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5. 已知一次函数的图象经过点$A(0,3)$和点$B(2,-3)$。
（1）求这个函数的表达式。
（2）判断点$C(-2,8)$是否在该函数的图象上。
（1）求这个函数的表达式。
（2）判断点$C(-2,8)$是否在该函数的图象上。
答案
5. (1) $y=-3x+3$ (2) 点$C(-2,8)$不在该函数的图象上
解析
【分析】
（1）求一次函数表达式常用待定系数法，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，函数图象经过的点的坐标满足函数解析式，因此把已知的A、B两点坐标分别代入解析式，可得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值就能得到函数表达式。
（2）判断点是否在函数图象上的核心逻辑是：函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，因此只需将点的横坐标代入表达式，算出对应的纵坐标，和点给出的纵坐标对比，相等则点在图象上，不等则不在。
【解析】
（1）设这个一次函数的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$A(0,3)$代入解析式，得：$3 = k×0 + b$，解得$b=3$；
将点$B(2,-3)$和$b=3$代入解析式，得：$-3 = 2k + 3$，
移项计算得$2k=-6$，解得$k=-3$，
因此这个函数的表达式为$y=-3x+3$。
（2）把$x=-2$代入$y=-3x+3$，
计算得$y=-3×(-2)+3=6+3=9$，
因为计算得到的纵坐标$9≠$点C给出的纵坐标$8$，所以点$C(-2,8)$不在该函数的图象上。
【答案】
(1) $y=-3x+3$ (2) 点$C(-2,8)$不在该函数的图象上
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础题型，考查的解题方法固定，熟练掌握待定系数法的操作步骤、理解点的坐标和函数解析式的对应关系，即可轻松完成解答，是一次函数相关内容的基础必备考点。
【难度系数】
0.8
（1）求一次函数表达式常用待定系数法，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，函数图象经过的点的坐标满足函数解析式，因此把已知的A、B两点坐标分别代入解析式，可得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值就能得到函数表达式。
（2）判断点是否在函数图象上的核心逻辑是：函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，因此只需将点的横坐标代入表达式，算出对应的纵坐标，和点给出的纵坐标对比，相等则点在图象上，不等则不在。
【解析】
（1）设这个一次函数的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
将点$A(0,3)$代入解析式，得：$3 = k×0 + b$，解得$b=3$；
将点$B(2,-3)$和$b=3$代入解析式，得：$-3 = 2k + 3$，
移项计算得$2k=-6$，解得$k=-3$，
因此这个函数的表达式为$y=-3x+3$。
（2）把$x=-2$代入$y=-3x+3$，
计算得$y=-3×(-2)+3=6+3=9$，
因为计算得到的纵坐标$9≠$点C给出的纵坐标$8$，所以点$C(-2,8)$不在该函数的图象上。
【答案】
(1) $y=-3x+3$ (2) 点$C(-2,8)$不在该函数的图象上
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础题型，考查的解题方法固定，熟练掌握待定系数法的操作步骤、理解点的坐标和函数解析式的对应关系，即可轻松完成解答，是一次函数相关内容的基础必备考点。
【难度系数】
0.8
6. 在平面直角坐标系中，一次函数$y=kx+b$（$k$，$b$为常数）的图象由$y=2x$的图象平移得到，且经过点$(-1,3)$，$P(x,y)$是该一次函数图象上的一点。
（1）求该一次函数的表达式。
（2）已知点$A(-3,0)$，当$△ AOP$的面积为6时，求点$P$的坐标。
（1）求该一次函数的表达式。
（2）已知点$A(-3,0)$，当$△ AOP$的面积为6时，求点$P$的坐标。
答案
6. (1) $y=2x+5$ (2) $P(-\frac{1}{2},4)$或$P(-\frac{9}{2},-4)$
解析
【分析】
（1）解题思路：一次函数图象平移时斜率k不变，因此首先由平移条件确定k的值，再将已知点坐标代入函数表达式，即可求解常数b，得到一次函数解析式。
（2）解题思路：先确定△AOP的底OA的长度，由于OA在x轴上，三角形的高等于点P纵坐标的绝对值，结合面积公式列方程求出y的取值，再分别代入一次函数解析式求解对应的x值，即可得到点P的坐标，注意不要遗漏纵坐标为负的情况。
