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17.项目式学习.
设计合适的盒子
素材1 团扇是中国传统工艺品,代表着团圆友善、吉祥如意.小志制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物,这把团扇的扇面面积为$100π \ \mathrm{cm}^2$
素材2 小志设计了一个底面积为$220 \ \mathrm{cm}^2$,长、宽、高的比为$2:1:3$的长方体纸盒包装团扇
任务 (1)根据素材1,该圆形团扇的半径为
(2)根据素材2,求出该长方体盒子的长;
(3)如果只考虑团扇的扇面,这个长方体盒子能装得下这面团扇吗?请说明理由
设计合适的盒子
素材1 团扇是中国传统工艺品,代表着团圆友善、吉祥如意.小志制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物,这把团扇的扇面面积为$100π \ \mathrm{cm}^2$
素材2 小志设计了一个底面积为$220 \ \mathrm{cm}^2$,长、宽、高的比为$2:1:3$的长方体纸盒包装团扇
任务 (1)根据素材1,该圆形团扇的半径为
10
cm;(2)根据素材2,求出该长方体盒子的长;
(3)如果只考虑团扇的扇面,这个长方体盒子能装得下这面团扇吗?请说明理由
答案
17.(1)10
(2)解:设长方体盒子的长为$2x$ cm,则宽为$x$ cm.
$\therefore 2x · x=220. \therefore x^2=110$.
$\because x＞0$,$\therefore x=\sqrt{110}. \therefore 2x=2\sqrt{110}$.
$\therefore$长方体盒子的长为$2\sqrt{110}\ \mathrm{cm}$.
(3)解:这个长方体盒子能装得下这面团扇.理由如下:
由(1),知该团扇的半径为10 cm,$\therefore$团扇的直径为20 cm.
$\because 110＞100$,$\therefore \sqrt{110}＞10. \therefore 2\sqrt{110}＞20. \therefore$这个长方体盒子能装得下这面团扇.
(2)解:设长方体盒子的长为$2x$ cm,则宽为$x$ cm.
$\therefore 2x · x=220. \therefore x^2=110$.
$\because x＞0$,$\therefore x=\sqrt{110}. \therefore 2x=2\sqrt{110}$.
$\therefore$长方体盒子的长为$2\sqrt{110}\ \mathrm{cm}$.
(3)解:这个长方体盒子能装得下这面团扇.理由如下:
由(1),知该团扇的半径为10 cm,$\therefore$团扇的直径为20 cm.
$\because 110＞100$,$\therefore \sqrt{110}＞10. \therefore 2\sqrt{110}＞20. \therefore$这个长方体盒子能装得下这面团扇.
解析
【分析】
(1) 已知圆形扇面的面积，可直接利用圆的面积公式$S=π r^2$，代入面积数值求解半径，注意半径为正数，取正的平方根即可。
(2) 已知长方体长和宽的比为2:1，且底面积=长×宽=$220\ \mathrm{cm}^2$，我们可以通过设未知数的方法，设宽为$x$ cm，则长为$2x$ cm，根据底面积公式列方程求解，得到$x$的值后即可算出长。
(3) 要判断长方体盒子能否装下团扇，只需比较团扇直径和盒子对应边长的大小：先算出团扇的直径，再和长方体的长比较，若长大于等于团扇直径则可以装下。
【解析】
(1) 设圆形团扇的半径为$r$ cm，根据圆的面积公式可得：
$π r^2=100π$
两边同时除以$π$，得$r^2=100$
$\because r＞0$，$\therefore r=\sqrt{100}=10$
(2) 设长方体盒子的宽为$x$ cm，由长:宽=2:1，得长为$2x$ cm。
根据长方体底面积=长×宽，列方程得：
$2x· x=220$
化简得$x^2=110$
$\because x＞0$，$\therefore x=\sqrt{110}$
$\therefore$长方体的长为$2x=2\sqrt{110}$ cm。
(3) 这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由如下：
由(1)可知团扇的半径为10 cm，因此团扇的直径为$2×10=20$ cm。
$\because 110＞100$，$\therefore \sqrt{110}＞\sqrt{100}=10$
$\therefore 2\sqrt{110}＞2×10=20$，即长方体的长大于团扇的直径，因此可以装下。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $\boxed{2\sqrt{110}\ \mathrm{cm}}$
(3) 能装得下，理由见解析。
【知识点】
圆的面积计算；比例的应用；实数大小比较
【点评】
本题以传统工艺品团扇的包装为背景，将数学知识和生活实际结合，考查了基础公式的运用和实际问题的分析能力，解题的核心是明确实际问题对应的数学判断条件。
【难度系数】
0.7
(1) 已知圆形扇面的面积，可直接利用圆的面积公式$S=π r^2$，代入面积数值求解半径，注意半径为正数，取正的平方根即可。
