登录
24.(12分)如图,将两把三角尺作如下摆放,$∠EGF=∠MPN=90°$,$∠GFE=∠PNM=30°$,直线AB过点E,MN在直线CD上,EG平分∠AEF。
(1)求∠BEF的度数。
(2)试判断AB与CD的位置关系,并说明理由。
(3)将△EGF绕点E按逆时针方向旋转,速度为每秒$4°$,同时△MPN绕点N按逆时针方向旋转,速度为每秒$10°$,记旋转时间为t(s),当△PMN旋转一周时,整个运动停止。当EF与△MPN的任意一边平行时,求出所有满足条件的t的值。
(1)求∠BEF的度数。
(2)试判断AB与CD的位置关系,并说明理由。
(3)将△EGF绕点E按逆时针方向旋转,速度为每秒$4°$,同时△MPN绕点N按逆时针方向旋转,速度为每秒$10°$,记旋转时间为t(s),当△PMN旋转一周时,整个运动停止。当EF与△MPN的任意一边平行时,求出所有满足条件的t的值。
答案
(1)根据题意得$∠ GEF=60°$,因为EG平分$∠ AEF$,所以$∠ AEF=2∠ GEF=120°$。所以$∠ BEF=180°-∠ AEF=60°$。
(2)过点G作$GL// AB$。根据题意得$∠ AEG=60°$,$∠ PNM=30°$,$∠ EGF=90°$,所以$∠ EGL=∠ AEG=60°$。所以$∠ LGP=30°$。所以$∠ LGP=∠ PNM=30°$。所以$GL// CD$。所以$CD// AB$。
(3)如图
,当$EF// PM$时,延长EF交CD于点H,延长PN交EF于点O,交AB于点G。因为$∠ NPM=90°$,所以$∠ NOH=90°$。由题意得$∠ HEG=60°-4t°$,$∠ CNP=10t°-30°$。因为$CD// AB$,所以$∠ EHN=60°-4t°$,$∠ CNP=∠ HNO=10t°-30°$。所以$∠ EHN+∠ CNP=90°$,即$60-4t+10t-30=90$,解得$t=10$。如图
,当$EF// NM$时,延长NM交AB于点G。所以$∠ FEG=4t°-60°$,$∠ MND=10t°-180°$。因为$CD// AB$,所以$∠ DNM=∠ BGM=10t°-180°$。因为$EF// NM$,所以$∠ FEB=∠ BGM$,即$10t-180=4t-60$,解得$t=20$。如图[图3],当$EF// NP$时,延长NP交AB于点G。所以$∠ FEG=4t°-60°$,$∠ GND=10t°-210°$。因为$CD// AB$,所以$∠ DNG=∠ AGN=10t°-210°$。因为$EF// NP$,所以$∠ FEG=∠ EGN$,即$10t-210=4t-60$,解得$t=25$。综上所述,$t$的值为10或20或25。解析
【分析】
本题分为三小问，第(1)问利用三角尺内角和与角平分线定义，先求∠GEF，再计算∠AEF，最后用平角性质得∠BEF；第(2)问通过作辅助线构造平行线，利用平行线传递性判断AB与CD平行；第(3)问需分EF与△MPN三边分别平行的三种情况，结合旋转速度和角度关系列方程求解，注意旋转一周的时间限制。
【解析】
(1) 在△EGF中，∠EGF=90°，∠GFE=30°，根据三角形内角和为180°，得∠GEF=180°−90°−30°=60°。
因为EG平分∠AEF，所以∠AEF=2∠GEF=2×60°=120°。
又点A、E、B共线，∠AEF + ∠BEF=180°，故∠BEF=180°−120°=60°。
(2) AB与CD平行，理由如下：
过点G作GL//AB，根据平行线内错角相等，得∠EGL=∠AEG。
由(1)知∠AEG=∠GEF=60°，所以∠EGL=60°。
已知∠EGF=90°，则∠LGP=∠EGF−∠EGL=90°−60°=30°。
又∠PNM=30°，故∠LGP=∠PNM，根据同位角相等两直线平行，得GL//CD。
因为GL//AB，所以AB//CD（平行于同一直线的两直线平行）。
(3) 分三种情况讨论：
