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1.(5分)在直角三角形中,一个锐角的度数是$30°$,则另一个锐角的度数是（
A.$30°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$75°$
B
）A.$30°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$75°$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和相关知识，直角三角形中有一个角是90°的直角，结合三角形内角和为180°，可推出直角三角形的两个锐角之和为90°。已知其中一个锐角的度数，用90°减去已知锐角的度数，就能求出另一个锐角的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和为180°。
直角三角形存在一个度数为90°的直角，因此直角三角形中两个锐角的度数和为：$180° - 90° = 90°$。
已知一个锐角是$30°$，则另一个锐角的度数为：$90° - 30° = 60°$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查对直角三角形内角性质的掌握，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和相关知识，直角三角形中有一个角是90°的直角，结合三角形内角和为180°，可推出直角三角形的两个锐角之和为90°。已知其中一个锐角的度数，用90°减去已知锐角的度数，就能求出另一个锐角的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和为180°。
直角三角形存在一个度数为90°的直角，因此直角三角形中两个锐角的度数和为：$180° - 90° = 90°$。
已知一个锐角是$30°$，则另一个锐角的度数为：$90° - 30° = 60°$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查对直角三角形内角性质的掌握，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.(5分)下列图形是直角三角形的是 (
B
) 答案
2. B
解析
【分析】
要判断哪个图形是直角三角形，需结合三角形内角和定理计算每个三角形的未知角度数，再根据直角三角形有一个内角为90°的特征判断即可。解题步骤：首先回忆三角形内角和为180°，再分别计算四个选项中第三个角的度数，最后筛选出有90°角的三角形。
【解析】
根据三角形内角和等于180°，分别计算各选项的未知内角：
选项A：未知角 = $180° - 60° - 60° = 60°$，为锐角三角形，不符合要求；
选项B：未知角 = $180° - 55.5° - 34.5° = 90°$，有一个角是直角，属于直角三角形，符合要求；
选项C：未知角 = $180° - 30° - 30° = 120°$，为钝角三角形，不符合要求；
选项D：未知角 = $180° - 62.5° - 40° = 77.5°$，为锐角三角形，不符合要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形内角和定理的应用，以及直角三角形的判定规则，计算难度低，掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断哪个图形是直角三角形，需结合三角形内角和定理计算每个三角形的未知角度数，再根据直角三角形有一个内角为90°的特征判断即可。解题步骤：首先回忆三角形内角和为180°，再分别计算四个选项中第三个角的度数，最后筛选出有90°角的三角形。
【解析】
根据三角形内角和等于180°，分别计算各选项的未知内角：
选项A：未知角 = $180° - 60° - 60° = 60°$，为锐角三角形，不符合要求；
选项B：未知角 = $180° - 55.5° - 34.5° = 90°$，有一个角是直角，属于直角三角形，符合要求；
选项C：未知角 = $180° - 30° - 30° = 120°$，为钝角三角形，不符合要求；
选项D：未知角 = $180° - 62.5° - 40° = 77.5°$，为锐角三角形，不符合要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形内角和定理的应用，以及直角三角形的判定规则，计算难度低，掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3.(5分)(西藏中考)如图,已知直线$l_1 // l_2$,$CD ⊥ AB$于点D.若$∠ 1 = 50°$,则$∠ 2$的度数是 (
A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
A
)A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①首先观察到直线$l_1 // l_2$，根据平行线的同位角相等的性质，可先得到$∠ 1$和$∠ ABC$的等量关系，算出$∠ ABC$的度数；②再结合$CD ⊥ AB$的条件，可知$△ CDB$是直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，即可通过$∠ ABC$的度数计算出$∠ 2$的度数。
