12. 如图，E为平行四边形ABCD的对角线BD上一点，$DE=1$，$BE=5$，联结AE并延长至点F，使得$AE=EF$，则CF的长为（）

A.3
B.$\dfrac{7}{2}$
C.4
D.$\dfrac{9}{2}$

12.C 【解析】如图,联结AC交BD于点O。因为四边形ABCD是平行四边形,所以$OA=OC,OD=\frac{1}{2}BD$。因为$AE=EF$,所以OE是△ACF的中位线,所以$CF=2OE$。因为$DE=1,BE=5$,所以$BD=DE+BE=6$,所以$OD=\frac{1}{2}BD=3$,所以$OE=OD-DE=2$,所以$CF=2OE=4$。

【分析】要解决本题，需结合平行四边形的性质和三角形中位线定理。首先联结AC交BD于点O，利用平行四边形对角线互相平分得到O是AC中点，再由AE=EF可知E是AF中点，从而OE是△ACF的中位线，将CF转化为2OE；接着计算BD长度，求出OD，进而算出OE，最终得到CF的长度。
【解析】
联结AC交BD于点O。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OD=$\frac{1}{2}$BD（平行四边形的对角线互相平分）。
已知DE=1，BE=5，
∴ BD=DE+BE=1+5=6，
∴ OD=$\frac{1}{2}$BD=3，
∴ OE=OD - DE=3 - 1=2。
又
∵ AE=EF，即E为AF的中点，且O为AC的中点，
∴ OE是△ACF的中位线，
根据三角形中位线定理，可得CF=2OE=2×2=4。
【答案】C
【知识点】平行四边形性质、三角形中位线定理
【点评】本题通过构造中位线，将未知线段CF转化为与已知线段相关的计算，核心是利用平行四边形对角线平分的性质确定中点，结合中位线定理求解，属于几何中线段长度计算的常规题型，难度适中。
【难度系数】0.5

13. 如图, 已知 $△ ABC$ 的中线 $BD, CE$ 相交于点 $O, M, N$ 分别为 $OB, OC$ 的中点。
(1)求证:$MD$和$NE$互相平分。
(2)若 $BD ⊥ AC, OC^2 = 32, OD + CD = 8$, 求 $△ OCB$ 的面积。

13.(1)证明:如图,联结OA,DE,MN。因为CE是△ABC的中线,M是OB的中点,所以$ME=\frac{1}{2}OA,ME// OA$。同理可得,$DN=\frac{1}{2}OA,DN// OA$,所以$ME=DN,ME// DN$,所以四边形DEMN是平行四边形,所以MD和NE互相平分。
(2)解:由(1)可知,MD和NE互相平分,所以$OD=OM$。因为M是OB的中点,所以$OB=2OM$,所以$OB=2OD$。因为$BD⊥AC,OC^2=32$,所以$OD^2+CD^2=OC^2=32$。因为$OD+CD=8$,所以$2OD· CD=(OD+CD)^2-(OD^2+CD^2)=8^2-32=32$,所以$S_{△ OCB}=\frac{1}{2}OB· CD=\frac{1}{2}×2OD· CD=\frac{1}{2}×32=16$。

