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课堂精要·梳理内容
1.正八边形每个角大小都
2.正八边形的内角和为
3.我们学过哪些基本的尺规作图？
1.正八边形每个角大小都
相等
，每条边长度都相等
。2.正八边形的内角和为
$1080°$
，每个内角都是$135°$
，正八边形的外角和为$360°$
，每个外角都是$45°$
。3.我们学过哪些基本的尺规作图？
答案
1.相等 相等
2.$1080°$ $135°$ $360°$ $45°$
3.作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作一条线段的垂直平分线、作一个角的平分线、过一点作已知直线的垂线等。
2.$1080°$ $135°$ $360°$ $45°$
3.作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作一条线段的垂直平分线、作一个角的平分线、过一点作已知直线的垂线等。
解析
【分析】
解答本题可按以下思路思考：1. 第一问：回忆正多边形的定义，正多边形的核心特征就是各内角相等、各边长度相等，直接对应正八边形的性质即可填空；2. 第二问：先回忆多边形内角和公式$(n-2)×180°$（n为边数），将n=8代入算出内角和，再用内角和除以边数得到单个内角的度数；牢记任意多边形的外角和恒为$360°$，用外角和除以边数即可得到单个外角的度数；3. 第三问：直接梳理教材中要求掌握的基本尺规作图类型，列举出来即可。
【解析】
1. 根据正多边形的定义：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形，因此正八边形每个角大小都相等，每条边长度都相等。
2. 多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（n为边数，$n≥3$且为整数），正八边形的边数$n=8$，代入得内角和为$(8-2)×180°=1080°$；每个内角的度数为内角和除以边数，即$1080°÷8=135°$；任意多边形的外角和均为固定值$360°$，因此正八边形的外角和为$360°$，每个外角的度数为$360°÷8=45°$。
3. 初中阶段要求掌握的基本尺规作图包括：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作一条线段的垂直平分线、作一个角的平分线、过一点作已知直线的垂线。
【答案】
1.相等 相等
2.$1080°$ $135°$ $360°$ $45°$
3.作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作一条线段的垂直平分线、作一个角的平分线、过一点作已知直线的垂线等。
【知识点】
正多边形的性质、多边形内角和与外角和、基本尺规作图
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对正多边形相关性质和基础尺规作图常识的记忆，只要熟练掌握相关定义、公式和基础操作类型，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解答本题可按以下思路思考：1. 第一问：回忆正多边形的定义，正多边形的核心特征就是各内角相等、各边长度相等，直接对应正八边形的性质即可填空；2. 第二问：先回忆多边形内角和公式$(n-2)×180°$（n为边数），将n=8代入算出内角和，再用内角和除以边数得到单个内角的度数；牢记任意多边形的外角和恒为$360°$，用外角和除以边数即可得到单个外角的度数；3. 第三问：直接梳理教材中要求掌握的基本尺规作图类型，列举出来即可。
【解析】
1. 根据正多边形的定义：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形，因此正八边形每个角大小都相等，每条边长度都相等。
2. 多边形内角和公式为$(n-2)×180°$（n为边数，$n≥3$且为整数），正八边形的边数$n=8$，代入得内角和为$(8-2)×180°=1080°$；每个内角的度数为内角和除以边数，即$1080°÷8=135°$；任意多边形的外角和均为固定值$360°$，因此正八边形的外角和为$360°$，每个外角的度数为$360°÷8=45°$。
3. 初中阶段要求掌握的基本尺规作图包括：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作一条线段的垂直平分线、作一个角的平分线、过一点作已知直线的垂线。
【答案】
1.相等 相等
2.$1080°$ $135°$ $360°$ $45°$
3.作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作一条线段的垂直平分线、作一个角的平分线、过一点作已知直线的垂线等。
【知识点】
正多边形的性质、多边形内角和与外角和、基本尺规作图
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对正多边形相关性质和基础尺规作图常识的记忆，只要熟练掌握相关定义、公式和基础操作类型，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
1. 当一个矩形的四个顶点都在已知菱形的边上时，我们称这个矩形为菱形的内接矩形。如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，菱形的内接矩形EFGH的顶点分别是菱形ABCD各边的中点，则内接矩形EFGH的周长为（
A.$4+2\sqrt{3}$
B.$6+2\sqrt{3}$
C.$4+4\sqrt{3}$
D.$6+4\sqrt{3}$
C
）。A.$4+2\sqrt{3}$
B.$6+2\sqrt{3}$
C.$4+4\sqrt{3}$