【解析】
解：
∵ $ l_1 // l_2 $，根据“两直线平行，同位角相等”，
∴ $ ∠ ABC = ∠ 1 = 50° $，
又
∵ $ CD ⊥ AB $，
∴ $ ∠ CDB = 90° $，即$△ CDB$为直角三角形，
根据直角三角形两锐角互余，可得：
$ ∠ ABC + ∠ 2 = 90° $，
∴ $ ∠ 2 = 90° - 50° = 40° $。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质、垂直的定义、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础类几何题，将平行线的角性质与直角三角形的角性质结合考察，只要熟练掌握相关基础性质，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：①首先观察到直线$l_1 // l_2$，根据平行线的同位角相等的性质，可先得到$∠ 1$和$∠ ABC$的等量关系，算出$∠ ABC$的度数；②再结合$CD ⊥ AB$的条件，可知$△ CDB$是直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，即可通过$∠ ABC$的度数计算出$∠ 2$的度数。
【解析】
解：
∵ $ l_1 // l_2 $，根据“两直线平行，同位角相等”，
∴ $ ∠ ABC = ∠ 1 = 50° $，
又
∵ $ CD ⊥ AB $，
∴ $ ∠ CDB = 90° $，即$△ CDB$为直角三角形，
根据直角三角形两锐角互余，可得：
$ ∠ ABC + ∠ 2 = 90° $，
∴ $ ∠ 2 = 90° - 50° = 40° $。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质、垂直的定义、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础类几何题，将平行线的角性质与直角三角形的角性质结合考察，只要熟练掌握相关基础性质，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.8
4.(5分)(教材P14练习T1变式)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,则下列结论不一定成立的是 (
A.∠A与∠1互余
B.∠B与∠2互余
C.∠A=∠2
D.∠1=∠2
(第4题图) (第5题图)
D
)A.∠A与∠1互余
B.∠B与∠2互余
C.∠A=∠2
D.∠1=∠2
(第4题图) (第5题图)
答案
4. D
解析
【分析】
解题时先结合题目给出的直角和垂直条件，得到图中三个直角三角形，再根据直角三角形两锐角互余、同角的余角相等的性质，逐个判断四个选项是否成立，注意题干要求选“不一定成立”的结论。
【解析】
已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，因此∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°。
判断选项A：在Rt△ACD中，∠A + ∠1 = 90°，即∠A与∠1互余，该结论一定成立，不符合题意。
判断选项B：在Rt△BCD中，∠B + ∠2 = 90°，即∠B与∠2互余，该结论一定成立，不符合题意。
判断选项C：由∠A + ∠1 = 90°，∠1 + ∠2 = ∠ACB=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠2，该结论一定成立，不符合题意。
判断选项D：只有当AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形时，才有∠1=∠2，题目未给出△ABC是等腰直角三角形的条件，因此该结论不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形两锐角互余，同角的余角相等，垂直的定义
【点评】
本题是三角形内角相关的基础题，解题时要充分结合图形梳理角的数量关系，注意审题，明确要选的是“不一定成立”的选项，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.8
解题时先结合题目给出的直角和垂直条件，得到图中三个直角三角形，再根据直角三角形两锐角互余、同角的余角相等的性质，逐个判断四个选项是否成立，注意题干要求选“不一定成立”的结论。
【解析】
已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，因此∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°。
判断选项A：在Rt△ACD中，∠A + ∠1 = 90°，即∠A与∠1互余，该结论一定成立，不符合题意。
判断选项B：在Rt△BCD中，∠B + ∠2 = 90°，即∠B与∠2互余，该结论一定成立，不符合题意。
判断选项C：由∠A + ∠1 = 90°，∠1 + ∠2 = ∠ACB=90°，根据同角的余角相等，可得∠A=∠2，该结论一定成立，不符合题意。