【分析】
第(1)问要证明MD和NE互相平分，需利用平行四边形对角线互相平分的性质，通过三角形中位线定理找到线段间的平行且相等关系，判定四边形为平行四边形；第(2)问需结合(1)的结论得到线段关系，利用BD⊥AC的直角条件，结合勾股定理和完全平方公式求出所需线段乘积，进而计算三角形面积。
【解析】
(1) 证明：连接OA、DE、MN。
∵ CE是△ABC的中线，M是OB的中点，
∴ ME是△OAB的中位线，
∴ ME = ½OA，ME//OA。
同理，DN是△OAC的中位线，
∴ DN = ½OA，DN//OA。
∴ ME = DN，且ME//DN，
∴ 四边形DEMN是平行四边形，
∴ MD和NE互相平分。
(2) 解：由(1)知四边形DEMN是平行四边形，
∴ OD = OM。
∵ M是OB的中点，
∴ OB = 2OM，
∴ OB = 2OD。
∵ BD⊥AC，
∴ ∠ODC = 90°，在Rt△ODC中，由勾股定理得：OD² + CD² = OC² = 32。
已知OD + CD = 8，根据完全平方公式：
(OD + CD)² = OD² + 2OD·CD + CD²，
代入得：8² = 32 + 2OD·CD，
即64 = 32 + 2OD·CD，解得2OD·CD = 32。
△OCB的面积S = ½×OB×CD，将OB=2OD代入得：
S = ½×2OD×CD = OD·CD = (2OD·CD)÷2 = 32÷2 = 16。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 16
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合运用三角形中位线、平行四边形性质、勾股定理及完全平方公式，解题关键是通过中位线构造平行四边形，再结合直角三角形性质计算面积，逻辑推导要求较高，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.4

14. 如图,在平行四边形ABCD中,G,H分别是AB,CD的中点,点E,F在对角线AC上,且$AE=CF$。
(1)求证:四边形EGFH是平行四边形。
(2)若$BD=28$,$AE+CF=EF$,求EG的长。

14.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AB// CD,AB=CD$,所以$∠GAE=∠HCF$。因为G,H分别是AB,CD的中点,所以$AG=\frac{1}{2}AB,CH=\frac{1}{2}CD$,所以$AG=CH$。在△AGE和△CHF中,因为$\begin{cases} AG=CH, \\ ∠GAE=∠HCF, \\ AE=CF, \end{cases}$所以$△ AGE≌△ CHF(SAS)$,所以$GE=HF,∠AEG=∠CFH$,所以$∠GEF=∠HFE$,所以$GE// HF$。又因为$GE=HF$,所以四边形EGFH是平行四边形。
(2)解:如图,联结BD交AC于点O。因为四边形ABCD是平行四边形,所以$OA=OC,OB=OD$。因为$BD=28$,所以$OB=OD=\frac{1}{2}BD=14$。因为$AE=CF,OA=OC$,所以$OE=OF$。因为$AE+CF=EF,AE=CF$,所以$2AE=EF=2OE$,所以$AE=OE$。又因为G是AB的中点,所以EG是△ABO的中位线,所以$EG=\frac{1}{2}OB=7$。

【分析】
要解决本题，第(1)问需证明四边形EGFH是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，结合平行四边形ABCD的性质，通过SAS证明三角形全等得到边和角的关系，进而推导对边平行且相等；第(2)问求EG的长，需利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知线段关系推出线段相等，再借助三角形中位线定理求解。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD，
∴ ∠GAE=∠HCF。
∵ G，H分别是AB，CD的中点，
∴ AG=½AB，CH=½CD，
∴ AG=CH。
在△AGE和△CHF中，
$\{\begin{array}{l}AG=CH, \\∠GAE=∠HCF, \\AE=CF,\end{array} $
∴ △AGE≌△CHF（SAS），
∴ GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴ ∠GEF=∠HFE，
∴ GE//HF。
又
∵ GE=HF，
∴ 四边形EGFH是平行四边形。
(2) 解：
联结BD交AC于点O，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD，
∵ BD=28，
∴ OB=OD=½BD=14。
∵ AE=CF，OA=OC，
∴ OA - AE = OC - CF，即OE=OF。
∵ AE+CF=EF，且AE=CF，
∴ 2AE=EF=2OE，
∴ AE=OE。
又
∵ G是AB的中点，
∴ EG是△ABO的中位线，
∴ EG=½OB=½×14=7。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) EG的长为7。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定，三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质、全等三角形的判定及三角形中位线的应用，解题需结合图形性质推导线段和角的关系，逻辑推导要求清晰，是一道综合性适中的几何题。
【难度系数】
0.5