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5.已知$3a-7b=-3$,求式子$2(2a+b-1)+5(a-4b)-3b$的值.
答案
解:原式$=4a+2b-2+5a-20b-3b=9a-21b-2=3(3a-7b)-2$.当$3a-7b=-3$时,原式$=-9-2=-11$.
解析
【分析】
本题已知含a、b的代数式$3a-7b$的值，要求另一个整式的值，无需分别求出a、b的具体值。解题思路为：先对所求整式进行化简，第一步去括号，第二步合并同类项，再将化简后的式子变形为含有$3a-7b$的形式，最后把已知条件整体代入计算即可得到结果。
【解析】
先对原式去括号：
$原式=4a+2b-2+5a-20b-3b$
合并同类项得：
$原式=9a-21b-2$
逆用乘法分配律提取公因式3，变形为含已知式的形式：
$原式=3(3a-7b)-2$
将$3a-7b=-3$代入上式计算：
$原式=3×(-3)-2=-9-2=-11$
【答案】
$-11$
【知识点】
整式化简求值；去括号法则；整体代入求值
【点评】
本题属于整式求值的基础题型，核心解题技巧是整体代入思想的运用，先化简所求式子再代入可有效降低计算量，避免单独求解a、b的复杂运算。
【难度系数】
0.85
本题已知含a、b的代数式$3a-7b$的值，要求另一个整式的值，无需分别求出a、b的具体值。解题思路为：先对所求整式进行化简，第一步去括号，第二步合并同类项，再将化简后的式子变形为含有$3a-7b$的形式，最后把已知条件整体代入计算即可得到结果。
【解析】
先对原式去括号：
$原式=4a+2b-2+5a-20b-3b$
合并同类项得：
$原式=9a-21b-2$
逆用乘法分配律提取公因式3，变形为含已知式的形式：
$原式=3(3a-7b)-2$
将$3a-7b=-3$代入上式计算：
$原式=3×(-3)-2=-9-2=-11$
【答案】
$-11$
【知识点】
整式化简求值；去括号法则；整体代入求值
【点评】
本题属于整式求值的基础题型，核心解题技巧是整体代入思想的运用，先化简所求式子再代入可有效降低计算量，避免单独求解a、b的复杂运算。
【难度系数】
0.85
6.求式子$3a^2 - 3ab + 2b^2 - 2(a^2 - ab + 2b^2)$的值，其中$a^2 + ab = 3$，$b^2 + ab = 2.$
答案
解:原式$=3a^2-3ab+2b^2-2a^2+2ab-4b^2=a^2-ab-2b^2$.当$a^2+ab=3,b^2+ab=2$时,原式$=a^2+ab-2(b^2+ab)=3-4=-1$.
解析
【分析】
解决这道题首先要遵循整式化简求值的常规步骤：第一步先对原式进行去括号、合并同类项，得到最简整式；第二步观察已知条件给出的是两个含a、b的整式的值，不需要单独求出a、b的具体数值，只需将化简后的整式变形为能用已知的两个整体式子表示的形式，最后代入整体数值计算即可。
【解析】
解：先对原式去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号，且系数要乘遍括号内每一项：
原式$=3a^2-3ab+2b^2-2a^2+2ab-4b^2$
合并同类项：
$=(3a^2-2a^2)+(-3ab+2ab)+(2b^2-4b^2)$
$=a^2 - ab - 2b^2$
观察已知条件$a^2 + ab = 3$，$b^2 + ab = 2$，将化简后的式子变形为含已知整体的形式：
$a^2 - ab - 2b^2 = (a^2 + ab) - 2(b^2 + ab)$
将已知数值代入：
原式$=3 - 2×2 = 3 - 4 = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
整式的加减运算，整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，重点考查去括号的符号规则、合并同类项的方法，以及整体代入思想的运用，无需单独求解未知数的值，通过变形将待求式转化为已知整式的组合形式，可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要遵循整式化简求值的常规步骤：第一步先对原式进行去括号、合并同类项，得到最简整式；第二步观察已知条件给出的是两个含a、b的整式的值，不需要单独求出a、b的具体数值，只需将化简后的整式变形为能用已知的两个整体式子表示的形式，最后代入整体数值计算即可。
【解析】
解：先对原式去括号，注意括号前是负号时括号内各项要变号，且系数要乘遍括号内每一项：
原式$=3a^2-3ab+2b^2-2a^2+2ab-4b^2$
合并同类项：
$=(3a^2-2a^2)+(-3ab+2ab)+(2b^2-4b^2)$
$=a^2 - ab - 2b^2$
观察已知条件$a^2 + ab = 3$，$b^2 + ab = 2$，将化简后的式子变形为含已知整体的形式：