判断选项D：只有当AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形时，才有∠1=∠2，题目未给出△ABC是等腰直角三角形的条件，因此该结论不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形两锐角互余，同角的余角相等，垂直的定义
【点评】
本题是三角形内角相关的基础题，解题时要充分结合图形梳理角的数量关系，注意审题，明确要选的是“不一定成立”的选项，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.8
5.(5分)如图，$DA⊥CO$于点A，$CB⊥DO$于点B，则图中与$∠O$相等的角是（
A.$∠BEA$
B.$∠DEB$
C.$∠ECA$
D.$∠ADO$
B
）A.$∠BEA$
B.$∠DEB$
C.$∠ECA$
D.$∠ADO$
答案
5. B
解析
【分析】
首先从已知的两个垂直条件入手，可得到两个直角，结合直角三角形两锐角互余的性质，找到与∠O同余的角，再通过“同角的余角相等”即可判断出与∠O相等的角。第一步：由DA⊥CO，可知△OAD是直角三角形，因此∠O和∠D互余；第二步：由CB⊥DO，可知△DEB是直角三角形，因此∠DEB和∠D互余；第三步：∠O和∠DEB都是∠D的余角，根据同角的余角相等即可得出二者相等，对应选项即可。
【解析】
解：
∵DA⊥CO于A，CB⊥DO于B
∴∠OAD=∠EBD=90°
在Rt△OAD中，∠O + ∠D = 90°
在Rt△EBD中，∠DEB + ∠D = 90°
根据同角的余角相等，可得∠O = ∠DEB
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
垂直的定义；直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是结合垂直条件找到互余的角，利用余角的性质即可快速求解，也可通过四边形内角和、邻补角性质推导，方法不唯一。
【难度系数】
0.8
首先从已知的两个垂直条件入手，可得到两个直角，结合直角三角形两锐角互余的性质，找到与∠O同余的角，再通过“同角的余角相等”即可判断出与∠O相等的角。第一步：由DA⊥CO，可知△OAD是直角三角形，因此∠O和∠D互余；第二步：由CB⊥DO，可知△DEB是直角三角形，因此∠DEB和∠D互余；第三步：∠O和∠DEB都是∠D的余角，根据同角的余角相等即可得出二者相等，对应选项即可。
【解析】
解：
∵DA⊥CO于A，CB⊥DO于B
∴∠OAD=∠EBD=90°
在Rt△OAD中，∠O + ∠D = 90°
在Rt△EBD中，∠DEB + ∠D = 90°
根据同角的余角相等，可得∠O = ∠DEB
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
垂直的定义；直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是结合垂直条件找到互余的角，利用余角的性质即可快速求解，也可通过四边形内角和、邻补角性质推导，方法不唯一。
【难度系数】
0.8
6.(5分) 学科融合·跨物理 一只杯子在斜面上保持静止状态，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F₁的方向与斜面垂直，摩擦力F₂的方向与斜面平行。若斜面的坡角α＝30°，则摩擦力F₂与重力G方向的夹角β的度数为
120°
。答案
6. 120°
解析
【分析】
要计算摩擦力F₂与重力G方向的夹角β，首先明确各方向的位置关系：斜面坡角α是斜面与水平面的夹角，大小为30°；重力G竖直向下，与水平面夹角为90°；摩擦力F₂沿斜面向上，与水平面的夹角等于坡角α。我们可以以水平线为中间参考，直接计算两个方向的总夹角即可得到β的度数。
【解析】
已知斜面的坡角α=30°，即斜面与水平面的夹角为30°，
因为摩擦力F₂沿斜面向上，因此F₂与水平面向上的夹角等于α，为30°，
又因为重力G竖直向下，与水平面向下的夹角为90°，
所以F₂与G的夹角β = 30° + 90° = 120°。
【答案】
120°
【知识点】
直角三角形内角性质，角度运算
【点评】
本题结合物理受力分析的情境考查角度计算，解题的关键是理清各力方向与已知坡角的位置关系，找准参考线就能快速求出夹角。
【难度系数】
0.7
要计算摩擦力F₂与重力G方向的夹角β，首先明确各方向的位置关系：斜面坡角α是斜面与水平面的夹角，大小为30°；重力G竖直向下，与水平面夹角为90°；摩擦力F₂沿斜面向上，与水平面的夹角等于坡角α。我们可以以水平线为中间参考，直接计算两个方向的总夹角即可得到β的度数。
【解析】
已知斜面的坡角α=30°，即斜面与水平面的夹角为30°，
因为摩擦力F₂沿斜面向上，因此F₂与水平面向上的夹角等于α，为30°，
又因为重力G竖直向下，与水平面向下的夹角为90°，
所以F₂与G的夹角β = 30° + 90° = 120°。
【答案】
120°
【知识点】
直角三角形内角性质，角度运算
【点评】
本题结合物理受力分析的情境考查角度计算，解题的关键是理清各力方向与已知坡角的位置关系，找准参考线就能快速求出夹角。
【难度系数】
0.7
