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1.(4分)计算$(12m^4 - 3m) ÷ 3m$的结果是（
A.$4m^3$
B.$4m^3 + 1$
C.$12m^3 - 1$
D.$4m^3 - 1$
D
）A.$4m^3$
B.$4m^3 + 1$
C.$12m^3 - 1$
D.$4m^3 - 1$
答案
1. D
解析
【分析】
这道题考查多项式除以单项式的运算，解题思路是依据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。第一步先拆分算式，把$12m^4$和$-3m$分别除以$3m$，第二步分别计算两个商，计算时注意系数相除，同底数幂相除时底数不变、指数相减，还要注意第二项的符号不要出错，最后合并两个商得到结果后对应选项即可。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}(12m^4 - 3m) ÷ 3m&=12m^4÷3m + (-3m)÷3m\\&=(12÷3)×(m^4÷ m) + (-3÷3)×(m÷ m)\\&=4m^{4-1} + (-1)×1\\&=4m^3 -1\end{aligned}$
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.多项式除以单项式法则 2.同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式除法的基础运算题，易错点是容易漏算第二项或者弄错符号，熟练掌握运算法则即可正确求解。
【难度系数】
0.8
这道题考查多项式除以单项式的运算，解题思路是依据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。第一步先拆分算式，把$12m^4$和$-3m$分别除以$3m$，第二步分别计算两个商，计算时注意系数相除，同底数幂相除时底数不变、指数相减，还要注意第二项的符号不要出错，最后合并两个商得到结果后对应选项即可。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}(12m^4 - 3m) ÷ 3m&=12m^4÷3m + (-3m)÷3m\\&=(12÷3)×(m^4÷ m) + (-3÷3)×(m÷ m)\\&=4m^{4-1} + (-1)×1\\&=4m^3 -1\end{aligned}$
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.多项式除以单项式法则 2.同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式除法的基础运算题，易错点是容易漏算第二项或者弄错符号，熟练掌握运算法则即可正确求解。
【难度系数】
0.8
2.(4分)如果$(3x^{2}y - 2xy^{2})÷M = -3x + 2y$，那么单项式M为 （
A.$xy$
B.$-xy$
C.$x$
D.$-y$
B
）A.$xy$
B.$-xy$
C.$x$
D.$-y$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先根据除法运算各部分的关系，明确除数=被除数÷商，由此先写出单项式M的表达式。观察发现被除数是多项式，直接做多项式除法计算较繁琐，因此先对被除数提取公因式进行因式分解，再对商变形，观察二者的公因式，约分后即可快速求出M，计算时需重点注意符号的变化。
【解析】
解：根据除法中“除数=被除数÷商”，可得：
$M=(3x^2y - 2xy^2)÷(-3x + 2y)$
对被除式提取公因式$xy$，得：
$3x^2y - 2xy^2 = xy(3x - 2y)$
对除式变形，提取负号得：
$-3x + 2y = -(3x - 2y)$
将上述结果代入M的表达式，约去公因式$3x-2y$，得：
$M=xy(3x - 2y)÷[-(3x - 2y)] = -xy$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
整式的除法；提公因式法因式分解
