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6.如图，在$□ ABCD$中，$AE⊥ BC$于点$E$，$CF⊥ AD$于点$F$，$∠ B=60°$，当$AD:AB=$
($\sqrt{3}+1):2$
时，四边形$AECF$是正方形。答案
6.$(\sqrt{3}+1):2$
解析
【分析】
解题时首先结合平行四边形的性质和已知的垂直条件，可判断四边形AECF是矩形，若要矩形变为正方形，需满足邻边相等即AE=EC；接下来在Rt△ABE中利用∠B=60°的特殊角性质，用含参数的式子表示出AB、BE、AE的长度，再结合EC=AE得到BC（即AD）的长度，最终计算AD与AB的比值即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEC=∠EAF=∠AFC=90°，
∴四边形AECF是矩形。
若矩形AECF为正方形，则需满足邻边相等，即AE=EC。
设AB=2x，在Rt△ABE中，∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=½AB=x，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$，
∴$EC=AE=\sqrt{3}x$，
∴$BC=BE+EC=x+\sqrt{3}x=(\sqrt{3}+1)x$，
又
∵AD=BC，
∴$AD:AB=(\sqrt{3}+1)x:2x=(\sqrt{3}+1):2$。
【答案】
$(\sqrt{3}+1):2$
【知识点】
平行四边形的性质；正方形的判定；特殊直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合类基础题，将平行四边形、矩形、正方形的判定性质与特殊直角三角形的边长关系结合考查，解题的核心是抓住正方形“邻边相等的矩形”这一判定条件，建立线段之间的等量关系即可求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合平行四边形的性质和已知的垂直条件，可判断四边形AECF是矩形，若要矩形变为正方形，需满足邻边相等即AE=EC；接下来在Rt△ABE中利用∠B=60°的特殊角性质，用含参数的式子表示出AB、BE、AE的长度，再结合EC=AE得到BC（即AD）的长度，最终计算AD与AB的比值即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEC=∠EAF=∠AFC=90°，
∴四边形AECF是矩形。
若矩形AECF为正方形，则需满足邻边相等，即AE=EC。
设AB=2x，在Rt△ABE中，∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=½AB=x，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{3}x$，
∴$EC=AE=\sqrt{3}x$，
∴$BC=BE+EC=x+\sqrt{3}x=(\sqrt{3}+1)x$，
又
∵AD=BC，
∴$AD:AB=(\sqrt{3}+1)x:2x=(\sqrt{3}+1):2$。
【答案】
$(\sqrt{3}+1):2$
【知识点】
平行四边形的性质；正方形的判定；特殊直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合类基础题，将平行四边形、矩形、正方形的判定性质与特殊直角三角形的边长关系结合考查，解题的核心是抓住正方形“邻边相等的矩形”这一判定条件，建立线段之间的等量关系即可求解。
【难度系数】
0.6
7.下列命题是真命题的是(
A.一组对边平行且有一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C.有三个角相等的四边形是矩形
D.对角线互相垂直平分且有一组对角互补的四边形是正方形
D
)。A.一组对边平行且有一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C.有三个角相等的四边形是矩形
D.对角线互相垂直平分且有一组对角互补的四边形是正方形
答案
7.D
解析
【分析】
本题考查特殊四边形的判定，解题时需逐一分析每个选项，结合平行四边形、矩形、正方形的判定定理判断命题真假，对于难以直接判断的选项可通过举反例排除错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：等腰梯形满足“一组对边平行且另一组对边相等”，但它不是平行四边形，因此该命题是假命题。
选项B：对角线相等、互相垂直且互相平分的四边形才是正方形，仅满足相等和垂直的四边形不一定是正方形，因此该命题是假命题。
选项C：四边形内角和为$360°$，若三个角均为$80°$，则第四个角为$120°$，满足“三个角相等”但不是矩形，只有三个角都是直角的四边形才是矩形，因此该命题是假命题。