7.(5分) 注重分类讨论思想 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=40°,∠ C=30°,P$是边AC上的动点.当$△ BCP$是直角三角形时,$∠ ABP$的度数是
50°或 20°
.答案
7. 50°或 20°
解析
【分析】
首先根据三角形内角和定理先求出△ABC中∠ABC的度数，由于△BCP为直角三角形时直角顶点不确定，因此需要分两种情况讨论：①直角顶点为P，即∠BPC=90°；②直角顶点为B，即∠PBC=90°，分别计算两种情况下∠ABP的度数即可。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 40° - 30° = 110°$
分两种情况讨论△BCP为直角三角形的情况：
1. 当$∠ BPC = 90°$时：
在Rt△BPC中，$∠ PBC = 180° - 90° - ∠ C = 90° - 30° = 60°$
则$∠ ABP = ∠ ABC - ∠ PBC = 110° - 60° = 50°$
2. 当$∠ PBC = 90°$时：
$∠ ABP = ∠ ABC - ∠ PBC = 110° - 90° = 20°$
综上，$∠ ABP$的度数为$50°$或$20°$。
【答案】
$50°$或$20°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查三角形内角和的灵活应用，解题时需注意直角三角形未明确直角顶点时要分类讨论，避免因考虑不全面出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
首先根据三角形内角和定理先求出△ABC中∠ABC的度数，由于△BCP为直角三角形时直角顶点不确定，因此需要分两种情况讨论：①直角顶点为P，即∠BPC=90°；②直角顶点为B，即∠PBC=90°，分别计算两种情况下∠ABP的度数即可。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ABC = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 40° - 30° = 110°$
分两种情况讨论△BCP为直角三角形的情况：
1. 当$∠ BPC = 90°$时：
在Rt△BPC中，$∠ PBC = 180° - 90° - ∠ C = 90° - 30° = 60°$
则$∠ ABP = ∠ ABC - ∠ PBC = 110° - 60° = 50°$
2. 当$∠ PBC = 90°$时：
$∠ ABP = ∠ ABC - ∠ PBC = 110° - 90° = 20°$
综上，$∠ ABP$的度数为$50°$或$20°$。
【答案】
$50°$或$20°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查三角形内角和的灵活应用，解题时需注意直角三角形未明确直角顶点时要分类讨论，避免因考虑不全面出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
8.（7分）如图，AB，ED分别垂直于BD于点B，D，点C在BD上，且$∠ ACB=∠ CED$.求证：$△ ACE$是直角三角形. 
答案
8. 证明: $\because ED ⊥ BD, \therefore ∠ CDE = 90°. \therefore ∠ CED + ∠ DCE=90°. \because ∠ ACB=∠ CED, \therefore ∠ ACB+∠ DCE=90°. \therefore ∠ ACE = 180°-(∠ ACB+∠ DCE)=90°. \therefore △ ACE$是直角三角形.
解析
【分析】
要证明△ACE是直角三角形，核心是证明该三角形存在90°的内角，观察图形可优先推导∠ACE=90°。首先，点C在BD上，B、C、D三点共线构成平角，因此∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°，只要推出∠ACB+∠DCE=90°，即可得到∠ACE=90°。结合已知ED⊥BD，可得△CDE是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可知∠CED+∠DCE=90°，再结合题目给出的∠ACB=∠CED，通过等量代换就能得到∠ACB+∠DCE=90°，进而完成证明。
【解析】
证明: $\because ED ⊥ BD, \therefore ∠ CDE = 90°$，
$\therefore ∠ CED + ∠ DCE=90°$。
$\because ∠ ACB=∠ CED$，
$\therefore ∠ ACB+∠ DCE=90°$，
$\therefore ∠ ACE = 180°-(∠ ACB+∠ DCE)=90°$，
$\therefore △ ACE$是直角三角形。
【答案】
证明: $\because ED ⊥ BD, \therefore ∠ CDE = 90°. \therefore ∠ CED + ∠ DCE=90°. \because ∠ ACB=∠ CED, \therefore ∠ ACB+∠ DCE=90°. \therefore ∠ ACE = 180°-(∠ ACB+∠ DCE)=90°. \therefore △ ACE$是直角三角形.