① 当EF//PM时，△EGF旋转t秒后∠GEF=60°−4t°，△MPN旋转t秒后∠CNP=10t°−30°。
因AB//CD，∠EHN=∠GEF=60°−4t°，且∠NPM=90°，故∠EHN + ∠CNP=90°，即60−4t +10t−30=90，解得t=10。
② 当EF//NM时，△EGF旋转t秒后∠FEB=4t°−60°，△MPN旋转t秒后∠DNM=10t°−180°。
因AB//CD，∠BGM=∠DNM=10t°−180°，且EF//NM，故∠FEB=∠BGM，即10t−180=4t−60，解得t=20。
③ 当EF//NP时，△EGF旋转t秒后∠FEG=4t°−60°，△MPN旋转t秒后∠GND=10t°−210°。
因AB//CD，∠AGN=∠GND=10t°−210°，且EF//NP，故∠FEG=∠AGN，即10t−210=4t−60，解得t=25。
△MPN旋转一周时间为360÷10=36秒，10、20、25均小于36，符合条件。
【答案】
(1) ∠BEF=60°；(2) AB//CD；(3) t的值为10或20或25。
【知识点】
平行线的判定与性质、角平分线的定义、旋转的性质
【点评】
本题结合三角尺特殊角度，综合考查平行线、角平分线及旋转的知识，需分情况讨论EF与△MPN三边平行的情况，对学生的逻辑推理和分类讨论能力要求较高。
【难度系数】
0.5
本题分为三小问，第(1)问利用三角尺内角和与角平分线定义，先求∠GEF，再计算∠AEF，最后用平角性质得∠BEF；第(2)问通过作辅助线构造平行线，利用平行线传递性判断AB与CD平行；第(3)问需分EF与△MPN三边分别平行的三种情况，结合旋转速度和角度关系列方程求解，注意旋转一周的时间限制。
【解析】
(1) 在△EGF中，∠EGF=90°，∠GFE=30°，根据三角形内角和为180°，得∠GEF=180°−90°−30°=60°。
因为EG平分∠AEF，所以∠AEF=2∠GEF=2×60°=120°。
又点A、E、B共线，∠AEF + ∠BEF=180°，故∠BEF=180°−120°=60°。
(2) AB与CD平行，理由如下：
过点G作GL//AB，根据平行线内错角相等，得∠EGL=∠AEG。
由(1)知∠AEG=∠GEF=60°，所以∠EGL=60°。
已知∠EGF=90°，则∠LGP=∠EGF−∠EGL=90°−60°=30°。
又∠PNM=30°，故∠LGP=∠PNM，根据同位角相等两直线平行，得GL//CD。
因为GL//AB，所以AB//CD（平行于同一直线的两直线平行）。
(3) 分三种情况讨论：
① 当EF//PM时，△EGF旋转t秒后∠GEF=60°−4t°，△MPN旋转t秒后∠CNP=10t°−30°。
因AB//CD，∠EHN=∠GEF=60°−4t°，且∠NPM=90°，故∠EHN + ∠CNP=90°，即60−4t +10t−30=90，解得t=10。
② 当EF//NM时，△EGF旋转t秒后∠FEB=4t°−60°，△MPN旋转t秒后∠DNM=10t°−180°。
因AB//CD，∠BGM=∠DNM=10t°−180°，且EF//NM，故∠FEB=∠BGM，即10t−180=4t−60，解得t=20。
③ 当EF//NP时，△EGF旋转t秒后∠FEG=4t°−60°，△MPN旋转t秒后∠GND=10t°−210°。
因AB//CD，∠AGN=∠GND=10t°−210°，且EF//NP，故∠FEG=∠AGN，即10t−210=4t−60，解得t=25。
△MPN旋转一周时间为360÷10=36秒，10、20、25均小于36，符合条件。
【答案】
(1) ∠BEF=60°；(2) AB//CD；(3) t的值为10或20或25。
【知识点】
平行线的判定与性质、角平分线的定义、旋转的性质
【点评】
本题结合三角尺特殊角度，综合考查平行线、角平分线及旋转的知识，需分情况讨论EF与△MPN三边平行的情况，对学生的逻辑推理和分类讨论能力要求较高。
【难度系数】
0.5