选项D：首先，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；菱形的对角相等，已知一组对角互补，可得这组对角均为$90°$，有一个角是直角的菱形是正方形，因此该命题是真命题。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题侧重考查特殊四边形判定定理的辨析，解题核心是熟练掌握各类特殊四边形判定的必备条件，注意不要遗漏定理中的关键前提，通过举反例的方法可以快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
本题考查特殊四边形的判定，解题时需逐一分析每个选项，结合平行四边形、矩形、正方形的判定定理判断命题真假，对于难以直接判断的选项可通过举反例排除错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：等腰梯形满足“一组对边平行且另一组对边相等”，但它不是平行四边形，因此该命题是假命题。
选项B：对角线相等、互相垂直且互相平分的四边形才是正方形，仅满足相等和垂直的四边形不一定是正方形，因此该命题是假命题。
选项C：四边形内角和为$360°$，若三个角均为$80°$，则第四个角为$120°$，满足“三个角相等”但不是矩形，只有三个角都是直角的四边形才是矩形，因此该命题是假命题。
选项D：首先，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；菱形的对角相等，已知一组对角互补，可得这组对角均为$90°$，有一个角是直角的菱形是正方形，因此该命题是真命题。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题侧重考查特殊四边形判定定理的辨析，解题核心是熟练掌握各类特殊四边形判定的必备条件，注意不要遗漏定理中的关键前提，通过举反例的方法可以快速排除错误选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
8.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，请添加一个条件，使四边形ABCD是正方形：
∠ABC=90°(答案不唯一)
。答案
8.$∠ABC=90°$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先判断重叠部分四边形ABCD的初始形状：①纸条的两组对边分别平行，可得$AB// CD$、$AD// BC$，因此四边形ABCD首先是平行四边形；②两张纸条等宽，说明平行四边形ABCD两组对边上的高相等，结合平行四边形面积=底×高，可推出平行四边形的邻边$AB=AD$，因此四边形ABCD是菱形。接下来根据正方形的判定定理：有一个内角为直角的菱形是正方形，或对角线相等的菱形是正方形，添加对应条件即可。
【解析】
1. 判定四边形ABCD为平行四边形：
由纸条的对边互相平行，可得$AB// CD$，$AD// BC$，因此四边形$ABCD$是平行四边形。
2. 判定平行四边形ABCD为菱形：
设两张纸条的宽度均为$h$，平行四边形$ABCD$中，$AB$边上的高为$h$，$AD$边上的高也为$h$。
根据平行四边形面积公式：$S_{ABCD}=AB· h=AD· h$，因此$AB=AD$，所以平行四边形$ABCD$是菱形。
3. 添加条件使菱形变为正方形：
根据正方形判定定理，有一个角是直角的菱形是正方形，因此可添加条件$∠ ABC=90°$，也可添加$AC=BD$等符合要求的条件，答案不唯一。
【答案】
$∠ ABC=90°$（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定
【点评】
本题结合生活中的交叉纸条场景考查特殊四边形的判定，解题的核心是先推导得出重叠部分初始为菱形，再结合正方形的判定条件添加合适的参数，能帮助学生巩固特殊四边形之间的转化逻辑。
【难度系数】
0.7
首先判断重叠部分四边形ABCD的初始形状：①纸条的两组对边分别平行，可得$AB// CD$、$AD// BC$，因此四边形ABCD首先是平行四边形；②两张纸条等宽，说明平行四边形ABCD两组对边上的高相等，结合平行四边形面积=底×高，可推出平行四边形的邻边$AB=AD$，因此四边形ABCD是菱形。接下来根据正方形的判定定理：有一个内角为直角的菱形是正方形，或对角线相等的菱形是正方形，添加对应条件即可。
【解析】
1. 判定四边形ABCD为平行四边形：
由纸条的对边互相平行，可得$AB// CD$，$AD// BC$，因此四边形$ABCD$是平行四边形。
2. 判定平行四边形ABCD为菱形：
设两张纸条的宽度均为$h$，平行四边形$ABCD$中，$AB$边上的高为$h$，$AD$边上的高也为$h$。
根据平行四边形面积公式：$S_{ABCD}=AB· h=AD· h$，因此$AB=AD$，所以平行四边形$ABCD$是菱形。
3. 添加条件使菱形变为正方形：
根据正方形判定定理，有一个角是直角的菱形是正方形，因此可添加条件$∠ ABC=90°$，也可添加$AC=BD$等符合要求的条件，答案不唯一。
【答案】
$∠ ABC=90°$（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定
【点评】
本题结合生活中的交叉纸条场景考查特殊四边形的判定，解题的核心是先推导得出重叠部分初始为菱形，再结合正方形的判定条件添加合适的参数，能帮助学生巩固特殊四边形之间的转化逻辑。