D.$6+4\sqrt{3}$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时可通过连接菱形的对角线，借助三角形中位线定理求出内接矩形的邻边长，进而计算周长。思路如下：1.根据菱形性质，已知∠A=120°可推出邻角∠B=60°，结合菱形四边相等可得△ABC为等边三角形，求出短对角线AC的长度；2.利用菱形对角线互相垂直的性质，结合勾股定理求出长对角线BD的长度；3.由矩形顶点是各边中点可知，矩形邻边分别是对应三角形的中位线，等于菱形对应对角线的一半，最后代入矩形周长公式计算即可。
【解析】
解：连接AC、BD交于点O。
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠BAD=120°
∴AB=BC=4，∠ABC=180°-∠BAD=60°，AC⊥BD
∴△ABC是等边三角形，即AC=AB=4
在Rt△ABO中，AO=½AC=2，AB=4
由勾股定理得：$BO=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$
∴BD=2BO=4√3
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线
∴EF=½AC=2
同理，EH是△ABD的中位线，
∴EH=½BD=2√3
∵四边形EFGH是矩形
∴矩形EFGH的周长=$2×(EF + EH)=2×(2 + 2\sqrt{3})=4 + 4\sqrt{3}$
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，三角形中位线定理，矩形周长计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是通过连接菱形对角线，建立矩形边长和菱形对角线的关联，熟练掌握特殊四边形性质和中位线定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可通过连接菱形的对角线，借助三角形中位线定理求出内接矩形的邻边长，进而计算周长。思路如下：1.根据菱形性质，已知∠A=120°可推出邻角∠B=60°，结合菱形四边相等可得△ABC为等边三角形，求出短对角线AC的长度；2.利用菱形对角线互相垂直的性质，结合勾股定理求出长对角线BD的长度；3.由矩形顶点是各边中点可知，矩形邻边分别是对应三角形的中位线，等于菱形对应对角线的一半，最后代入矩形周长公式计算即可。
【解析】
解：连接AC、BD交于点O。
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠BAD=120°
∴AB=BC=4，∠ABC=180°-∠BAD=60°，AC⊥BD
∴△ABC是等边三角形，即AC=AB=4
在Rt△ABO中，AO=½AC=2，AB=4
由勾股定理得：$BO=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$
∴BD=2BO=4√3
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线
∴EF=½AC=2
同理，EH是△ABD的中位线，
∴EH=½BD=2√3
∵四边形EFGH是矩形
∴矩形EFGH的周长=$2×(EF + EH)=2×(2 + 2\sqrt{3})=4 + 4\sqrt{3}$
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，三角形中位线定理，矩形周长计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题关键是通过连接菱形对角线，建立矩形边长和菱形对角线的关联，熟练掌握特殊四边形性质和中位线定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2.图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之景如同镶嵌于一个画框之中。图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=
$45°$
。答案
2.$45°$
解析
【分析】
本题要求正八边形的一个外角∠1的度数，首先回忆多边形外角的相关性质：任意多边形的外角和都是固定的360°，且正多边形的每一个外角大小都相等。因此我们只需要用多边形外角和除以正八边形的边数，就能得到单个外角的度数。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和恒为$360°$，且正八边形的所有外角大小相等，
∴正八边形的一个外角$∠ 1=360°÷8=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
多边形外角和定理；正多边形的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查正多边形外角的计算，只要牢记多边形外角和为$360°$，结合正多边形各外角相等的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.9
本题要求正八边形的一个外角∠1的度数，首先回忆多边形外角的相关性质：任意多边形的外角和都是固定的360°，且正多边形的每一个外角大小都相等。因此我们只需要用多边形外角和除以正八边形的边数，就能得到单个外角的度数。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和恒为$360°$，且正八边形的所有外角大小相等，
∴正八边形的一个外角$∠ 1=360°÷8=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
多边形外角和定理；正多边形的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查正多边形外角的计算，只要牢记多边形外角和为$360°$，结合正多边形各外角相等的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.9
3.将正方形纸片按图①的方式依次对折得图②的$△ ABC$，D是AC边上一点，沿线段BD剪开，展开后得到一个正八边形，则点D的位置应满足（
