11. 教材 P70 例 1 变式 已知正方形的边长为 $a$,面积是7,试估计 $a$ 十分位上的数.
用下面“二分法”可以求出 $a$ 的近似值.
先阅读,再答题:
因为 $2^2＜7＜3^2$,所以 $2＜a＜3$.
第一步: 取 $\dfrac{2+3}{2}=2.5$, 由 $2.5^2=6.25＜7$ 得 $2.5＜$$a＜3$;
第二步: 取 $\dfrac{2.5+3}{2}=2.75$, 由 $2.75^2=7.562\ 5＞7$得 $2.5＜a＜2.75$.
请你继续上面的步骤,写出第三步,并通过第三步的结论,对 $a$ 十分位上的数作估计.

11. 取$\dfrac{2.5+2.75}{2}=2.625$,由$2.625^2=6.890\ 625＜7$,得$2.625＜a＜2.75$,所以$a$十分位上的数可能是6或7.

12. 在实数 $\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\dots,\sqrt{2\ 024},\sqrt{2\ 025},\sqrt{2\ 026}$ 中,无理数有个.

12. 1 981 解析:$\because 45^2=2\ 025$,$46^2=2\ 116$,$\therefore$在实数$\sqrt{1}$,$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,$\sqrt{4}$,$···$,$\sqrt{2\ 024}$,$\sqrt{2\ 025}$,$\sqrt{2\ 026}$中,有理数有45个,$\therefore$无理数有$2\ 026-45=1\ 981$(个).

13. (2025·浙江中考)【阅读理解】
同学们,我们来学习利用完全平方公式:$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$近似计算算术平方根的方法.
例如求$\sqrt{67}$的近似值. 因为$64＜67＜81$,所以$8＜\sqrt{67}＜9$,则$\sqrt{67}$可以设成以下两种形式:
①$\sqrt{67}=8+s$,其中$0＜s＜1$;
②$\sqrt{67}=9-t$,其中$0＜t＜1$.
小明以①的形式求$\sqrt{67}$的近似值的过程如图.
因为$\sqrt{67}=8+s$,所以$67=(8+s)^{2}$,
即$67=64+16s+s^{2}$.
因为$s^{2}$比较小,将$s^{2}$忽略不计,
所以$67\approx 64+16s$,即$16s\approx 67-64$,
得$s\approx \dfrac{67-64}{16}=\dfrac{3}{16}$,
故$\sqrt{67}\approx 8+\dfrac{3}{16}\approx 8.19$.
【尝试探究】
(1)请用②的形式求$\sqrt{67}$的近似值.(结果保留2位小数)
【比较分析】
(2)你认为用哪一种形式得出的$\sqrt{67}$的近似值的精确度更高,请说明理由.
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13. (1)设$\sqrt{67}=9-t$,其中$0＜t＜1$,$\therefore (\sqrt{67})^2=(9-t)^2$,$\therefore 67=81-18t+t^2$.$\because t^2$比较小,将$t^2$忽略不计,$\therefore 67\approx 81-18t$,$\therefore t\approx \dfrac{81-67}{18}=\dfrac{7}{9}$,$\therefore \sqrt{67}\approx 9-\dfrac{7}{9}\approx 8.22$.
(2)用①的形式得出的$\sqrt{67}$的近似值的精确度更高,理由如下:$\because 8.18× 8.18=66.912\ 4$,$8.19× 8.19=67.076\ 1$,$\sqrt{66.912\ 4}＜\sqrt{67}＜\sqrt{67.076\ 1}$,$\therefore 8.18＜\sqrt{67}＜8.19＜8.22$,$\therefore$用①的形式得出的$\sqrt{67}$的近似值的精确度更高.