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查整式除法各部分的关系和提公因式分解因式的应用，解题时只要理清运算逻辑，注意符号变化即可得分，是整式运算部分的常规题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据除法运算各部分的关系，明确除数=被除数÷商，由此先写出单项式M的表达式。观察发现被除数是多项式，直接做多项式除法计算较繁琐，因此先对被除数提取公因式进行因式分解，再对商变形，观察二者的公因式，约分后即可快速求出M，计算时需重点注意符号的变化。
【解析】
解：根据除法中“除数=被除数÷商”，可得：
$M=(3x^2y - 2xy^2)÷(-3x + 2y)$
对被除式提取公因式$xy$，得：
$3x^2y - 2xy^2 = xy(3x - 2y)$
对除式变形，提取负号得：
$-3x + 2y = -(3x - 2y)$
将上述结果代入M的表达式，约去公因式$3x-2y$，得：
$M=xy(3x - 2y)÷[-(3x - 2y)] = -xy$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
整式的除法；提公因式法因式分解
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查整式除法各部分的关系和提公因式分解因式的应用，解题时只要理清运算逻辑，注意符号变化即可得分，是整式运算部分的常规题型。
【难度系数】
0.8
3.(4分)一个长方形的面积是$15x^3y^5 - 10x^4y^4 + 20x^3y^2$，一边长是$5x^3y^2$，则与之相邻的另一边长是
（
A.$2y^3 - 3xy^2 + 4$
B.$3y^3 - 2xy^2 + 4$
C.$3y^3 + 2xy^2 + 4$
D.$2xy^2 - 3y^3 + 4$
（
B
）A.$2y^3 - 3xy^2 + 4$
B.$3y^3 - 2xy^2 + 4$
C.$3y^3 + 2xy^2 + 4$
D.$2xy^2 - 3y^3 + 4$
答案
3. B
解析
【分析】
本题可结合长方形面积公式推导解题思路：首先回忆长方形面积=长×宽，已知面积和其中一条边长，求相邻的另一边长，只需用面积除以已知边长，即可将问题转化为多项式除以单项式的运算；再根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，结合同底数幂的除法法则计算每一项的结果，最后合并结果对照选项即可。
【解析】
根据长方形面积公式，相邻的另一边长 = 长方形面积 ÷ 已知边长，代入数据计算：
$\begin{aligned}&(15x^3y^5 - 10x^4y^4 + 20x^3y^2) ÷ 5x^3y^2 \\=&15x^3y^5÷5x^3y^2 - 10x^4y^4÷5x^3y^2 + 20x^3y^2÷5x^3y^2 \\=&3y^{5-2} - 2x^{4-3}y^{4-2} + 4 \\=&3y^3 - 2xy^2 + 4\end{aligned}$
结果对应B选项。
【答案】
B
【知识点】
长方形面积公式，多项式除以单项式，同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式除法的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握多项式除以单项式的运算规则，计算时要注意每一项的符号和同底数幂的指数运算规则，避免因符号看错或指数计算错误失分。
【难度系数】
0.75
本题可结合长方形面积公式推导解题思路：首先回忆长方形面积=长×宽，已知面积和其中一条边长，求相邻的另一边长，只需用面积除以已知边长，即可将问题转化为多项式除以单项式的运算；再根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，结合同底数幂的除法法则计算每一项的结果，最后合并结果对照选项即可。
【解析】
根据长方形面积公式，相邻的另一边长 = 长方形面积 ÷ 已知边长，代入数据计算：
$\begin{aligned}&(15x^3y^5 - 10x^4y^4 + 20x^3y^2) ÷ 5x^3y^2 \\=&15x^3y^5÷5x^3y^2 - 10x^4y^4÷5x^3y^2 + 20x^3y^2÷5x^3y^2 \\=&3y^{5-2} - 2x^{4-3}y^{4-2} + 4 \\=&3y^3 - 2xy^2 + 4\end{aligned}$
结果对应B选项。
【答案】
B
【知识点】
