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6. 如图,在$△ ABC$中,E,F分别为AC,BC的中点,D为BC上一点,联结AD交EF于点G,已知$AE=EG$。
(1)求证:$∠ CAD=∠ BAD$。
(2)已知$DG=DF$,若$∠ B=32°$,求$∠ C$的度数。
(1)求证:$∠ CAD=∠ BAD$。
(2)已知$DG=DF$,若$∠ B=32°$,求$∠ C$的度数。
答案
6.(1)证明:因为E,F分别为AC,BC的中点,所以EF是△ABC的中位线,所以EF//AB,所以$∠EGA=∠BAD$。因为$AE=EG$,所以$∠EGA=∠CAD$,所以$∠CAD=∠BAD$。
(2)解:因为EF//AB,$∠B=32°$,所以$∠DFG=∠B=32°$。因为$DG=DF$,所以$∠DGF=∠DFG=32°$,所以$∠GDF=180°-32°-32°=116°$,所以$∠EGA=∠DGF=32°$。因为$AE=EG$,所以$∠EAG=∠EGA=32°$,所以$∠C=∠GDF-∠EAG=116°-32°=84°$。
(2)解:因为EF//AB,$∠B=32°$,所以$∠DFG=∠B=32°$。因为$DG=DF$,所以$∠DGF=∠DFG=32°$,所以$∠GDF=180°-32°-32°=116°$,所以$∠EGA=∠DGF=32°$。因为$AE=EG$,所以$∠EAG=∠EGA=32°$,所以$∠C=∠GDF-∠EAG=116°-32°=84°$。
解析
【分析】
第(1)问，先根据三角形中位线的判定，E、F分别为AC、BC中点，可知EF是△ABC的中位线，利用中位线平行于第三边的性质，得到EF//AB，进而推出内错角∠EGA=∠BAD；再结合已知AE=EG，由等腰三角形等边对等角的性质，得∠EGA=∠CAD，通过等量代换即可证明∠CAD=∠BAD。
第(2)问，先利用EF//AB，根据平行线同位角相等，得∠DFG=∠B=32°；再由DG=DF，等腰三角形等边对等角，得∠DGF=∠DFG=32°，结合三角形内角和算出∠GDF；利用对顶角相等得∠EGA=∠DGF=32°，再结合AE=EG，等腰三角形性质得∠EAG=∠EGA=32°；最后根据三角形外角性质，∠GDF是△ACD的外角，等于∠C+∠CAD，从而计算出∠C的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//AB，
∴∠EGA=∠BAD。
又
∵AE=EG，
∴△AEG是等腰三角形，
∴∠EGA=∠CAD，
∴∠CAD=∠BAD。
(2) 解：
∵EF//AB，∠B=32°，
∴∠DFG=∠B=32°。
∵DG=DF，
∴△DGF是等腰三角形，
∴∠DGF=∠DFG=32°，
∴∠GDF=180°-∠DGF-∠DFG=180°-32°-32°=116°。
∵∠EGA与∠DGF是对顶角，
∴∠EGA=∠DGF=32°。
又
∵AE=EG，
∴△AEG是等腰三角形，
∴∠EAG=∠EGA=32°。
∵∠GDF是△ACD的外角，
∴∠GDF=∠C+∠CAD，
∴∠C=∠GDF - ∠CAD=116°-32°=84°。
【答案】
84°
【知识点】
三角形中位线、等腰三角形性质、平行线性质
【点评】
本题综合考查了三角形中位线的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，需要熟练运用角度的等量转换，解题时要注意对顶角、外角性质的运用，属于中等难度的几何证明与计算题目。
【难度系数】
0.6
第(1)问，先根据三角形中位线的判定，E、F分别为AC、BC中点，可知EF是△ABC的中位线，利用中位线平行于第三边的性质，得到EF//AB，进而推出内错角∠EGA=∠BAD；再结合已知AE=EG，由等腰三角形等边对等角的性质，得∠EGA=∠CAD，通过等量代换即可证明∠CAD=∠BAD。
第(2)问，先利用EF//AB，根据平行线同位角相等，得∠DFG=∠B=32°；再由DG=DF，等腰三角形等边对等角，得∠DGF=∠DFG=32°，结合三角形内角和算出∠GDF；利用对顶角相等得∠EGA=∠DGF=32°，再结合AE=EG，等腰三角形性质得∠EAG=∠EGA=32°；最后根据三角形外角性质，∠GDF是△ACD的外角，等于∠C+∠CAD，从而计算出∠C的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//AB，
∴∠EGA=∠BAD。
又
∵AE=EG，
∴△AEG是等腰三角形，
∴∠EGA=∠CAD，
∴∠CAD=∠BAD。
(2) 解：
∵EF//AB，∠B=32°，
∴∠DFG=∠B=32°。
∵DG=DF，
∴△DGF是等腰三角形，
∴∠DGF=∠DFG=32°，
∴∠GDF=180°-∠DGF-∠DFG=180°-32°-32°=116°。
∵∠EGA与∠DGF是对顶角，
∴∠EGA=∠DGF=32°。
又
∵AE=EG，
∴△AEG是等腰三角形，
∴∠EAG=∠EGA=32°。
∵∠GDF是△ACD的外角，
∴∠GDF=∠C+∠CAD，
∴∠C=∠GDF - ∠CAD=116°-32°=84°。