A.$BD⊥ AC$
B.$AD=AB$
C.$∠ ADB=60°$
D.$AD=DB$
B
）。A.$BD⊥ AC$
B.$AD=AB$
C.$∠ ADB=60°$
D.$AD=DB$
答案
3.B
解析
【分析】
首先分析折叠过程：正方形按图①依次对折后得到的△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=45°。要得到正八边形，需满足正八边形各边相等、各内角为135°的特征，结合折叠前后图形的对应关系，推导点D的位置满足的条件即可。
【解析】
由折叠的性质可知，最终得到的$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ BAC=45°$。
正八边形的各边相等，且每个内角为$\frac{(8-2)×180°}{8}=135°$，据此分析选项：
1. 若$AD=AB$：在$△ ABD$中，$AB=AD$，$∠ A=45°$，因此$∠ ABD=∠ ADB=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$。沿$BD$剪开后展开，相邻两个$67.5°$的角组合为$135°$，符合正八边形的内角度数；同时剪痕展开后的边长与原正方形边上截得的边长相等，满足正八边形边长相等的要求，该条件成立。
2. 若$BD⊥ AC$或$AD=DB$：此时$∠ ABD=45°$，展开后内角为$90°$，得到的是正方形，不符合正八边形要求，排除A、D。
3. 若$∠ ADB=60°$：则$∠ ABD=180°-45°-60°=75°$，展开后内角为$150°$，且边长不相等，不符合正八边形要求，排除C。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
图形的折叠变换；正多边形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何操作类典型题型，将折叠操作与正多边形性质相结合，解题的关键是理清折叠前后图形的边角对应关系，结合正多边形的特征推理，对学生的空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先分析折叠过程：正方形按图①依次对折后得到的△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=45°。要得到正八边形，需满足正八边形各边相等、各内角为135°的特征，结合折叠前后图形的对应关系，推导点D的位置满足的条件即可。
【解析】
由折叠的性质可知，最终得到的$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ BAC=45°$。
正八边形的各边相等，且每个内角为$\frac{(8-2)×180°}{8}=135°$，据此分析选项：
1. 若$AD=AB$：在$△ ABD$中，$AB=AD$，$∠ A=45°$，因此$∠ ABD=∠ ADB=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$。沿$BD$剪开后展开，相邻两个$67.5°$的角组合为$135°$，符合正八边形的内角度数；同时剪痕展开后的边长与原正方形边上截得的边长相等，满足正八边形边长相等的要求，该条件成立。
2. 若$BD⊥ AC$或$AD=DB$：此时$∠ ABD=45°$，展开后内角为$90°$，得到的是正方形，不符合正八边形要求，排除A、D。
3. 若$∠ ADB=60°$：则$∠ ABD=180°-45°-60°=75°$，展开后内角为$150°$，且边长不相等，不符合正八边形要求，排除C。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
图形的折叠变换；正多边形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何操作类典型题型，将折叠操作与正多边形性质相结合，解题的关键是理清折叠前后图形的边角对应关系，结合正多边形的特征推理，对学生的空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
4.如图，正方形的边长为8，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的面积为
$128\sqrt{2}-128$
。答案
4.$128\sqrt{2}-128$
解析
【分析】
要计算正八边形的面积，可采用割补法，用正方形的面积减去剪去的四个全等等腰直角三角形的面积即可。首先根据正八边形各边长相等的性质，设剪去的等腰直角三角形的直角边长为x，可推出正八边形的边长为等腰直角三角形的斜边长$\sqrt{2}x$，再结合正方形边长为8的条件列方程求出x的值，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
设剪去的四个全等的等腰直角三角形的直角边长为x，则其斜边长为$\sqrt{2}x$，即正八边形的边长为$\sqrt{2}x$。
由正方形的边长为8，可得：
$2x + \sqrt{2}x = 8$
解得：
$x=\frac{8}{2+\sqrt{2}}=\frac{8(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=8-4\sqrt{2}$
正方形的面积为：$8×8=64$
四个等腰直角三角形的总面积为：$4×\frac{1}{2}x^2=2x^2$
将$x=8-4\sqrt{2}$代入得：
$2x^2=2×(8-4\sqrt{2})^2=2×(64-64\sqrt{2}+32)=192-128\sqrt{2}$
因此正八边形的面积为：
$64-(192-128\sqrt{2})=128\sqrt{2}-128$
【答案】
$128\sqrt{2}-128$
【知识点】
正多边形的性质；割补法求面积；二次根式的运算
【点评】