长方形面积公式，多项式除以单项式，同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式除法的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握多项式除以单项式的运算规则，计算时要注意每一项的符号和同底数幂的指数运算规则，避免因符号看错或指数计算错误失分。
【难度系数】
0.75
4.(4分)一个运算程序的示意图如图所示，若输入的A为整式$9a^2 - 3ab$，输出的D为整式$3a$，则C为
$3a-b+2a^2$
。答案
4. $3a-b+2a^2$
解析
【分析】首先根据运算程序梳理各整式的数量关系：先由输入的A加$6a^3$得到B，再用B除以C得到输出的D，因此可推导得$C=(A+6a^3)÷ D$，将已知的A和D代入该式，按照多项式除以单项式的运算法则计算即可求出C。
【解析】根据运算流程：
1. 先计算整式B：
$B=A+6a^3$，将$A=9a^2-3ab$代入得：
$B=9a^2-3ab+6a^3=6a^3+9a^2-3ab$
2. 再根据$D=B÷ C$，变形得$C=B÷ D$，将$B=6a^3+9a^2-3ab$、$D=3a$代入：
$\begin{aligned}C&=(6a^3+9a^2-3ab)÷3a\\&=6a^3÷3a + 9a^2÷3a + (-3ab)÷3a\\&=2a^2+3a-b\\&=3a-b+2a^2\end{aligned}$
【答案】$3a-b+2a^2$
【知识点】多项式除以单项式、整式的加减、整式的混合运算
【点评】本题核心是根据运算程序正确列代数式，重点考查多项式除以单项式的运算规则，计算时注意每一项的符号不要出错，属于基础运算类题目。
【难度系数】0.7
【解析】根据运算流程：
1. 先计算整式B：
$B=A+6a^3$，将$A=9a^2-3ab$代入得：
$B=9a^2-3ab+6a^3=6a^3+9a^2-3ab$
2. 再根据$D=B÷ C$，变形得$C=B÷ D$，将$B=6a^3+9a^2-3ab$、$D=3a$代入：
$\begin{aligned}C&=(6a^3+9a^2-3ab)÷3a\\&=6a^3÷3a + 9a^2÷3a + (-3ab)÷3a\\&=2a^2+3a-b\\&=3a-b+2a^2\end{aligned}$
【答案】$3a-b+2a^2$
【知识点】多项式除以单项式、整式的加减、整式的混合运算
【点评】本题核心是根据运算程序正确列代数式，重点考查多项式除以单项式的运算规则，计算时注意每一项的符号不要出错，属于基础运算类题目。
【难度系数】0.7
5.(16分)计算:
(1)$(x^2y - \frac{1}{2}xy^2) ÷ \frac{1}{2}xy$;
(2)$(5n^3 - 15mn^2 + 10n^5) ÷ 5n^2$;
(3)$(25x^3y - 10x^2y^2 + 15xy^3) ÷ (-5xy)$;
(4)$(-\frac{1}{5}a^3x^4 + \frac{9}{10}a^2x^3) ÷ (-\frac{3}{5}ax^2)$.
(1)$(x^2y - \frac{1}{2}xy^2) ÷ \frac{1}{2}xy$;
(2)$(5n^3 - 15mn^2 + 10n^5) ÷ 5n^2$;
(3)$(25x^3y - 10x^2y^2 + 15xy^3) ÷ (-5xy)$;
(4)$(-\frac{1}{5}a^3x^4 + \frac{9}{10}a^2x^3) ÷ (-\frac{3}{5}ax^2)$.
答案
5. 解:(1)原式$=2x-y$. (2)原式$=n-3m+2n^3$. (3)原式$=-5x^2+2xy-3y^2$. (4)原式$=\frac{1}{3}a^2x^2-\frac{3}{2}ax$.
解析
【分析】
这四道题均属于多项式除以单项式的运算，解题遵循通用思路：第一步根据多项式除以单项式法则，把多项式拆成多个单项式分别除以除式；第二步逐项计算单项式除法：先算系数的除法（注意符号、分数除法规则），再按照同底数幂除法法则计算字母部分（底数不变，指数相减），只在被除式里出现的字母连同指数直接保留在商里；第三步把所有项的商相加得到最终结果。
【解析】
(1) 原式$=x^2y ÷ \frac{1}{2}xy - \frac{1}{2}xy^2 ÷ \frac{1}{2}xy$
$=(1÷\frac{1}{2})x^{2-1}y^{1-1} - (\frac{1}{2}÷\frac{1}{2})x^{1-1}y^{2-1}$
$=2x - y$
(2) 原式$=5n^3 ÷5n^2 -15mn^2÷5n^2 +10n^5÷5n^2$