【答案】
84°
【知识点】
三角形中位线、等腰三角形性质、平行线性质
【点评】
本题综合考查了三角形中位线的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，需要熟练运用角度的等量转换，解题时要注意对顶角、外角性质的运用，属于中等难度的几何证明与计算题目。
【难度系数】
0.6
7.已知$△ ABC$的三边长分别为$7,24,25$,顺次联结三边的中点$D,E,F$,则$△ DEF$的面积是（
A.$7$
B.$21$
C.$28$
D.$56$
B
）A.$7$
B.$21$
C.$28$
D.$56$
答案
7.B 【解析】如图,不妨设在△ABC中,$BC=7$,$AC=24$,$AB=25$,$D,E,F$分别是$AB,BC,AC$的中点。因为$7^2+24^2=25^2$,所以△ABC是直角三角形,所以$∠C=90°$。因为D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,所以$DF// BC,DE// AC$,所以四边形CEDF是平行四边形。又因为$∠C=90°$,所以四边形CEDF是矩形,所以$∠EDF=90°$。因为DE,DF分别是△ABC的中位线,所以$DE=\frac{1}{2}AC=12, DF=\frac{1}{2}BC=\frac{7}{2}$,所以在Rt△DEF中,$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}DE· DF=\frac{1}{2}×12×\frac{7}{2}=21$。
解析
【分析】要计算△DEF的面积，首先利用勾股定理逆定理判断原△ABC的形状，再结合三角形中位线定理得到△DEF的边长关系，进而求出其面积。
【解析】在△ABC中，三边长为7,24,25，因为$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形，且$∠ C=90°$。由于D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，根据三角形中位线定理，DE是△ABC的中位线，故$DE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×24=12$；DF是△ABC的中位线，故$DF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×7=3.5$，且$DE// AC$、$DF// BC$，因此$∠ EDF=∠ C=90°$，即△DEF为直角三角形。所以△DEF的面积$S=\frac{1}{2}× DE× DF=\frac{1}{2}×12×3.5=21$。
【答案】B
【知识点】勾股定理逆定理、三角形中位线定理、三角形面积计算
【点评】本题综合考查直角三角形判定、三角形中位线性质及面积计算，属于基础题型，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】0.6
【解析】在△ABC中，三边长为7,24,25，因为$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形，且$∠ C=90°$。由于D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，根据三角形中位线定理，DE是△ABC的中位线，故$DE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×24=12$；DF是△ABC的中位线，故$DF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×7=3.5$，且$DE// AC$、$DF// BC$，因此$∠ EDF=∠ C=90°$，即△DEF为直角三角形。所以△DEF的面积$S=\frac{1}{2}× DE× DF=\frac{1}{2}×12×3.5=21$。
【答案】B
【知识点】勾股定理逆定理、三角形中位线定理、三角形面积计算
【点评】本题综合考查直角三角形判定、三角形中位线性质及面积计算，属于基础题型，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】0.6
8. 如图，$△ ABC$的面积是10，$D,E,F,G$分别是$BC,AD,BE,CE$的中点，则$△ EFG$的面积是________。
答案
8.$\frac{5}{4}$ 【解析】因为D是BC的中点,所以$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=5$。又因为E是AD的中点,所以$S_{△ EBD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{5}{2}$,$S_{△ ECD}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{5}{2}$,所以$S_{△ EBC}=S_{△ EBD}+S_{△ ECD}=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=5$。因为F,G分别是BE,CE的中点,所以FG是△EBC的中位线,所以$S_{△ EFG}=\frac{1}{4}S_{△ EBC}=\frac{5}{4}$。
