19 已知BE,DF分别平分四边形ABCD的外角∠MBC和∠NDC,若∠BAD=α,∠BCD=β.
(1) 如图(1),若α+β=105°,求∠MBC+∠NDC的度数;
(2) 如图(1),若BE与DF相交于点G,∠BGD=45°,请直接写出α,β所满足的数量关系;
(3) 如图(2),若α=β,判断BE,DF的位置关系,并说明理由.

19.【解】(1)因为四边形ABCD的内角和为360°,所以α+β=∠A+∠BCD=360°-(∠ABC+∠ADC).
因为∠MBC和∠NDC是四边形ABCD的外角,所以∠MBC=180°-∠ABC,∠NDC=180°-∠ADC,所以∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-(∠ABC+∠ADC)=α+β=105°.
(2)β-α=90°.
如图(1),连接BD. 由(1)得∠MBC+∠NDC=α+β.
因为BE,DF分别平分四边形ABCD的外角∠MBC和∠NDC,所以∠CBG=$\dfrac{1}{2}$ ∠MBC,∠CDG=$\dfrac{1}{2}$ ∠NDC,所以∠CBG+∠CDG=$\dfrac{1}{2}$ ∠MBC + $\dfrac{1}{2}$ ∠NDC=$\dfrac{1}{2}(∠MBC+∠NDC)=\dfrac{1}{2}(α+β)$.
在△BCD中,∠BDC+∠CBD=180°-∠BCD=180°-β. 在△BDG中,因为∠BGD=45°,∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°,所以∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°,所以(∠CBG + ∠CDG) + (∠BDC + ∠CBD) + ∠BGD=180°,所以$\dfrac{1}{2}(α+β)+180°-β+45°=180°$,所以β-α=90°.

(3)BE//DF. 理由:
如图(2),过点C作CP//BE,则∠EBC=∠BCP,所以∠DCP=∠BCD-∠BCP=β-∠EBC.
由(1)知∠MBC+∠NDC=α+β. 因为α=β,所以∠MBC+∠NDC=2β.
又因为BE,DF分别平分∠MBC和∠NDC,所以∠EBC+∠FDC=$\dfrac{1}{2}(∠MBC+∠NDC)=β$,所以∠FDC=β-∠EBC.
又因为∠DCP=β-∠EBC,所以∠FDC=∠DCP,所以CP//DF. 又因为CP//BE,所以BE//DF.

思路分析
(1)根据四边形的内角和为360°与平角的定义求解即可.
(2)根据角平分线的定义以及三角形的内角和为180°求解即可.
(3)利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答.

20[2026江苏宿迁质检]如图(1),已知OB⊥OD,OA⊥OC,∠COD=40°,若射线OA绕O点以每秒30°的速度顺时针旋转,射线OC绕O点以每秒10°的速度逆时针旋转,两条射线同时旋转,当一条射线与射线OD重合时,两条射线均停止运动.
(1)开始旋转前,∠AOB=.
(2)若射线OB也绕O点以每秒20°的速度顺时针旋转,三条射线同时旋转,当一条射线与射线OD重合时,三条射线均停止运动.当OC为∠AOB的平分线时,求旋转的时间.
(3)如图(2),从某天上午6时整开始计时,到该天上午7时整结束,经过多少分钟时针与分针所形成的角等于110°?

20.【解】(1)因为OB⊥OD,OA⊥OC,所以∠AOC=∠BOD=90°,所以∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD,所以∠AOB=∠COD.
因为∠COD=40°,所以∠AOB=40°,故答案为40°.
(2)因为开始旋转前,∠AOB=40°,所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=40°+90°=130°.
设旋转的时间为t秒. OA旋转至OD所需要的时间为$\dfrac{130°}{30°}=\dfrac{13}{3}$(秒),
OC旋转至OD所需要的时间为$(360°-40°)÷10°=32$(秒),
OB旋转至OD所需要的时间为$90°÷20°=\dfrac{9}{2}$(秒).
因为$\dfrac{13}{3} ＜\dfrac{9}{2} ＜32$,所以当OA旋转至OD时,三条射线均停止运动,则$t≤\dfrac{13}{3}$.
由题意得∠AOD=130°-(30t)°,∠BOD=90°-(20t)°,∠COD=40°+(10t)°,所以∠AOB=|∠AOD-∠BOD|=|40°-(10t)°|,∠BOC=|∠BOD-∠COD|=|50°-(30t)°|,∠AOC=|∠AOD-∠COD|=|90°-(40t)°|.
当OC平分∠AOB时,∠AOC=∠BOC,所以|90°-(40t)°|=|50°-(30t)°|,即90°-(40t)°=50°-(30t)°或90°-(40t)°=-50°+(30t)°,解得t=4或t=2.
当t=4时,OA与OB重合,不符合题意,故t=4舍去.
综上所述,当OC为∠AOB的平分线时,旋转的时间为2秒.
(3)时针每分钟转动的度数是$\dfrac{30°}{60}=0.5°$,分针每分钟转动的度数是$\dfrac{360°}{60}=6°$.
设经过x分钟时针与分针所形成的角等于110°.
由题意可得,$180-6x+0.5x=110$ 或 $6x-180-0.5x=110$,解得$x=\dfrac{140}{11}$ 或 $x=\dfrac{580}{11}$,
所以经过$\dfrac{140}{11}$分钟或$\dfrac{580}{11}$分钟时针与分针所形成的角等于110°.