【难度系数】
0.7
9.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-2,0),B(0,-2),C(2,0),D(0,2),求证:四边形ABCD是正方形。
答案
9.证明:$\because A(-2,0),B(0,-2),$
$\therefore OA=2,OB=2,$
$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2\sqrt{2}$。
同理可求得$AD=2\sqrt{2},BC=2\sqrt{2},DC=2\sqrt{2},$
$\therefore AB=BC=CD=DA,$
$\therefore$ 四边形$ABCD$为菱形。
$\because BD=AC,$
$\therefore$ 四边形$ABCD$是正方形。
$\therefore OA=2,OB=2,$
$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2\sqrt{2}$。
同理可求得$AD=2\sqrt{2},BC=2\sqrt{2},DC=2\sqrt{2},$
$\therefore AB=BC=CD=DA,$
$\therefore$ 四边形$ABCD$为菱形。
$\because BD=AC,$
$\therefore$ 四边形$ABCD$是正方形。
解析
【分析】
要证明四边形ABCD是正方形，可按照“先判定为菱形，再补充判定为正方形”的思路推导：首先根据四个顶点的坐标，利用勾股定理计算四边形四条边的长度，证明四条边长度相等，即可判定四边形是菱形；再验证菱形的对角线长度相等，结合“对角线相等的菱形是正方形”的判定定理，就能完成证明。
【解析】
证明：$\because A(-2,0),B(0,-2),$
$\therefore OA=2,OB=2,$
$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2\sqrt{2}$。
同理可求得$AD=2\sqrt{2},BC=2\sqrt{2},DC=2\sqrt{2},$
$\therefore AB=BC=CD=DA,$
$\therefore$ 四边形$ABCD$为菱形。
$\because BD=AC,$
$\therefore$ 四边形$ABCD$是正方形。
【答案】
证明：$\because A(-2,0),B(0,-2),$
$\therefore OA=2,OB=2,$
$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2\sqrt{2}$。
同理可求得$AD=2\sqrt{2},BC=2\sqrt{2},DC=2\sqrt{2},$
$\therefore AB=BC=CD=DA,$
$\therefore$ 四边形$ABCD$为菱形。
$\because BD=AC,$
$\therefore$ 四边形$ABCD$是正方形。
【知识点】
勾股定理；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于特殊四边形判定的基础题，结合平面直角坐标系的坐标特征计算线段长度，解题的关键是理清正方形的证明逻辑，熟练掌握菱形和正方形的判定定理。
【难度系数】
0.8
要证明四边形ABCD是正方形，可按照“先判定为菱形，再补充判定为正方形”的思路推导：首先根据四个顶点的坐标，利用勾股定理计算四边形四条边的长度，证明四条边长度相等，即可判定四边形是菱形；再验证菱形的对角线长度相等，结合“对角线相等的菱形是正方形”的判定定理，就能完成证明。
【解析】
证明：$\because A(-2,0),B(0,-2),$
$\therefore OA=2,OB=2,$
$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2\sqrt{2}$。
同理可求得$AD=2\sqrt{2},BC=2\sqrt{2},DC=2\sqrt{2},$
$\therefore AB=BC=CD=DA,$
$\therefore$ 四边形$ABCD$为菱形。
$\because BD=AC,$
$\therefore$ 四边形$ABCD$是正方形。
【答案】
证明：$\because A(-2,0),B(0,-2),$
$\therefore OA=2,OB=2,$
$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2\sqrt{2}$。
同理可求得$AD=2\sqrt{2},BC=2\sqrt{2},DC=2\sqrt{2},$
$\therefore AB=BC=CD=DA,$
$\therefore$ 四边形$ABCD$为菱形。
$\because BD=AC,$
$\therefore$ 四边形$ABCD$是正方形。
【知识点】
勾股定理；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于特殊四边形判定的基础题，结合平面直角坐标系的坐标特征计算线段长度，解题的关键是理清正方形的证明逻辑，熟练掌握菱形和正方形的判定定理。
【难度系数】
0.8