解析
【分析】要计算△EFG的面积，需利用三角形中线平分面积、中位线性质及相似三角形面积比的知识逐步推导：首先由D是BC中点，得到△ABD和△ACD的面积；再由E是AD中点，算出△EBC的面积；最后根据F、G是BE、CE中点，得出FG是△EBC的中位线，结合相似三角形面积比求出△EFG的面积。
【解析】1. 因为D是BC的中点，根据三角形中线平分三角形面积的性质，可得$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。已知$S_{△ABC}=10$，所以$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}×10=5$。
2. 因为E是AD的中点，同理，BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，因此$S_{△EBD}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$，$S_{△ECD}=\frac{1}{2}S_{△ACD}=\frac{5}{2}$，故$S_{△EBC}=S_{△EBD}+S_{△ECD}=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=5$。
3. 因为F、G分别是BE、CE的中点，所以FG是△EBC的中位线，即$FG// BC$且$FG=\frac{1}{2}BC$，因此△EFG∽△EBC，相似比为$\frac{1}{2}$。根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得$\frac{S_{△EFG}}{S_{△EBC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，所以$S_{△EFG}=\frac{1}{4}×S_{△EBC}=\frac{1}{4}×5=\frac{5}{4}$。
【答案】$\frac{5}{4}$
【知识点】三角形中线性质、三角形中位线、相似三角形面积比
【点评】本题是基础的几何面积计算题型，核心是利用中点的性质逐步推导各三角形的面积，需掌握三角形中线平分面积、中位线的性质以及相似三角形面积比的规律，逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】1. 因为D是BC的中点，根据三角形中线平分三角形面积的性质，可得$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$。已知$S_{△ABC}=10$，所以$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}×10=5$。
2. 因为E是AD的中点，同理，BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，因此$S_{△EBD}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$，$S_{△ECD}=\frac{1}{2}S_{△ACD}=\frac{5}{2}$，故$S_{△EBC}=S_{△EBD}+S_{△ECD}=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=5$。
3. 因为F、G分别是BE、CE的中点，所以FG是△EBC的中位线，即$FG// BC$且$FG=\frac{1}{2}BC$，因此△EFG∽△EBC，相似比为$\frac{1}{2}$。根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得$\frac{S_{△EFG}}{S_{△EBC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，所以$S_{△EFG}=\frac{1}{4}×S_{△EBC}=\frac{1}{4}×5=\frac{5}{4}$。
【答案】$\frac{5}{4}$
【知识点】三角形中线性质、三角形中位线、相似三角形面积比
【点评】本题是基础的几何面积计算题型，核心是利用中点的性质逐步推导各三角形的面积，需掌握三角形中线平分面积、中位线的性质以及相似三角形面积比的规律，逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】0.5
9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=8$,点$D$在$BC$边上,$DA=DB=DC$,$E$是$△ ABC$内部一点,$EA=EB=5$,延长$BE$交$AC$于点$F$,联结$DE$,且$DE=2$,则$△ ABC$的面积是________。
