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1. (2026·盐城校级月考)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股数”的是（
A.$\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{5}$
B.$1.5,2,2.5$
C.$5,12,11$
D.$7,24,25$
D
）A.$\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{5}$
B.$1.5,2,2.5$
C.$5,12,11$
D.$7,24,25$
答案
1. D 解析:勾股数定义要求是正整数且满足 $a^2+b^2=c^2$,A 选项为分数,非正整数,不符合题意;B 选项为小数,非正整数,不符合题意;C 选项:$5^2+11^2=25+121=146,12^2=144$,$146≠144$,不符合题意;D 选项:$7^2+24^2=49+576=625,25^2=625,625=625$,符合题意.故选 D.
易错提醒 判断勾股数时不仅要考虑其是否满足勾股定理的数量关系,还需要注意勾股数是正整数这一要求.
易错提醒 判断勾股数时不仅要考虑其是否满足勾股定理的数量关系,还需要注意勾股数是正整数这一要求.
2. (2025·常州期末)如图,根据尺规作图痕迹,
点M在数轴上表示的数是 （
A.$\sqrt{7}-1$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{7}+1$
D.5
点M在数轴上表示的数是 （
B
）A.$\sqrt{7}-1$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{7}+1$
D.5
答案
2. B 解析:如图,根据题意,可知 $AB=AC=1-(-3)=4,AO=0-(-3)=3,OA⊥ OC,\therefore\ OC=\sqrt{AC^2-AO^2}=\sqrt{4^2-3^2}=$
$\sqrt7,\therefore\ OM=OC=\sqrt7$,即点 M 在数轴上表示的数是$\sqrt7$.故选 B.
3. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$∠ A,∠ B,∠ C$ 的对边分别是 $a,b,c$，若 $a+b=14\ \mathrm{cm},c=10\ \mathrm{cm}$，则$\mathrm{Rt}△ ABC$ 的面积是（
A.$24\ \mathrm{cm}^2$
B.$36\ \mathrm{cm}^2$
C.$48\ \mathrm{cm}^2$
D.$60\ \mathrm{cm}^2$
A
）A.$24\ \mathrm{cm}^2$
B.$36\ \mathrm{cm}^2$
C.$48\ \mathrm{cm}^2$
D.$60\ \mathrm{cm}^2$
答案
3. A 解析:$\because$ Rt$△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$∠ A,∠ B,∠ C$ 所对的边分别为 $a,b,c,\therefore\ a^2+b^2=c^2.\because\ a+b=14\ \mathrm{cm},c=10\ \mathrm{cm},\therefore\ 2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=(a+b)^2-c^2=14^2-10^2=96(\mathrm{cm}^2)$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac12ab=\frac12×\frac{96}2=24(\mathrm{cm}^2)$,故选 A.
4. 由于大风,山坡上的一棵树甲从A点处被拦腰折断,其顶点恰好落在一棵树乙的底部C处,如图所示.已知$AB=4\ \mathrm{m}$,$BC=13\ \mathrm{m}$,两棵树的水平距离是12 m,则甲树原来的高度是(
A.15 m
B.17 m
C.19 m
D.21 m
C
)A.15 m
B.17 m
C.19 m
D.21 m
答案
4. C 解析:如图,过点 C 作 $CD⊥ AB$ 交 AB 的延长线于点 D.由题意,得 $CD=12\ \mathrm{m},AB=4\ \mathrm{m},BC=13\ \mathrm{m}$.在 Rt$△ BCD$ 中,$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5(\mathrm{m}),\therefore\ AD=AB+BD=9\ \mathrm{m}$.在 Rt$△ ACD$ 中,$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15(\mathrm{m})$,$\therefore\ AC+AB=19\ \mathrm{m}$.故甲树原来的高度是 19 m.故选 C.
5. 定义:我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=4,BC=3$,则$△ ABC$中$AB$边的“中高偏度值”为（
A.$\dfrac{24}{7}$
B.$\dfrac{25}{7}$
C.$\dfrac{12}{5}$
D.$\dfrac{13}{5}$
B
）A.$\dfrac{24}{7}$
B.$\dfrac{25}{7}$
C.$\dfrac{12}{5}$
D.$\dfrac{13}{5}$
答案
5. B 解析:如图,过点 C 作 $CH⊥ AB$ 于点 H,取 AB 的中点 D,连接 CD,$\because\ ∠ ACB=90°,\ AC=4,\ BC=3$,$\therefore\ AB^2=AC^2+BC^2=5^2$,$\therefore\ AB=5$,$\therefore\ CD=BD=\frac12AB=2.5.\because\ 2S_{△ ABC}=AC· BC=AB· CH$,$\therefore\ CH=2.4$,$\therefore\ BH^2=BC^2-CH^2=1.8^2$,$\therefore\ BH=1.8$,$\therefore\ DH=BD-BH=0.7$,$\therefore\ \frac{CD}{DH}=\frac{2.5}{0.7}=\frac{25}7$.故选 B.