$=(5÷5)n^{3-2} - (15÷5)m n^{2-2} + (10÷5)n^{5-2}$
$=n - 3m + 2n^3$
(3) 原式$=25x^3y÷(-5xy) -10x^2y^2÷(-5xy) +15xy^3÷(-5xy)$
$=(25÷(-5))x^{3-1}y^{1-1} - (10÷(-5))x^{2-1}y^{2-1} + (15÷(-5))x^{1-1}y^{3-1}$
$=-5x^2 + 2xy - 3y^2$
(4) 原式$=(-\frac{1}{5}a^3x^4)÷(-\frac{3}{5}ax^2) + \frac{9}{10}a^2x^3÷(-\frac{3}{5}ax^2)$
$=[(-\frac{1}{5})÷(-\frac{3}{5})]a^{3-1}x^{4-2} + [\frac{9}{10}÷(-\frac{3}{5})]a^{2-1}x^{3-2}$
$=\frac{1}{3}a^2x^2 - \frac{3}{2}ax$
【答案】
(1)$2x-y$；(2)$n-3m+2n^3$；(3)$-5x^2+2xy-3y^2$；(4)$\frac{1}{3}a^2x^2-\frac{3}{2}ax$
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法；有理数除法
【点评】
本题是整式除法的基础题型，核心考查多项式除以单项式的运算法则，解题的易错点在于符号处理、分数系数运算及指数计算，熟练掌握基础运算法则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
这四道题均属于多项式除以单项式的运算，解题遵循通用思路：第一步根据多项式除以单项式法则，把多项式拆成多个单项式分别除以除式；第二步逐项计算单项式除法：先算系数的除法（注意符号、分数除法规则），再按照同底数幂除法法则计算字母部分（底数不变，指数相减），只在被除式里出现的字母连同指数直接保留在商里；第三步把所有项的商相加得到最终结果。
【解析】
(1) 原式$=x^2y ÷ \frac{1}{2}xy - \frac{1}{2}xy^2 ÷ \frac{1}{2}xy$
$=(1÷\frac{1}{2})x^{2-1}y^{1-1} - (\frac{1}{2}÷\frac{1}{2})x^{1-1}y^{2-1}$
$=2x - y$
(2) 原式$=5n^3 ÷5n^2 -15mn^2÷5n^2 +10n^5÷5n^2$
$=(5÷5)n^{3-2} - (15÷5)m n^{2-2} + (10÷5)n^{5-2}$
$=n - 3m + 2n^3$
(3) 原式$=25x^3y÷(-5xy) -10x^2y^2÷(-5xy) +15xy^3÷(-5xy)$
$=(25÷(-5))x^{3-1}y^{1-1} - (10÷(-5))x^{2-1}y^{2-1} + (15÷(-5))x^{1-1}y^{3-1}$
$=-5x^2 + 2xy - 3y^2$
(4) 原式$=(-\frac{1}{5}a^3x^4)÷(-\frac{3}{5}ax^2) + \frac{9}{10}a^2x^3÷(-\frac{3}{5}ax^2)$
$=[(-\frac{1}{5})÷(-\frac{3}{5})]a^{3-1}x^{4-2} + [\frac{9}{10}÷(-\frac{3}{5})]a^{2-1}x^{3-2}$
$=\frac{1}{3}a^2x^2 - \frac{3}{2}ax$
【答案】
(1)$2x-y$；(2)$n-3m+2n^3$；(3)$-5x^2+2xy-3y^2$；(4)$\frac{1}{3}a^2x^2-\frac{3}{2}ax$
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法；有理数除法
【点评】
本题是整式除法的基础题型，核心考查多项式除以单项式的运算法则，解题的易错点在于符号处理、分数系数运算及指数计算，熟练掌握基础运算法则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
6.(8分)先化简,再求值:$(8x^2y^3 - 4x^3y^2 + 6x)÷2x$,其中$x=-1,y=1.$
答案
6. 解:原式$=4xy^3-2x^2y^2+3$. 当$x=-1,y=1$时,原式$=4×(-1)×1^3-2×(-1)^2×1^2+3=-4-2+3=-3$.