答案
9.40 【解析】因为$DA=DB=DC$,所以$∠DBA=∠DAB$,$∠DAC=∠DCA$。因为$∠DBA+∠DAB+∠DAC+∠DCA=180°$,所以$∠DAB+∠DAC=90°=∠BAC$。因为$EA=EB=5$,所以$∠EBA=∠EAB$。因为$∠EBA+∠EFA=90°=∠EAB+∠EAF$,所以$∠EFA=∠EAF$,所以$EA=EF=EB=5$,所以$BF=10$。在Rt△BAF中,由勾股定理,得$AF=\sqrt{BF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。又因为D为BC的中点,所以$DE=\frac{1}{2}CF=2$,所以$CF=4$,所以$AC=AF+CF=10$,所以在Rt△ABC中,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×8×10=40$。
解析
【分析】
要解决本题，需逐步推导线段关系与角度性质：首先根据DA=DB=DC，利用等腰三角形内角和推出∠BAC为直角，确定△ABC是直角三角形；再结合EA=EB的条件，通过直角三角形的角度关系得到EA=EF，进而求出BF长度；接着用勾股定理算出AF，最后利用D是BC中点、E是BF中点，结合三角形中位线定理求出CF，得到AC长度，最终计算△ABC的面积。
【解析】
1. 由DA=DB=DC，得∠DAB=∠DBA，∠DAC=∠DCA。根据三角形内角和为180°，有∠DAB+∠DBA+∠DAC+∠DCA=180°，因此∠DAB+∠DAC=90°，即∠BAC=90°，△ABC是直角三角形。
2. 因为EA=EB，所以∠EAB=∠EBA。在Rt△BAF中，∠EBA+∠AFB=90°，又∠EAB+∠EAF=90°，故∠AFB=∠EAF，因此EA=EF=5，进而BF=BE+EF=5+5=10。
3. 在Rt△BAF中，AB=8，BF=10，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{BF^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$。
4. 因为D是BC中点（DA=DB=DC），E是BF中点（BE=EF=5），所以DE是△BCF的中位线，根据三角形中位线定理，$DE=\frac{1}{2}CF$。已知DE=2，故CF=2×2=4，因此AC=AF+CF=6+4=10。
5. 直角三角形ABC的面积为：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×8×10=40$。
【答案】
40
【知识点】
直角三角形判定、勾股定理、三角形中位线定理
【点评】
本题综合运用等腰三角形性质、直角三角形判定、勾股定理及三角形中位线定理，需逐步推导各线段与角度的关系，核心在于发现∠BAC为直角和DE是中位线这两个关键结论，逻辑连贯性较强，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需逐步推导线段关系与角度性质：首先根据DA=DB=DC，利用等腰三角形内角和推出∠BAC为直角，确定△ABC是直角三角形；再结合EA=EB的条件，通过直角三角形的角度关系得到EA=EF，进而求出BF长度；接着用勾股定理算出AF，最后利用D是BC中点、E是BF中点，结合三角形中位线定理求出CF，得到AC长度，最终计算△ABC的面积。
【解析】
1. 由DA=DB=DC，得∠DAB=∠DBA，∠DAC=∠DCA。根据三角形内角和为180°，有∠DAB+∠DBA+∠DAC+∠DCA=180°，因此∠DAB+∠DAC=90°，即∠BAC=90°，△ABC是直角三角形。
2. 因为EA=EB，所以∠EAB=∠EBA。在Rt△BAF中，∠EBA+∠AFB=90°，又∠EAB+∠EAF=90°，故∠AFB=∠EAF，因此EA=EF=5，进而BF=BE+EF=5+5=10。
3. 在Rt△BAF中，AB=8，BF=10，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{BF^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$。
4. 因为D是BC中点（DA=DB=DC），E是BF中点（BE=EF=5），所以DE是△BCF的中位线，根据三角形中位线定理，$DE=\frac{1}{2}CF$。已知DE=2，故CF=2×2=4，因此AC=AF+CF=6+4=10。
5. 直角三角形ABC的面积为：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×8×10=40$。
【答案】
40
【知识点】
直角三角形判定、勾股定理、三角形中位线定理
【点评】
本题综合运用等腰三角形性质、直角三角形判定、勾股定理及三角形中位线定理，需逐步推导各线段与角度的关系，核心在于发现∠BAC为直角和DE是中位线这两个关键结论，逻辑连贯性较强，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