本题通过割补法将正八边形的面积转化为正方形与四个等腰直角三角形的面积差，解题的关键是根据正八边形边长相等的特点建立方程求出剪去的三角形的直角边长，考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
要计算正八边形的面积，可采用割补法，用正方形的面积减去剪去的四个全等等腰直角三角形的面积即可。首先根据正八边形各边长相等的性质，设剪去的等腰直角三角形的直角边长为x，可推出正八边形的边长为等腰直角三角形的斜边长$\sqrt{2}x$，再结合正方形边长为8的条件列方程求出x的值，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
设剪去的四个全等的等腰直角三角形的直角边长为x，则其斜边长为$\sqrt{2}x$，即正八边形的边长为$\sqrt{2}x$。
由正方形的边长为8，可得：
$2x + \sqrt{2}x = 8$
解得：
$x=\frac{8}{2+\sqrt{2}}=\frac{8(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=8-4\sqrt{2}$
正方形的面积为：$8×8=64$
四个等腰直角三角形的总面积为：$4×\frac{1}{2}x^2=2x^2$
将$x=8-4\sqrt{2}$代入得：
$2x^2=2×(8-4\sqrt{2})^2=2×(64-64\sqrt{2}+32)=192-128\sqrt{2}$
因此正八边形的面积为：
$64-(192-128\sqrt{2})=128\sqrt{2}-128$
【答案】
$128\sqrt{2}-128$
【知识点】
正多边形的性质；割补法求面积；二次根式的运算
【点评】
本题通过割补法将正八边形的面积转化为正方形与四个等腰直角三角形的面积差，解题的关键是根据正八边形边长相等的特点建立方程求出剪去的三角形的直角边长，考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
5. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，用尺规作出一个内嵌于这个三角形的正方形。（不必写明作图步骤，保留作图痕迹）
答案
解：
所作内嵌正方形为四边形CEDF，其中点E在AC边上，点F在BC边上，点D在斜边AB上，点C为正方形的一个顶点。保留尺规作∠ACB的角平分线交AB于点D，再过点D分别作AC、BC的垂线的作图痕迹，所得四边形CEDF即为符合要求的内嵌正方形。
所作内嵌正方形为四边形CEDF，其中点E在AC边上，点F在BC边上，点D在斜边AB上，点C为正方形的一个顶点。保留尺规作∠ACB的角平分线交AB于点D，再过点D分别作AC、BC的垂线的作图痕迹，所得四边形CEDF即为符合要求的内嵌正方形。
解析
【分析】
要作Rt△ABC中以C为一个顶点的内嵌正方形，首先明确该正方形的特征：一个顶点与C重合，两个顶点分别在AC、BC边上，第四个顶点在斜边AB上。若过AB上一点D分别作AC、BC的垂线，得到的四边形CEDF首先是矩形，要使其为正方形，需邻边DE=DF，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需先作出∠ACB的角平分线，与AB的交点即为点D，再过D作两边的垂线即可得到符合要求的正方形。
【解析】
1. 用尺规作∠ACB的角平分线，交AB于点D；
2. 过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F；
此时四边形CEDF中，∠ACB=∠DEC=∠DFC=90°，因此四边形CEDF是矩形；
又因为D在∠ACB的角平分线上，根据角平分线的性质可得DE=DF，因此矩形CEDF是正方形，即为所求的内嵌于Rt△ABC的正方形，作图时保留角平分线、过点作垂线的痕迹即可。
【答案】
所作内嵌正方形为四边形CEDF，其中点E在AC边上，点F在BC边上，点D在斜边AB上，点C为正方形的一个顶点。保留尺规作∠ACB的角平分线交AB于点D，再过点D分别作AC、BC的垂线的作图痕迹，所得四边形CEDF即为符合要求的内嵌正方形。
【知识点】
尺规作图；正方形的判定；角平分线的性质
【点评】
本题考查尺规作图的综合应用，需要结合几何图形的性质确定作图思路，既考查了基本尺规作图的操作能力，也考查了角平分线性质、正方形判定等知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.6
要作Rt△ABC中以C为一个顶点的内嵌正方形，首先明确该正方形的特征：一个顶点与C重合，两个顶点分别在AC、BC边上，第四个顶点在斜边AB上。若过AB上一点D分别作AC、BC的垂线，得到的四边形CEDF首先是矩形，要使其为正方形，需邻边DE=DF，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需先作出∠ACB的角平分线，与AB的交点即为点D，再过D作两边的垂线即可得到符合要求的正方形。
【解析】
1. 用尺规作∠ACB的角平分线，交AB于点D；
2. 过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F；
此时四边形CEDF中，∠ACB=∠DEC=∠DFC=90°，因此四边形CEDF是矩形；
又因为D在∠ACB的角平分线上，根据角平分线的性质可得DE=DF，因此矩形CEDF是正方形，即为所求的内嵌于Rt△ABC的正方形，作图时保留角平分线、过点作垂线的痕迹即可。
【答案】
所作内嵌正方形为四边形CEDF，其中点E在AC边上，点F在BC边上，点D在斜边AB上，点C为正方形的一个顶点。保留尺规作∠ACB的角平分线交AB于点D，再过点D分别作AC、BC的垂线的作图痕迹，所得四边形CEDF即为符合要求的内嵌正方形。
【知识点】
尺规作图；正方形的判定；角平分线的性质
【点评】
本题考查尺规作图的综合应用，需要结合几何图形的性质确定作图思路，既考查了基本尺规作图的操作能力，也考查了角平分线性质、正方形判定等知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.6