10.(2025·德阳)在综合实践活动中,同学们对学校的一块正方形花园ABCD进行测量并规划使用。如图,点E,F处是它的两个门,且$DE=CF$,要修建两条直路AF,BE,AF与BE相交于点O。(两个门E,F的大小忽略不计)
(1)请问这两条路是否等长?它们有什么位置关系?说明理由。
(2)同学们测得$AD=4\ \mathrm{m},AE=3\ \mathrm{m}$,根据实际需要,某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5 m长的直路,这条直路的一端在门F处,另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上,并且另一端P与点B处的距离不少于1.5 m,请问能否修建成这样的直路?若能,求出能修建几条;若不能,说明理由。
(1)请问这两条路是否等长?它们有什么位置关系?说明理由。
(2)同学们测得$AD=4\ \mathrm{m},AE=3\ \mathrm{m}$,根据实际需要,某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5 m长的直路,这条直路的一端在门F处,另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上,并且另一端P与点B处的距离不少于1.5 m,请问能否修建成这样的直路?若能,求出能修建几条;若不能,说明理由。
答案
10.解:(1)这两条路等长,它们的位置关系是互相垂直。理由如下：
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°$。
$\because DE=CF,$
$\therefore AD-DE=CD-CF,$
$\therefore AE=DF$。
在$△ BAE$和$△ ADF$中，
$\begin{cases}BA=AD,\\∠BAE=∠D=90°,\\AE=DF,\end{cases}$
$\therefore △ BAE≌△ ADF(\mathrm{SAS}),$
$\therefore BE=AF,∠ABE=∠DAF$。
$\because ∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°,$
$\therefore ∠BAO+∠ABE=90°$。
在$△ AOB$中，$∠AOB=180°-(∠BAO+∠ABE)=90°,$
$\therefore AF⊥ BE,$
$\therefore$ 道路$AF$与$BE$等长,且它们互相垂直。
(2)能建成一条这样的直路,且点$P$在边界$BC$上。
$\because AD=AB=CD=4\ \mathrm{m},AE=3\ \mathrm{m},$
$\therefore DE=CF=1\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得 $BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{m}),$
由(1)得$AF=BE=5\ \mathrm{m},AF⊥ BE,$
$\therefore$ 由三角形的面积公式得 $S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE· OA=\frac{1}{2}AB· AE,$
$\therefore OA=\frac{AB· AE}{BE}=\frac{3×4}{5}=2.4(\mathrm{m}),$
$\therefore OF=AF-OA=5-2.4=2.6(\mathrm{m}),$
根据“垂线段最短”得点$F$到路段$OB$的最短距离为$2.6\ \mathrm{m},$
$\therefore$ 路段$OB$上不存在点$P$到点$F$的距离等于$2.5\ \mathrm{m},$
$\therefore$ 点$P$不在路段$OB$上。
设点$P$在边界$BC$上时，
在$\mathrm{Rt}△ PCF$中，由勾股定理得 $PC=\sqrt{FP^2-FC^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\frac{\sqrt{21}}{2},$
$\therefore BP=BC-PC=4-\frac{\sqrt{21}}{2}$。
$\because 4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞4-\frac{\sqrt{25}}{2},$
$\therefore 4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞1.5,$
$\therefore$ 点$P$符合题意，
即能建成一条这样的直路。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°$。
$\because DE=CF,$
$\therefore AD-DE=CD-CF,$
$\therefore AE=DF$。
在$△ BAE$和$△ ADF$中，
$\begin{cases}BA=AD,\\∠BAE=∠D=90°,\\AE=DF,\end{cases}$