10. 如图,在$△ ABC$中,$BA=BC=5,AC=6,D,E$分别是$BC,AB$边上的动点,联结$DE,F,M$分别是$CD,DE$的中点,则$FM$的最小值为 （
A.$\dfrac{12}{5}$
B.$\dfrac{9}{5}$
C.$3$
D.$\dfrac{5}{2}$
A
）A.$\dfrac{12}{5}$
B.$\dfrac{9}{5}$
C.$3$
D.$\dfrac{5}{2}$
答案
10.A 【解析】如图,过点B作$BH⊥AC$于点H,联结CE。因为F,M分别是CD,DE的中点,所以$FM=\frac{1}{2}CE$。当CE取最小值时,FM的值最小,由垂线段最短可知,当$CE⊥AB$于点E时,CE的值最小。在△ABC中,$BA=BC=5,AC=6,BH⊥AC$,所以$CH=\frac{1}{2}AC=3$,所以$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BH=\frac{1}{2}×6×4=12$,所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CE=\frac{5}{2}CE=12$,所以$CE=\frac{24}{5}$,所以$FM=\frac{1}{2}CE=\frac{12}{5}$,即FM的最小值为$\frac{12}{5}$。
解析
【分析】要解决FM的最小值问题，首先利用三角形中位线定理将FM转化为与CE相关的线段，再根据“垂线段最短”确定CE的最小值，最后通过勾股定理和面积法计算CE的长度，进而求出FM的最小值。
【解析】
1. 因为F、M分别是CD、DE的中点，根据三角形中位线定理，在△CDE中，FM是中位线，所以$FM=\frac{1}{2}CE$，因此FM的最小值等价于CE最小值的$\frac{1}{2}$。
2. 根据“垂线段最短”，当$CE⊥AB$时，CE取得最小值。
3. 在△ABC中，$BA=BC=5$，$AC=6$，过B作$BH⊥AC$于H，由等腰三角形三线合一得H是AC中点，故$CH=\frac{1}{2}AC=3$。
4. 由勾股定理得$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，则△ABC的面积$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BH=\frac{1}{2}×6×4=12$。
5. 又$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×CE$，代入得$\frac{1}{2}×5×CE=12$，解得$CE=\frac{24}{5}$。
6. 因此$FM=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}×\frac{24}{5}=\frac{12}{5}$。
【答案】A
【知识点】三角形中位线定理、垂线段最短、勾股定理
【点评】本题通过中位线转化线段，将求FM的最值转化为求CE的最值，结合垂线段最短找到最短CE，利用面积法计算线段长度，体现了几何最值问题的转化思想，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 因为F、M分别是CD、DE的中点，根据三角形中位线定理，在△CDE中，FM是中位线，所以$FM=\frac{1}{2}CE$，因此FM的最小值等价于CE最小值的$\frac{1}{2}$。
2. 根据“垂线段最短”，当$CE⊥AB$时，CE取得最小值。
3. 在△ABC中，$BA=BC=5$，$AC=6$，过B作$BH⊥AC$于H，由等腰三角形三线合一得H是AC中点，故$CH=\frac{1}{2}AC=3$。
4. 由勾股定理得$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，则△ABC的面积$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BH=\frac{1}{2}×6×4=12$。
5. 又$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×CE$，代入得$\frac{1}{2}×5×CE=12$，解得$CE=\frac{24}{5}$。
6. 因此$FM=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}×\frac{24}{5}=\frac{12}{5}$。
【答案】A
【知识点】三角形中位线定理、垂线段最短、勾股定理
【点评】本题通过中位线转化线段，将求FM的最值转化为求CE的最值，结合垂线段最短找到最短CE，利用面积法计算线段长度，体现了几何最值问题的转化思想，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】0.5
11. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$P$是斜边$AB$上的一个动点,且点$P$在$AB$上(不包含端点)运动的过程中,始终保持$PD // BC$,$PE // CD$,$G$,$H$分别是$DP$,$PE$的中点,联结$GH$,则$GH$的最小值是 （