【解析】
（1）
∵ 一次函数$y=kx+b$的图象由$y=2x$的图象平移得到
∴ 平移不改变一次项系数，即$k=2$，函数表达式可写为$y=2x+b$
将点$(-1,3)$代入$y=2x+b$，得：
$3=2×(-1)+b$
解得$b=5$
∴ 该一次函数的表达式为$y=2x+5$
（2）
∵ 点$A(-3,0)$，O为坐标原点
∴ $OA=|-3-0|=3$
设点$P$的纵坐标为$y$，则$△ AOP$中，边OA上的高为$|y|$
由三角形面积公式$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA× |y|=6$，代入OA=3得：
$\frac{1}{2}×3×|y|=6$
解得$|y|=4$，即$y=4$或$y=-4$
① 当$y=4$时，代入$y=2x+5$得：
$4=2x+5$，解得$x=-\frac{1}{2}$，此时$P(-\frac{1}{2},4)$
② 当$y=-4$时，代入$y=2x+5$得：
$-4=2x+5$，解得$x=-\frac{9}{2}$，此时$P(-\frac{9}{2},-4)$
【答案】
(1) $y=2x+5$
(2) $P(-\frac{1}{2},4)$或$P(-\frac{9}{2},-4)$
【知识点】
一次函数平移规律；待定系数法求解析式；一次函数与面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，第一问核心是掌握平移不改变一次项系数的性质，第二问需要注意点的坐标带符号，计算面积时要取纵坐标的绝对值，避免漏解，是一次函数章节的典型常规题。
【难度系数】
0.7
（1）解题思路：一次函数图象平移时斜率k不变，因此首先由平移条件确定k的值，再将已知点坐标代入函数表达式，即可求解常数b，得到一次函数解析式。
（2）解题思路：先确定△AOP的底OA的长度，由于OA在x轴上，三角形的高等于点P纵坐标的绝对值，结合面积公式列方程求出y的取值，再分别代入一次函数解析式求解对应的x值，即可得到点P的坐标，注意不要遗漏纵坐标为负的情况。
【解析】
（1）
∵ 一次函数$y=kx+b$的图象由$y=2x$的图象平移得到
∴ 平移不改变一次项系数，即$k=2$，函数表达式可写为$y=2x+b$
将点$(-1,3)$代入$y=2x+b$，得：
$3=2×(-1)+b$
解得$b=5$
∴ 该一次函数的表达式为$y=2x+5$
（2）
∵ 点$A(-3,0)$，O为坐标原点
∴ $OA=|-3-0|=3$
设点$P$的纵坐标为$y$，则$△ AOP$中，边OA上的高为$|y|$
由三角形面积公式$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× OA× |y|=6$，代入OA=3得：
$\frac{1}{2}×3×|y|=6$
解得$|y|=4$，即$y=4$或$y=-4$
① 当$y=4$时，代入$y=2x+5$得：
$4=2x+5$，解得$x=-\frac{1}{2}$，此时$P(-\frac{1}{2},4)$
② 当$y=-4$时，代入$y=2x+5$得：
$-4=2x+5$，解得$x=-\frac{9}{2}$，此时$P(-\frac{9}{2},-4)$
【答案】
(1) $y=2x+5$
(2) $P(-\frac{1}{2},4)$或$P(-\frac{9}{2},-4)$
【知识点】
一次函数平移规律；待定系数法求解析式；一次函数与面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，第一问核心是掌握平移不改变一次项系数的性质，第二问需要注意点的坐标带符号，计算面积时要取纵坐标的绝对值，避免漏解，是一次函数章节的典型常规题。
【难度系数】
0.7
7. 小明在研究某一次函数时列表如下：
上述表中有一个点的坐标是错误的，这个点的坐标是
上述表中有一个点的坐标是错误的，这个点的坐标是
$(1,0)$
。答案
7. $(1,0)$
解析
【分析】
一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），仅需两个点的坐标就可以用待定系数法确定解析式，再将其余各点代入解析式验证，坐标不满足解析式的就是错误的点。解题时可优先选取x=0对应的点(0,1)，能直接求出b的值，简化计算，再选取另一个点算出k，最后逐一验证即可。
【解析】
解：设该一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）。
将点(0,1)代入解析式，得b=1；
再将点(-1,3)代入y=kx+1，得3=-k+1，解得k=-2，
因此该一次函数的解析式为y=-2x+1。
将表格中其余点代入解析式验证：
① 当x=-2时，y=-2×(-2)+1=5，与表格中y值一致，坐标正确；
② 当x=1时，y=-2×1+1=-1，与表格中y=0不一致，坐标错误；
③ 当x=2时，y=-2×2+1=-3，与表格中y值一致，坐标正确。
综上，表中错误的点坐标是(1,0)。
【答案】