$\therefore △ BAE≌△ ADF(\mathrm{SAS}),$
$\therefore BE=AF,∠ABE=∠DAF$。
$\because ∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°,$
$\therefore ∠BAO+∠ABE=90°$。
在$△ AOB$中，$∠AOB=180°-(∠BAO+∠ABE)=90°,$
$\therefore AF⊥ BE,$
$\therefore$ 道路$AF$与$BE$等长,且它们互相垂直。
(2)能建成一条这样的直路,且点$P$在边界$BC$上。
$\because AD=AB=CD=4\ \mathrm{m},AE=3\ \mathrm{m},$
$\therefore DE=CF=1\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得 $BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{m}),$
由(1)得$AF=BE=5\ \mathrm{m},AF⊥ BE,$
$\therefore$ 由三角形的面积公式得 $S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE· OA=\frac{1}{2}AB· AE,$
$\therefore OA=\frac{AB· AE}{BE}=\frac{3×4}{5}=2.4(\mathrm{m}),$
$\therefore OF=AF-OA=5-2.4=2.6(\mathrm{m}),$
根据“垂线段最短”得点$F$到路段$OB$的最短距离为$2.6\ \mathrm{m},$
$\therefore$ 路段$OB$上不存在点$P$到点$F$的距离等于$2.5\ \mathrm{m},$
$\therefore$ 点$P$不在路段$OB$上。
设点$P$在边界$BC$上时，
在$\mathrm{Rt}△ PCF$中，由勾股定理得 $PC=\sqrt{FP^2-FC^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\frac{\sqrt{21}}{2},$
$\therefore BP=BC-PC=4-\frac{\sqrt{21}}{2}$。
$\because 4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞4-\frac{\sqrt{25}}{2},$
$\therefore 4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞1.5,$
$\therefore$ 点$P$符合题意，
即能建成一条这样的直路。
解析
【分析】
(1) 要判断AF和BE的长度及位置关系，首先利用正方形的性质得到邻边相等、内角为直角，结合已知DE=CF推导出AE=DF，再通过SAS证明△BAE和△ADF全等，根据全等性质得到线段相等，最后通过角度互余推导两条线段的垂直关系。
(2) 先根据已知边长计算相关线段长度，分两种情况讨论点P的位置：①点P在OB上时，利用等面积法求出AO的长度，得到OF的长度，根据垂线段最短判断F到OB的最短距离与2.5m的大小关系，确定OB上是否存在符合条件的点；②点P在BC上时，设PF=2.5m，利用勾股定理求出PC的长度，进而得到BP的长度，验证BP是否满足不少于1.5m的要求，即可得出结论。
【解析】
(1) 这两条路等长，位置关系是互相垂直，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴$BA=AD=CD$，$∠BAE=∠D=90°$。
∵$DE=CF$，
∴$AD-DE=CD-CF$，即$AE=DF$。
在$△ BAE$和$△ ADF$中，
$\begin{cases}BA=AD, \\∠BAE=∠D=90°, \\AE=DF,\end{cases}$
∴$△ BAE≌△ ADF(\mathrm{SAS})$，
∴$BE=AF$，$∠ABE=∠DAF$。
∵$∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°$，
∴$∠BAO+∠ABE=90°$。
在$△ AOB$中，$∠AOB=180°-(∠BAO+∠ABE)=90°$，
∴$AF⊥BE$。
即道路AF与BE等长，且互相垂直。
(2) 能建成这样的直路，共1条，理由如下：
∵$AD=AB=CD=4\ \mathrm{m}$，$AE=3\ \mathrm{m}$，
∴$DE=CF=1\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{m})$，
由(1)得$AF=BE=5\ \mathrm{m}$，$AF⊥BE$，
根据三角形面积公式，$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE·OA=\frac{1}{2}AB·AE$，
∴$OA=\frac{AB·AE}{BE}=\frac{3×4}{5}=2.4(\mathrm{m})$，
∴$OF=AF-OA=5-2.4=2.6(\mathrm{m})$。