【知识点】
垂直的定义，直角三角形两锐角互余，平角的定义
【点评】
本题是三角形内角相关的基础证明题，解题关键是结合已知条件通过角的等量代换推导待证角的度数，既考察了直角三角形的内角特征，也能锻炼几何逻辑推导能力，是几何入门阶段的典型题型。
【难度系数】
0.8
要证明△ACE是直角三角形，核心是证明该三角形存在90°的内角，观察图形可优先推导∠ACE=90°。首先，点C在BD上，B、C、D三点共线构成平角，因此∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°，只要推出∠ACB+∠DCE=90°，即可得到∠ACE=90°。结合已知ED⊥BD，可得△CDE是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，可知∠CED+∠DCE=90°，再结合题目给出的∠ACB=∠CED，通过等量代换就能得到∠ACB+∠DCE=90°，进而完成证明。
【解析】
证明: $\because ED ⊥ BD, \therefore ∠ CDE = 90°$，
$\therefore ∠ CED + ∠ DCE=90°$。
$\because ∠ ACB=∠ CED$，
$\therefore ∠ ACB+∠ DCE=90°$，
$\therefore ∠ ACE = 180°-(∠ ACB+∠ DCE)=90°$，
$\therefore △ ACE$是直角三角形。
【答案】
证明: $\because ED ⊥ BD, \therefore ∠ CDE = 90°. \therefore ∠ CED + ∠ DCE=90°. \because ∠ ACB=∠ CED, \therefore ∠ ACB+∠ DCE=90°. \therefore ∠ ACE = 180°-(∠ ACB+∠ DCE)=90°. \therefore △ ACE$是直角三角形.
【知识点】
垂直的定义，直角三角形两锐角互余，平角的定义
【点评】
本题是三角形内角相关的基础证明题，解题关键是结合已知条件通过角的等量代换推导待证角的度数，既考察了直角三角形的内角特征，也能锻炼几何逻辑推导能力，是几何入门阶段的典型题型。
【难度系数】
0.8
9.(8分)(鄂尔多斯伊金霍洛旗期中)如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,AE是∠BAC的平分线,∠EAD=10°,∠C=60°,求∠BAC的度数.
答案
解:$\because AD$是$BC$边上的高,$\therefore ∠ ADC=90°.\therefore ∠ DAC=90° - ∠ C = 30°. \because ∠ EAD = 10°, \therefore ∠ EAC = ∠ EAD + ∠ DAC=40°. \because AE$是$∠ BAC$的平分线,$\therefore ∠ BAC=2∠ EAC=80°.$
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：首先AD是BC边上的高，可得到直角，结合已知的∠C的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠DAC的度数；再结合给出的∠EAD的度数，求和得到∠EAC的度数；最后根据AE是∠BAC的平分线，由角平分线的性质即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：$\because AD$是$BC$边上的高，
$\therefore ∠ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ DAC=90° - ∠C = 90°-60°=30°$，
$\because ∠EAD = 10°$，
$\therefore ∠EAC = ∠EAD + ∠DAC=10°+30°=40°$，
又$\because AE$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ BAC=2∠ EAC=2×40°=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形高的定义；直角三角形两锐角互余；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的基础常考题，解题核心是梳理清楚已知角和未知角的关系，灵活运用三角形高、角平分线的性质逐步推导，计算难度较低，侧重对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件出发：首先AD是BC边上的高，可得到直角，结合已知的∠C的度数，利用直角三角形两锐角互余求出∠DAC的度数；再结合给出的∠EAD的度数，求和得到∠EAC的度数；最后根据AE是∠BAC的平分线，由角平分线的性质即可求出∠BAC的度数。
【解析】
解：$\because AD$是$BC$边上的高，
$\therefore ∠ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ DAC=90° - ∠C = 90°-60°=30°$，
$\because ∠EAD = 10°$，
$\therefore ∠EAC = ∠EAD + ∠DAC=10°+30°=40°$，
又$\because AE$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ BAC=2∠ EAC=2×40°=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形高的定义；直角三角形两锐角互余；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的基础常考题，解题核心是梳理清楚已知角和未知角的关系，灵活运用三角形高、角平分线的性质逐步推导，计算难度较低，侧重对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