6. 一次数学课上,老师请同学们在一张长为18 cm,宽为16 cm 的长方形纸板上,剪下一个腰长为 10 cm 的等腰三角形,且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其他两个顶点在长方形的边上,则剪下的等腰三角形的面积为（
A.$50\ \mathrm{cm^{2}}$
B.$50\ \mathrm{cm^{2}}$或$40\ \mathrm{cm^{2}}$
C.$50\ \mathrm{cm^{2}}$或$40\ \mathrm{cm^{2}}$或$30\ \mathrm{cm^{2}}$
D.$50\ \mathrm{cm^{2}}$或$30\ \mathrm{cm^{2}}$或$20\ \mathrm{cm^{2}}$
C
）A.$50\ \mathrm{cm^{2}}$
B.$50\ \mathrm{cm^{2}}$或$40\ \mathrm{cm^{2}}$
C.$50\ \mathrm{cm^{2}}$或$40\ \mathrm{cm^{2}}$或$30\ \mathrm{cm^{2}}$
D.$50\ \mathrm{cm^{2}}$或$30\ \mathrm{cm^{2}}$或$20\ \mathrm{cm^{2}}$
答案
6. C 解析:本题可分三种情况讨论:①如图①,在 Rt$△ AEF$中,$AE=AF=10\ \mathrm{cm},S_{△ AEF}=\frac12· AE· AF=\frac12×10×10=50(\mathrm{cm}^2)$;②如图②,在 $△ AGH$ 中,$AG=GH=10\ \mathrm{cm}$,在Rt$△ BGH$ 中,$BG=AB-AG=16-10=6(\mathrm{cm})$,根据勾股定理可得 $BH=8\ \mathrm{cm}$,$\therefore\ S_{△ AGH}=\frac12AG· BH=\frac12×10×8=40(\mathrm{cm}^2)$;③如图③,在 $△ AMN$ 中,$AM=MN=10\ \mathrm{cm}$,在 Rt$△ DMN$ 中,$DM=AD-AM=18-10=8(\mathrm{cm})$,根据勾股定理可得 $DN=6\ \mathrm{cm}$,$\therefore\ S_{△ AMN}=\frac12AM· DN=\frac12×10×6=30(\mathrm{cm}^2)$.故选 C.
二、填空题(每小题4分,共32分)
7. (2025·南通校级月考)直角三角形的两边 $a,b$满足$|a^{2}-9|+\sqrt{16-b^{2}}=0$,第三边长是
7. (2025·南通校级月考)直角三角形的两边 $a,b$满足$|a^{2}-9|+\sqrt{16-b^{2}}=0$,第三边长是
5 或$\sqrt7$
.答案
7. 5 或$\sqrt7$ 解析:因为直角三角形的两边 $a,b$ 满足 $|a^2-9|+\sqrt{16-b^2}=0$,所以 $a^2-9=0,16-b^2=0$,解得 $a=3$ 或 $a=-3$(舍去),$b=4$ 或 $b=-4$(舍去),当第三边是直角边时,长为$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt7$;当第三边是斜边时,长为 $\sqrt{4^2+3^2}=5$.故答案为 5 或$\sqrt7$.
8. (2024·浙江中考改编)如图,正方形ABCD由四个全等的直角三角形($△ ABE$, $△ BCF$, $△ CDG$,$△ DAH$)和中间一个小正方形EFGH组成,连接DE.若$AE=4,BE=3$,则$DE=$
$\sqrt{17}$
.答案
8. $\sqrt{17}$ 解析:$\because\ △ ABE,△ BCF,△ CDG,△ DAH$ 是四个全等的直角三角形,$AE=4,BE=3$,$\therefore\ AH=EB=3,DH=AE=4$,$\therefore\ HE=AE-AH=1.\because\ $ 四边形 EFGH 为正方形,$\therefore\ ∠ DHE=90°$,$\therefore\ DE=\sqrt{DH^2+HE^2}=\sqrt{17}$.
9. 如图,以 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若 $AB=3$,则图中阴影部分的面积为
$\frac92$
.答案
9. $\frac92$ 解析:$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ACD}+S_{△ ABE}+S_{△ BCF}=\frac12AD^2+\frac12AE^2+\frac12BF^2=\frac12(AD^2+AE^2+BF^2)=\frac12(\frac12AC^2+\frac12AB^2+\frac12BC^2)=\frac14(AC^2+AB^2+BC^2)=\frac14×(2× AB^2)=\frac92$.
10.(北京中考)如图所示的网格是正方形网格，
则$∠ PAB+∠ PBA=$
网格线交点)
则$∠ PAB+∠ PBA=$
45
$°$.(点$A,B,P$是网格线交点)
答案
10. 45 解析:如图,延长 AP 交格点于 D,连接 BD,设小正方形的边长为 1,则 $PD^2=BD^2=1^2+2^2=5,PB^2=1^2+3^2=10$,$\therefore\ PD^2+DB^2=PB^2$,$\therefore\ ∠ PDB=90°$,$\therefore\ ∠ DPB=∠ PAB+∠ PBA=45°$.
