登录
24. 右图中的小格子为边长1 cm的正方形。(π取3)(5分)
(1)将三角形ABC向右平移5格,请画出平移后的三角形$A_1B_1C_1$。
如果三角形ABC的顶点A用数对表示为$(3,7)$,
那么平移后对应点$A_1$的位置应该是( , )。
(2)将三角形ABC绕点B逆时针旋转$90°$,点A转动了()cm。
(3)三角形ABC以AB为轴旋转一周,得到的图形是(),体积为()$\mathrm{cm}^3$。
(1)将三角形ABC向右平移5格,请画出平移后的三角形$A_1B_1C_1$。
如果三角形ABC的顶点A用数对表示为$(3,7)$,
那么平移后对应点$A_1$的位置应该是( , )。
(2)将三角形ABC绕点B逆时针旋转$90°$,点A转动了()cm。
(3)三角形ABC以AB为轴旋转一周,得到的图形是(),体积为()$\mathrm{cm}^3$。
答案
24.(1)三角形$A_1B_1C_1$如图
(8,7) (2)3(3)圆锥 2
解析
【分析】
本题分为三个小问题，需分别运用图形平移、旋转的性质及圆锥体积公式解题：
1. 平移问题：数对规则为（列，行），向右平移时列数增加、行数不变，据此计算对应点位置，再按要求画图；
2. 旋转路径问题：点绕固定点旋转的轨迹是圆弧，半径为旋转点到固定点的距离，利用弧长公式计算转动距离；
3. 旋转体体积问题：以直角边为轴旋转直角三角形得到圆锥，需确定圆锥的底面半径和高，代入体积公式计算。
【解析】
(1) 数对中第一个数表示列，第二个数表示行，向右平移5格时，列数加5、行数不变。已知A的数对为(3,7)，则A₁的列数为3+5=8，行数为7，即A₁位置为(8,7)；画图时将A、B、C三点分别向右平移5格得到A₁、B₁、C₁，连接三点即可得到平移后的三角形。
(2) 点A绕B逆时针旋转90°，转动轨迹是圆心为B、半径为AB的圆弧。由数对可知AB长度为2cm（每格1cm），弧长公式为$L=\frac{nπr}{180}$，代入n=90°、π=3、r=2cm，得$L=\frac{90×3×2}{180}=3$cm。
(3) 三角形ABC以AB为轴旋转一周得到圆锥，底面半径r=BC=1cm，高h=AB=2cm，圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}πr²h$，代入π=3、r=1、h=2，得$V=\frac{1}{3}×3×1²×2=2$cm³。
【答案】
(1) 三角形$A_1B_1C_1$如图 (8,7)；(2)3；(3)圆锥 2
【知识点】
图形的平移、图形的旋转、圆锥的体积
【点评】
本题综合考查图形变换与圆锥体积计算，需掌握数对平移规律、弧长计算、圆锥体积公式，注意π的取值要求，属于小学阶段的中等综合题。
【难度系数】
0.5
本题分为三个小问题，需分别运用图形平移、旋转的性质及圆锥体积公式解题：
1. 平移问题：数对规则为（列，行），向右平移时列数增加、行数不变，据此计算对应点位置，再按要求画图；
2. 旋转路径问题：点绕固定点旋转的轨迹是圆弧，半径为旋转点到固定点的距离，利用弧长公式计算转动距离；
3. 旋转体体积问题：以直角边为轴旋转直角三角形得到圆锥，需确定圆锥的底面半径和高，代入体积公式计算。
【解析】
(1) 数对中第一个数表示列，第二个数表示行，向右平移5格时，列数加5、行数不变。已知A的数对为(3,7)，则A₁的列数为3+5=8，行数为7，即A₁位置为(8,7)；画图时将A、B、C三点分别向右平移5格得到A₁、B₁、C₁，连接三点即可得到平移后的三角形。
(2) 点A绕B逆时针旋转90°，转动轨迹是圆心为B、半径为AB的圆弧。由数对可知AB长度为2cm（每格1cm），弧长公式为$L=\frac{nπr}{180}$，代入n=90°、π=3、r=2cm，得$L=\frac{90×3×2}{180}=3$cm。
(3) 三角形ABC以AB为轴旋转一周得到圆锥，底面半径r=BC=1cm，高h=AB=2cm，圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}πr²h$，代入π=3、r=1、h=2，得$V=\frac{1}{3}×3×1²×2=2$cm³。
【答案】
(1) 三角形$A_1B_1C_1$如图
(8,7)；(2)3；(3)圆锥 2【知识点】
图形的平移、图形的旋转、圆锥的体积
【点评】
本题综合考查图形变换与圆锥体积计算，需掌握数对平移规律、弧长计算、圆锥体积公式，注意π的取值要求，属于小学阶段的中等综合题。