(2) 已知长方体长和宽的比为2:1，且底面积=长×宽=$220\ \mathrm{cm}^2$，我们可以通过设未知数的方法，设宽为$x$ cm，则长为$2x$ cm，根据底面积公式列方程求解，得到$x$的值后即可算出长。
(3) 要判断长方体盒子能否装下团扇，只需比较团扇直径和盒子对应边长的大小：先算出团扇的直径，再和长方体的长比较，若长大于等于团扇直径则可以装下。
【解析】
(1) 设圆形团扇的半径为$r$ cm，根据圆的面积公式可得：
$π r^2=100π$
两边同时除以$π$，得$r^2=100$
$\because r＞0$，$\therefore r=\sqrt{100}=10$
(2) 设长方体盒子的宽为$x$ cm，由长:宽=2:1，得长为$2x$ cm。
根据长方体底面积=长×宽，列方程得：
$2x· x=220$
化简得$x^2=110$
$\because x＞0$，$\therefore x=\sqrt{110}$
$\therefore$长方体的长为$2x=2\sqrt{110}$ cm。
(3) 这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由如下：
由(1)可知团扇的半径为10 cm，因此团扇的直径为$2×10=20$ cm。
$\because 110＞100$，$\therefore \sqrt{110}＞\sqrt{100}=10$
$\therefore 2\sqrt{110}＞2×10=20$，即长方体的长大于团扇的直径，因此可以装下。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $\boxed{2\sqrt{110}\ \mathrm{cm}}$
(3) 能装得下，理由见解析。
【知识点】
圆的面积计算；比例的应用；实数大小比较
【点评】
本题以传统工艺品团扇的包装为背景，将数学知识和生活实际结合，考查了基础公式的运用和实际问题的分析能力，解题的核心是明确实际问题对应的数学判断条件。
【难度系数】
0.7
18. 阅读下列解题过程：$\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\sqrt{(\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{2}$；$\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\sqrt{(\frac{2}{3})^2}=\frac{2}{3}$；$\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\sqrt{(\frac{3}{4})^2}=\frac{3}{4}$；….
(1)$\sqrt{1-\frac{9}{25}}=$
(2)观察上面的解题过程，则$\sqrt{1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}=$
(3)计算：$\sqrt{(1-\frac{3}{4})(1-\frac{5}{9})(1-\frac{7}{16})···(1-\frac{99}{2500})}$.
(1)$\sqrt{1-\frac{9}{25}}=$
$\frac{4}{5}$
，$\sqrt{1-\frac{15}{64}}=$$\frac{7}{8}$
；(2)观察上面的解题过程，则$\sqrt{1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}=$
$\frac{n}{n+1}$
（$n$为自然数）；(3)计算：$\sqrt{(1-\frac{3}{4})(1-\frac{5}{9})(1-\frac{7}{16})···(1-\frac{99}{2500})}$.
答案
18.(1)$\frac{4}{5}$ $\frac{7}{8}$
(2)解:观察上面的解题过程,则$\sqrt{1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{(n+1)^2-2n-1}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2}{(n+1)^2}}=\frac{n}{n+1}$.
故答案为$\frac{n}{n+1}$.
(3)解:原式$=\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{4}{9}×\frac{9}{16}×…×\frac{2401}{2500}}=\sqrt{\frac{1}{2\ 500}}=\frac{1}{50}$.
(2)解:观察上面的解题过程,则$\sqrt{1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{(n+1)^2-2n-1}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2}{(n+1)^2}}=\frac{n}{n+1}$.
故答案为$\frac{n}{n+1}$.
(3)解:原式$=\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{4}{9}×\frac{9}{16}×…×\frac{2401}{2500}}=\sqrt{\frac{1}{2\ 500}}=\frac{1}{50}$.