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{6}{5}$
C.$\dfrac{12}{5}$
D.$\dfrac{24}{5}$
B
）A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{6}{5}$
C.$\dfrac{12}{5}$
D.$\dfrac{24}{5}$
答案
11.B 【解析】如图,联结DE,PC。因为$PD// BC,PE// CD,∠ACB=90°$,所以四边形PECD是矩形,所以$PC=DE$。因为G,H分别是DP,PE的中点,所以GH是△PDE的中位线,所以$GH=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}PC$,所以当PC最小时,GH最小,则当$PC⊥AB$时,PC最小,此时$S_{△ ACB}=\frac{1}{2}AB· PC=\frac{1}{2}AC· BC$。在Rt△ACB中,$AC=3,BC=4$,由勾股定理,得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$,所以$5PC=3×4$,所以$PC=\frac{12}{5}$,所以$GH=\frac{1}{2}PC=\frac{1}{2}×\frac{12}{5}=\frac{6}{5}$,即GH的最小值是$\frac{6}{5}$。
解析
【分析】
要解决这道题，需逐步转化线段关系：首先根据平行条件和直角判定四边形为矩形，再利用中位线定理建立GH与PC的联系，最后依据“垂线段最短”确定PC的最小值，进而求出GH的最小值。具体思路：1. 联结DE、PC，由PD//BC、PE//CD及∠C=90°，得四边形PECD是矩形，故DE=PC；2. G、H是DP、PE中点，GH是△PDE的中位线，得GH=1/2 DE=1/2 PC；3. 当PC⊥AB时PC最小，用面积法算出此时PC的长度，即可得GH的最小值。
【解析】
联结DE、PC。
∵ PD//BC，PE//CD，∠ACB=90°，
∴ 四边形PECD是矩形，
∴ DE=PC。
∵ G、H分别是DP、PE的中点，
∴ GH是△PDE的中位线，
∴ GH = 1/2 DE = 1/2 PC。
在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，由勾股定理得：
AB = √(AC² + BC²) = √(3² + 4²) = 5。
当PC⊥AB时，PC最小（点到直线的距离垂线段最短），此时△ACB的面积可表示为：
S△ACB = 1/2 AB·PC = 1/2 AC·BC，
代入数值：1/2 ×5×PC = 1/2 ×3×4，
解得：PC = (3×4)/5 = 12/5。
∴ GH的最小值 = 1/2 × PC = 1/2 × (12/5) = 6/5。
【答案】
B
【知识点】
矩形性质；三角形中位线定理；垂线段最短
【点评】
本题是几何最值问题，核心是通过矩形性质和中位线定理将GH转化为PC的一半，再利用垂线段最短确定PC的最小值，结合面积法计算线段长度，考查几何图形性质转化与最值求解的常用方法，属于中档题。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需逐步转化线段关系：首先根据平行条件和直角判定四边形为矩形，再利用中位线定理建立GH与PC的联系，最后依据“垂线段最短”确定PC的最小值，进而求出GH的最小值。具体思路：1. 联结DE、PC，由PD//BC、PE//CD及∠C=90°，得四边形PECD是矩形，故DE=PC；2. G、H是DP、PE中点，GH是△PDE的中位线，得GH=1/2 DE=1/2 PC；3. 当PC⊥AB时PC最小，用面积法算出此时PC的长度，即可得GH的最小值。
【解析】
联结DE、PC。
∵ PD//BC，PE//CD，∠ACB=90°，
∴ 四边形PECD是矩形，
∴ DE=PC。
∵ G、H分别是DP、PE的中点，
∴ GH是△PDE的中位线，
∴ GH = 1/2 DE = 1/2 PC。
在Rt△ACB中，AC=3，BC=4，由勾股定理得：
AB = √(AC² + BC²) = √(3² + 4²) = 5。
当PC⊥AB时，PC最小（点到直线的距离垂线段最短），此时△ACB的面积可表示为：
S△ACB = 1/2 AB·PC = 1/2 AC·BC，
代入数值：1/2 ×5×PC = 1/2 ×3×4，
解得：PC = (3×4)/5 = 12/5。
∴ GH的最小值 = 1/2 × PC = 1/2 × (12/5) = 6/5。
【答案】
B
【知识点】
矩形性质；三角形中位线定理；垂线段最短
【点评】
本题是几何最值问题，核心是通过矩形性质和中位线定理将GH转化为PC的一半，再利用垂线段最短确定PC的最小值，结合面积法计算线段长度，考查几何图形性质转化与最值求解的常用方法，属于中档题。
【难度系数】
0.5