【难度系数】
0.5
25. 如图,一个圆柱被对半切成两个完全一样的半圆柱,如果切面是边长为 4cm 的正方形,那么原来圆柱的表面积和体积各是多少?(结果用含π的式子表示)(4 分)
答案
25. 原来圆柱的直径是4 cm,半径是$4÷2=2$(cm)
原来圆柱的高是4 cm。
原来圆柱的表面积是$2×π×2^2+π×4×4=24π(\mathrm{cm}^2)$
原来圆柱的体积是$π×2^2×4=16π(\mathrm{cm}^3)$
原来圆柱的高是4 cm。
原来圆柱的表面积是$2×π×2^2+π×4×4=24π(\mathrm{cm}^2)$
原来圆柱的体积是$π×2^2×4=16π(\mathrm{cm}^3)$
解析
【分析】首先，切面是边长为4cm的正方形，说明圆柱的底面直径与圆柱的高相等，都等于正方形的边长4cm。先求出圆柱的半径，再根据圆柱的表面积和体积公式进行计算。
【解析】解：由题意可知，圆柱的底面直径$d = 4\mathrm{cm}$，则半径$r = 4÷2 = 2\mathrm{cm}$，圆柱的高$h = 4\mathrm{cm}$。
圆柱的表面积 = 2个底面积 + 侧面积，即：
$2×π r^2 + π d h = 2×π×2^2 + π×4×4 = 8π + 16π = 24π (\mathrm{cm}^2)$
圆柱的体积 = 底面积×高，即：
$π r^2 h = π×2^2×4 = 16π (\mathrm{cm}^3)$
【答案】原来圆柱的表面积是$24π \mathrm{cm}^2$，体积是$16π \mathrm{cm}^3$
【知识点】圆柱表面积、圆柱体积
【点评】本题结合半圆柱的切面特征确定圆柱的关键参数，再运用圆柱表面积和体积公式计算，需准确分析参数并牢记公式。
【难度系数】0.6
【解析】解：由题意可知，圆柱的底面直径$d = 4\mathrm{cm}$，则半径$r = 4÷2 = 2\mathrm{cm}$，圆柱的高$h = 4\mathrm{cm}$。
圆柱的表面积 = 2个底面积 + 侧面积，即：
$2×π r^2 + π d h = 2×π×2^2 + π×4×4 = 8π + 16π = 24π (\mathrm{cm}^2)$
圆柱的体积 = 底面积×高，即：
$π r^2 h = π×2^2×4 = 16π (\mathrm{cm}^3)$
【答案】原来圆柱的表面积是$24π \mathrm{cm}^2$，体积是$16π \mathrm{cm}^3$
【知识点】圆柱表面积、圆柱体积
【点评】本题结合半圆柱的切面特征确定圆柱的关键参数，再运用圆柱表面积和体积公式计算，需准确分析参数并牢记公式。
【难度系数】0.6
26. 如图,在平行四边形$ABCD$中,如果$∠3=35°,∠4=70°,∠B=75°$,请想办法推理出$∠3=∠2$。
(3分)
(3分)
答案
26. 因为$∠2+∠4+∠B=180°$,所以$∠2=180°-∠4-∠B=180°-70°-75°=35°$。因为$∠3=35°$,所以$∠3=∠2$。(推理方法不唯一)
解析
【分析】要推理∠3=∠2，可利用三角形内角和定理，先计算出∠2的度数，再与已知的∠3的度数对比，即可完成证明。
【解析】在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠2 + ∠4 + ∠B = 180°
将∠4=70°，∠B=75°代入上式计算：
∠2 = 180° - ∠4 - ∠B = 180° - 70° - 75° = 35°
已知∠3=35°，因此∠3=∠2。
【答案】∠3=∠2，推理过程如上。
【知识点】三角形内角和定理，角的计算
【点评】本题考查三角形内角和定理的应用，通过计算角的度数证明角相等，属于基础几何题，思路清晰，难度较低。
【难度系数】0.6
【解析】在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠2 + ∠4 + ∠B = 180°
将∠4=70°，∠B=75°代入上式计算：
∠2 = 180° - ∠4 - ∠B = 180° - 70° - 75° = 35°
已知∠3=35°，因此∠3=∠2。
【答案】∠3=∠2，推理过程如上。
【知识点】三角形内角和定理，角的计算
【点评】本题考查三角形内角和定理的应用，通过计算角的度数证明角相等，属于基础几何题，思路清晰，难度较低。
【难度系数】0.6