解析
【分析】
这是一道结合二次根式化简的数字规律探究题，解题思路如下：1. 第(1)问仿照题干给出的示例，先计算根号内的减法，再将结果写成平方的形式后开方即可；2. 第(2)问先对根号内的式子通分化简，再结合二次根式的性质开方，即可得到通用规律；3. 第(3)问先利用第(2)问得出的规律，将每个括号内的算式转化为对应的分数形式，观察发现相邻分数的分子分母可相互抵消，最后对剩余的结果开方即可得到答案。
【解析】
(1) 计算$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$：先算根号内的减法，$1-\frac{9}{25}=\frac{25-9}{25}=\frac{16}{25}$，再开方得$\sqrt{\frac{16}{25}}=\sqrt{(\frac{4}{5})^2}=\frac{4}{5}$；
计算$\sqrt{1-\frac{15}{64}}$：$1-\frac{15}{64}=\frac{64-15}{64}=\frac{49}{64}$，开方得$\sqrt{\frac{49}{64}}=\sqrt{(\frac{7}{8})^2}=\frac{7}{8}$。
(2) 对$\sqrt{1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}$化简：
先通分计算根号内的式子：
$\sqrt{\frac{(n+1)^2-(2n+1)}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2+2n+1-2n-1}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2}{(n+1)^2}}$
因为$n$是自然数，所以$n≥0$，$n+1＞0$，根据二次根式的性质得$\sqrt{\frac{n^2}{(n+1)^2}}=\frac{n}{n+1}$。
(3) 计算原式：
根据规律可知，每个括号内的算式$1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}=\frac{n^2}{(n+1)^2}$，最后一项$1-\frac{99}{2500}$中，$2n+1=99$，解得$n=49$，对应$\frac{49^2}{50^2}$。
因此原式$=\sqrt{\frac{1^2}{2^2}×\frac{2^2}{3^2}×\frac{3^2}{4^2}×…×\frac{49^2}{50^2}}$
相邻项分子分母约分后得$\sqrt{\frac{1^2}{50^2}}=\frac{1}{50}$。
【答案】
(1)$\frac{4}{5}$；$\frac{7}{8}$
(2)$\frac{n}{n+1}$
(3)$\frac{1}{50}$
【知识点】
二次根式化简，数字规律探究，分数约分
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要先通过给出的示例归纳出通用运算规律，再将规律应用到复杂计算中，既考查了二次根式的运算能力，也锻炼了观察归纳和约分计算的技巧。
【难度系数】
0.7
这是一道结合二次根式化简的数字规律探究题，解题思路如下：1. 第(1)问仿照题干给出的示例，先计算根号内的减法，再将结果写成平方的形式后开方即可；2. 第(2)问先对根号内的式子通分化简，再结合二次根式的性质开方，即可得到通用规律；3. 第(3)问先利用第(2)问得出的规律，将每个括号内的算式转化为对应的分数形式，观察发现相邻分数的分子分母可相互抵消，最后对剩余的结果开方即可得到答案。
【解析】
(1) 计算$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$：先算根号内的减法，$1-\frac{9}{25}=\frac{25-9}{25}=\frac{16}{25}$，再开方得$\sqrt{\frac{16}{25}}=\sqrt{(\frac{4}{5})^2}=\frac{4}{5}$；
计算$\sqrt{1-\frac{15}{64}}$：$1-\frac{15}{64}=\frac{64-15}{64}=\frac{49}{64}$，开方得$\sqrt{\frac{49}{64}}=\sqrt{(\frac{7}{8})^2}=\frac{7}{8}$。
(2) 对$\sqrt{1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}}$化简：
先通分计算根号内的式子：
$\sqrt{\frac{(n+1)^2-(2n+1)}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2+2n+1-2n-1}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2}{(n+1)^2}}$
因为$n$是自然数，所以$n≥0$，$n+1＞0$，根据二次根式的性质得$\sqrt{\frac{n^2}{(n+1)^2}}=\frac{n}{n+1}$。
(3) 计算原式：
根据规律可知，每个括号内的算式$1-\frac{2n+1}{(n+1)^2}=\frac{n^2}{(n+1)^2}$，最后一项$1-\frac{99}{2500}$中，$2n+1=99$，解得$n=49$，对应$\frac{49^2}{50^2}$。
因此原式$=\sqrt{\frac{1^2}{2^2}×\frac{2^2}{3^2}×\frac{3^2}{4^2}×…×\frac{49^2}{50^2}}$
相邻项分子分母约分后得$\sqrt{\frac{1^2}{50^2}}=\frac{1}{50}$。
【答案】
(1)$\frac{4}{5}$；$\frac{7}{8}$
(2)$\frac{n}{n+1}$
(3)$\frac{1}{50}$
【知识点】
二次根式化简，数字规律探究，分数约分
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要先通过给出的示例归纳出通用运算规律，再将规律应用到复杂计算中，既考查了二次根式的运算能力，也锻炼了观察归纳和约分计算的技巧。
【难度系数】
0.7