解析
【分析】
本题属于整式的化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先利用多项式除以单项式的法则对原式化简，即将多项式的每一项分别除以单项式2x，再把所得的商相加，得到最简整式，先化简再代入可减少计算量、降低出错概率；第二步将x=-1、y=1代入化简后的整式，计算得到最终结果。
【解析】
解：根据多项式除以单项式的法则计算：
原式=$8x^2y^3÷2x - 4x^3y^2÷2x + 6x÷2x$
=$4xy^3 - 2x^2y^2 + 3$
将$x=-1$，$y=1$代入上式：
原式=$4×(-1)×1^3 - 2×(-1)^2×1^2 + 3$
=$-4 - 2 + 3$
=$-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
多项式除以单项式；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考查多项式除以单项式的运算规则，计算时需注意系数的符号、同底数幂的运算规则，代入数值计算时要注意负数乘方的符号问题，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题属于整式的化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先利用多项式除以单项式的法则对原式化简，即将多项式的每一项分别除以单项式2x，再把所得的商相加，得到最简整式，先化简再代入可减少计算量、降低出错概率；第二步将x=-1、y=1代入化简后的整式，计算得到最终结果。
【解析】
解：根据多项式除以单项式的法则计算：
原式=$8x^2y^3÷2x - 4x^3y^2÷2x + 6x÷2x$
=$4xy^3 - 2x^2y^2 + 3$
将$x=-1$，$y=1$代入上式：
原式=$4×(-1)×1^3 - 2×(-1)^2×1^2 + 3$
=$-4 - 2 + 3$
=$-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
多项式除以单项式；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考查多项式除以单项式的运算规则，计算时需注意系数的符号、同底数幂的运算规则，代入数值计算时要注意负数乘方的符号问题，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
7.(10分) 培养代数推理能力 黄老师给学生出了一道题:当$x=2025,y=2026$时,求$[2x(x^2y-xy^2)+xy(2xy-x^2)+3x^2y]÷x^2y$的值.题目出完后,晓晨说:“老师给的条件$y=2026$是多余的.”阿静说:“不给这个条件,就不能求出结果,所以不是多余的.”你认为他们谁说的有道理?为什么?
答案
7. 解:晓晨说的有道理.理由如下:原式$=(2x^3y-2x^2y^2+2x^2y^2-x^3y+3x^2y)÷x^2y=(x^3y+3x^2y)÷x^2y=x+3$. $\because$化简后的结果不含$y$,$\therefore$最后的结果与$y$的值无关. $\therefore$条件$y=2\ 026$是多余的. $\therefore$晓晨说的有道理.
解析
【分析】
要判断“y=2026”这个条件是否多余，只需将原式化简，观察化简后的结果是否含有字母y即可。解题思路如下：第一步，依据单项式乘多项式的法则，展开括号内的乘法运算；第二步，合并括号内的同类项，化简括号内的整式；第三步，将化简后的整式除以$x^2y$得到最简结果；最后根据最简结果是否含y，即可判断两人说法的正误。
【解析】
对原式逐步化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2x^3y-2x^2y^2+2x^2y^2-x^3y+3x^2y)÷ x^2y\\&=(x^3y+3x^2y)÷ x^2y\\&=x^3y÷ x^2y + 3x^2y÷ x^2y\\&=x+3\end{aligned}$
化简后的结果为$x+3$，不含字母y，说明原式的取值仅和x的大小有关，与y的取值无关，因此条件$y=2026$是多余的。
【答案】
晓晨说的有道理，因为原式化简后为$x+3$，结果不含$y$，与$y$的取值无关，所以$y=2026$的条件是多余的。
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、整式除法
【点评】
本题核心考查整式的混合运算化简，解题关键是熟练掌握整式运算的各类法则，通过化简原式判断结果与争议字母的关联性，能有效锻炼代数运算能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要判断“y=2026”这个条件是否多余，只需将原式化简，观察化简后的结果是否含有字母y即可。解题思路如下：第一步，依据单项式乘多项式的法则，展开括号内的乘法运算；第二步，合并括号内的同类项，化简括号内的整式；第三步，将化简后的整式除以$x^2y$得到最简结果；最后根据最简结果是否含y，即可判断两人说法的正误。
【解析】
对原式逐步化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2x^3y-2x^2y^2+2x^2y^2-x^3y+3x^2y)÷ x^2y\\&=(x^3y+3x^2y)÷ x^2y\\&=x^3y÷ x^2y + 3x^2y÷ x^2y\\&=x+3\end{aligned}$
化简后的结果为$x+3$，不含字母y，说明原式的取值仅和x的大小有关，与y的取值无关，因此条件$y=2026$是多余的。
【答案】
晓晨说的有道理，因为原式化简后为$x+3$，结果不含$y$，与$y$的取值无关，所以$y=2026$的条件是多余的。
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、整式除法
【点评】
本题核心考查整式的混合运算化简，解题关键是熟练掌握整式运算的各类法则，通过化简原式判断结果与争议字母的关联性，能有效锻炼代数运算能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
