模)选取二次三项式$ax^{2}+bx+c$中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方.例如：
① 选取二次项和一次项配方：$x^{2}-4x+2=$$(x-2)^{2}-2$；
② 选取二次项和常数项配方：$x^{2}-4x+2=$$(x-\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2}-4)x$ 或 $x^{2}-4x+2=$$(x+\sqrt{2})^{2}-(4+2\sqrt{2})x$；
③ 选取一次项和常数项配方：$x^{2}-4x+2=$$(\sqrt{2}x-\sqrt{2})^{2}-x^{2}$.
根据上述材料，解答下列问题：
(1) 写出$x^{2}-8x+4$的两种不同形式的配方；
(2) 已知$x^{2}+\dfrac{5}{4}y^{2}+xy-4y+4=0$，求$x^{y}$的值.
① 选取二次项和一次项配方：$x^{2}-4x+2=$$(x-2)^{2}-2$；
② 选取二次项和常数项配方：$x^{2}-4x+2=$$(x-\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2}-4)x$ 或 $x^{2}-4x+2=$$(x+\sqrt{2})^{2}-(4+2\sqrt{2})x$；
③ 选取一次项和常数项配方：$x^{2}-4x+2=$$(\sqrt{2}x-\sqrt{2})^{2}-x^{2}$.
根据上述材料，解答下列问题：
(1) 写出$x^{2}-8x+4$的两种不同形式的配方；
(2) 已知$x^{2}+\dfrac{5}{4}y^{2}+xy-4y+4=0$，求$x^{y}$的值.
答案
18. (1) 答案不唯一,如:$x^2-8x+4=x^2-8x+16-16+4=(x-4)^2-12$;$x^2-8x+4=(x-2)^2+4x-8x=(x-2)^2-4x.$
(2) 因为$x^2+\dfrac{5}{4}y^2+xy-4y+4=0$,所以$x^2+xy+\dfrac{1}{4}y^2+(y^2-4y+4)=0$,所以$(x+\dfrac{1}{2}y)^2+(y-2)^2=0$,所以$\begin{cases}x+\dfrac{1}{2}y=0,\\y-2=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-1,\\y=2,\end{cases}$ 所以$x^y=(-1)^2=1.$
(2) 因为$x^2+\dfrac{5}{4}y^2+xy-4y+4=0$,所以$x^2+xy+\dfrac{1}{4}y^2+(y^2-4y+4)=0$,所以$(x+\dfrac{1}{2}y)^2+(y-2)^2=0$,所以$\begin{cases}x+\dfrac{1}{2}y=0,\\y-2=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-1,\\y=2,\end{cases}$ 所以$x^y=(-1)^2=1.$
