12 某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销，该文具店购进5本A款纪念册和4本B款纪念册共需156元；购进3本A款纪念册和5本B款纪念册共需130元.在销售中发现:当A款纪念册的售价为32元/本时,每天的销售量为40本,每本的售价每降低1元可多售出2本;当B款纪念册的售价为22元/本时,每天的销售量为80本,B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系,其部分对应值如下表:

(1) 求A,B两款纪念册的进价.
(2) 该文具店准备降低每本A款纪念册的利润,同时提高每本B款纪念册的利润,且这两款纪念册每天的销售总量(120本)不变,设每本A款纪念册降价m元.
① 求出B款纪念册每天的销售量(用含m的代数式表示).
② 当A款纪念册的售价为多少时,该文具店每天所获得的利润最大?最大利润为多少?

(1) 设A款纪念册的进价为$a$元/本，B款纪念册的进价为$b$元/本。由题意，得$\begin{cases}5a+4b=156,\\3a+5b=130,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=20,\\b=14.\end{cases}$所以A款纪念册的进价为20元/本，B款纪念册的进价为14元/本
(2) ① 由题意，得每本A款纪念册降价$m$元，则A款纪念册每天的销售量为$(40+2m)$本，售价为$(32-m)$元/本，每本的利润为$32-m-20=(12-m)$元。因为这两款纪念册每天的销售总量(120本)不变，所以易得B款纪念册每天的销售量为$(80-2m)$本
② 设B款纪念册每天的销售量$y$(本)与售价$x$(元/本)之间的函数表达式为$y=kx+n(k≠0)$。由题意，得$\begin{cases}22k+n=80,\\23k+n=78,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\n=124.\end{cases}$所以$y=-2x+124$。由①，得B款纪念册每天的销售量为$(80-2m)$本，则$80-2m=-2x+124$，即$x=22+m$。所以B款纪念册每本的利润为$22+m-14=(8+m)$元。设该文具店每天所获得的利润为$w$元。由题意，得$w=(40+2m)(12-m)+(80-2m)(8+m)=-4m^2+48m+1120=-4(m-6)^2+1264$。因为$-4＜0$，所以当$m=6$时，$w$有最大值，为1264，此时A款纪念册的售价为$32-6=26$(元/本)。所以当A款纪念册的售价为26元/本时，该文具店每天所获得的利润最大，最大利润为1264元

13 [2026 杭州滨江段测]已知二次函数 $y = ax^2 + bx + 1(a≠0,b$ 是实数). 函数值 $y$ 和自变量 $x$ 的部分对应取值如下表：
（1）若$m=4$，
① 求二次函数的表达式；
② 若此函数的图象上有两点$M(x_1,2025)$，$N(x_2,2025)$，求当$x=x_1+x_2$时对应的函数值.
（2）若在$m,n,p$这三个实数中只有一个是正数，判断二次函数图象开口的方向.

(1) ① 由题意，得$\begin{cases}a-b+1=4,\\4a+2b+1=1,\end{cases}$所以$\begin{cases}a=1,\\b=-2.\end{cases}$所以二次函数的表达式为$y=x^2-2x+1$
② 由表，可得当$x=0$和$x=2$时的函数值都是1，所以二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$。因为图象过点$M(x_1,2025)$，$N(x_2,2025)$，所以根据二次函数图象的对称性，可得$x_1+x_2=2×1$。所以当$x=2$时，由表格，得$y=1$
(2) 由题意，因为当$x=0$和$x=2$时的函数值都是1，所以对称轴为直线$x=1$。所以$(1,n)$是顶点。所以点$(-1,m)$和点$(3,p)$关于对称轴对称，则$m=p$。因为在$m,n,p$这三个实数中，只有一个是正数，所以只可能$n$是正数。通过画草图(图略)可知，该二次函数图象的开口向下