(1,0)
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，解题时优先选取x=0的点可有效降低计算量，再通过代入验证即可快速找出错误点。
【难度系数】
0.8
一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），仅需两个点的坐标就可以用待定系数法确定解析式，再将其余各点代入解析式验证，坐标不满足解析式的就是错误的点。解题时可优先选取x=0对应的点(0,1)，能直接求出b的值，简化计算，再选取另一个点算出k，最后逐一验证即可。
【解析】
解：设该一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）。
将点(0,1)代入解析式，得b=1；
再将点(-1,3)代入y=kx+1，得3=-k+1，解得k=-2，
因此该一次函数的解析式为y=-2x+1。
将表格中其余点代入解析式验证：
① 当x=-2时，y=-2×(-2)+1=5，与表格中y值一致，坐标正确；
② 当x=1时，y=-2×1+1=-1，与表格中y=0不一致，坐标错误；
③ 当x=2时，y=-2×2+1=-3，与表格中y值一致，坐标正确。
综上，表中错误的点坐标是(1,0)。
【答案】
(1,0)
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，解题时优先选取x=0的点可有效降低计算量，再通过代入验证即可快速找出错误点。
【难度系数】
0.8
8. 如图，正方形ABCD的边长为4，点P为CD上任意一点（不与点C，D重合）。设DP=x，四边形ABCP的面积为y。
（1）求y关于x的函数表达式及x的取值范围。
（2）画出这个函数的图象。
（1）求y关于x的函数表达式及x的取值范围。
（2）画出这个函数的图象。
答案
8. (1) $y=16-2x,0＜x＜4$ (2) 图略
解析
【分析】
第(1)问解题思路：我们可以用“割补法”计算四边形ABCP的面积，先算出正方形ABCD的总面积，再减去上方直角三角形ADP的面积，就能得到y与x的关系；再结合点P不与C、D重合的条件，确定x的取值范围。第(2)问：该函数是一次函数，结合x的取值范围，找到区间两端点对应的坐标，注意端点不可取，连接两点画出空心端点的线段即可。
【解析】
(1) 解：正方形ABCD的边长为4，因此正方形的面积为$S_{正方形ABCD}=4×4=16$。
△ADP是直角三角形，直角边AD=4，DP=x，因此△ADP的面积为$S_{△ ADP}=\frac{1}{2}× AD× DP=\frac{1}{2}×4× x=2x$。
四边形ABCP的面积$y=S_{正方形ABCD}-S_{△ ADP}$，代入得$y=16-2x$。
由于点P不与C、D重合，CD边长为4，因此x的取值范围是$0＜x＜4$。
(2) 函数$y=16-2x（0＜x＜4）$是一次函数，取两个边界点：当$x=0$时$y=16$，当$x=4$时$y=8$。在平面直角坐标系中描出点$(0,16)$和$(4,8)$，因为x不能取0和4，所以两点画空心圆圈，连接两个空心点得到的线段即为该函数的图象。
【答案】
(1) $y=16-2x,0＜x＜4$
(2) 图略
【知识点】
正方形面积计算、一次函数表达式、一次函数图象绘制
【点评】
本题将几何面积计算和一次函数知识相结合，难度不大，解题核心是利用割补法建立面积与变量的等量关系，绘制图象时要特别注意自变量的取值范围，不能忽略端点的取舍。
【难度系数】
0.7
第(1)问解题思路：我们可以用“割补法”计算四边形ABCP的面积，先算出正方形ABCD的总面积，再减去上方直角三角形ADP的面积，就能得到y与x的关系；再结合点P不与C、D重合的条件，确定x的取值范围。第(2)问：该函数是一次函数，结合x的取值范围，找到区间两端点对应的坐标，注意端点不可取，连接两点画出空心端点的线段即可。
【解析】
(1) 解：正方形ABCD的边长为4，因此正方形的面积为$S_{正方形ABCD}=4×4=16$。
△ADP是直角三角形，直角边AD=4，DP=x，因此△ADP的面积为$S_{△ ADP}=\frac{1}{2}× AD× DP=\frac{1}{2}×4× x=2x$。
四边形ABCP的面积$y=S_{正方形ABCD}-S_{△ ADP}$，代入得$y=16-2x$。
由于点P不与C、D重合，CD边长为4，因此x的取值范围是$0＜x＜4$。
(2) 函数$y=16-2x（0＜x＜4）$是一次函数，取两个边界点：当$x=0$时$y=16$，当$x=4$时$y=8$。在平面直角坐标系中描出点$(0,16)$和$(4,8)$，因为x不能取0和4，所以两点画空心圆圈，连接两个空心点得到的线段即为该函数的图象。
【答案】
(1) $y=16-2x,0＜x＜4$
(2) 图略
【知识点】
正方形面积计算、一次函数表达式、一次函数图象绘制
【点评】
本题将几何面积计算和一次函数知识相结合，难度不大，解题核心是利用割补法建立面积与变量的等量关系，绘制图象时要特别注意自变量的取值范围，不能忽略端点的取舍。
【难度系数】
0.7