根据垂线段最短，点F到路段OB的最短距离为2.6m，大于2.5m，因此路段OB上不存在点P满足到F的距离为2.5m，即点P不在OB上。
设点P在边界BC上，在$\mathrm{Rt}△ PCF$中，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{FP^2-FC^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}$，
∴$BP=BC-PC=4-\frac{\sqrt{21}}{2}$。
∵$4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞4-\frac{\sqrt{25}}{2}=1.5$，满足BP不少于1.5m的要求，
因此BC上存在1个符合条件的点P，即能建成1条这样的直路。
【答案】
(1) 两条路等长，且互相垂直；
(2) 能修建成这样的直路，共可以修建1条。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何知识的综合应用，解题时先通过全等三角形得到线段的数量与位置关系，再分类讨论点P的可能位置，结合垂线段最短、勾股定理逐一验证，既考查基础几何性质的掌握，也对分类讨论思想和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断AF和BE的长度及位置关系，首先利用正方形的性质得到邻边相等、内角为直角，结合已知DE=CF推导出AE=DF，再通过SAS证明△BAE和△ADF全等，根据全等性质得到线段相等，最后通过角度互余推导两条线段的垂直关系。
(2) 先根据已知边长计算相关线段长度，分两种情况讨论点P的位置：①点P在OB上时，利用等面积法求出AO的长度，得到OF的长度，根据垂线段最短判断F到OB的最短距离与2.5m的大小关系，确定OB上是否存在符合条件的点；②点P在BC上时，设PF=2.5m，利用勾股定理求出PC的长度，进而得到BP的长度，验证BP是否满足不少于1.5m的要求，即可得出结论。
【解析】
(1) 这两条路等长，位置关系是互相垂直，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴$BA=AD=CD$，$∠BAE=∠D=90°$。
∵$DE=CF$，
∴$AD-DE=CD-CF$，即$AE=DF$。
在$△ BAE$和$△ ADF$中，
$\begin{cases}BA=AD, \\∠BAE=∠D=90°, \\AE=DF,\end{cases}$
∴$△ BAE≌△ ADF(\mathrm{SAS})$，
∴$BE=AF$，$∠ABE=∠DAF$。
∵$∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°$，
∴$∠BAO+∠ABE=90°$。
在$△ AOB$中，$∠AOB=180°-(∠BAO+∠ABE)=90°$，
∴$AF⊥BE$。
即道路AF与BE等长，且互相垂直。
(2) 能建成这样的直路，共1条，理由如下：
∵$AD=AB=CD=4\ \mathrm{m}$，$AE=3\ \mathrm{m}$，
∴$DE=CF=1\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5(\mathrm{m})$，
由(1)得$AF=BE=5\ \mathrm{m}$，$AF⊥BE$，
根据三角形面积公式，$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE·OA=\frac{1}{2}AB·AE$，
∴$OA=\frac{AB·AE}{BE}=\frac{3×4}{5}=2.4(\mathrm{m})$，
∴$OF=AF-OA=5-2.4=2.6(\mathrm{m})$。
根据垂线段最短，点F到路段OB的最短距离为2.6m，大于2.5m，因此路段OB上不存在点P满足到F的距离为2.5m，即点P不在OB上。
设点P在边界BC上，在$\mathrm{Rt}△ PCF$中，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{FP^2-FC^2}=\sqrt{2.5^2-1^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}$，
∴$BP=BC-PC=4-\frac{\sqrt{21}}{2}$。
∵$4-\frac{\sqrt{21}}{2}＞4-\frac{\sqrt{25}}{2}=1.5$，满足BP不少于1.5m的要求，
因此BC上存在1个符合条件的点P，即能建成1条这样的直路。
【答案】
(1) 两条路等长，且互相垂直；
(2) 能修建成这样的直路，共可以修建1条。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何知识的综合应用，解题时先通过全等三角形得到线段的数量与位置关系，再分类讨论点P的可能位置，结合垂线段最短、勾股定理逐一验证，既考查基础几何性质的掌握，也对分类讨论思想和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