$a^2 - ab - 2b^2 = (a^2 + ab) - 2(b^2 + ab)$
将已知数值代入：
原式$=3 - 2×2 = 3 - 4 = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
整式的加减运算，整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，重点考查去括号的符号规则、合并同类项的方法，以及整体代入思想的运用，无需单独求解未知数的值，通过变形将待求式转化为已知整式的组合形式，可简化计算过程。
【难度系数】
0.8
7.已知当$x=2,y=-4$时，式子$ax^3+\frac{1}{2}by+5=7$，求当$x=-4,y=-\frac{1}{2}$时，式子$3ax-24by^3+2026$的值。
答案
解:将$x=2,y=-4$代入$ax^3+\frac{1}{2}by+5=7$,得$8a-2b+5=7$,即$4a-b=1$.当$x=-4,y=-\frac{1}{2}$时,$3ax-24by^3+2026=-12a+3b+2026=-3(4a-b)+2026=-3+2026=2023$.
解析
【分析】
解题时先利用已知的x、y取值代入第一个等式，整理得到a与b的数量关系；再将要求值的代数式中对应的x、y代入，对式子变形后凑出含有刚才得到的a、b数量关系的形式，最后用整体代入法计算即可，无需单独求出a、b的具体值。
【解析】
首先把$x=2,y=-4$代入$ax^3+\frac{1}{2}by+5=7$中，可得：
$a×2^3+\frac{1}{2}b×(-4)+5=7$
计算得$8a - 2b +5=7$，移项化简后得到$4a - b = 1$。
再将$x=-4,y=-\frac{1}{2}$代入式子$3ax-24by^3+2026$中：
先计算各项：$3a×(-4)=-12a$，$y^3=(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}$，所以$-24b× y^3=-24b×(-\frac{1}{8})=3b$。
因此原式可化为：$-12a + 3b + 2026$。
提取公因式$-3$，可得：$-3(4a - b) + 2026$。
将$4a - b = 1$整体代入，得：$-3×1 + 2026 = 2023$。
【答案】
2023
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；整式运算
【点评】
本题是整式化简求值的典型题型，解题关键是掌握整体代入的思想，无需单独求解a、b的具体值，通过对所求代数式变形后整体代入已知的数量关系即可简化计算，能很好地考查对代数式变形和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先利用已知的x、y取值代入第一个等式，整理得到a与b的数量关系；再将要求值的代数式中对应的x、y代入，对式子变形后凑出含有刚才得到的a、b数量关系的形式，最后用整体代入法计算即可，无需单独求出a、b的具体值。
【解析】
首先把$x=2,y=-4$代入$ax^3+\frac{1}{2}by+5=7$中，可得：
$a×2^3+\frac{1}{2}b×(-4)+5=7$
计算得$8a - 2b +5=7$，移项化简后得到$4a - b = 1$。
再将$x=-4,y=-\frac{1}{2}$代入式子$3ax-24by^3+2026$中：
先计算各项：$3a×(-4)=-12a$，$y^3=(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}$，所以$-24b× y^3=-24b×(-\frac{1}{8})=3b$。
因此原式可化为：$-12a + 3b + 2026$。
提取公因式$-3$，可得：$-3(4a - b) + 2026$。
将$4a - b = 1$整体代入，得：$-3×1 + 2026 = 2023$。
【答案】
2023
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；整式运算
【点评】
本题是整式化简求值的典型题型，解题关键是掌握整体代入的思想，无需单独求解a、b的具体值，通过对所求代数式变形后整体代入已知的数量关系即可简化计算，能很好地考查对代数式变形和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
8.若多项式$(2mx^2 - x^2 + 3x + 1) - (5x^2 - 4y^2 + 3x)$的值与$x$的值无关，求$2m^3 - [3m^2 + (4m - 5) + m]$的值。
答案
解:$(2mx^2-x^2+3x+1)-(5x^2-4y^2+3x)=2mx^2-x^2+3x+1-5x^2+4y^2-3x=(2m-6)x^2+1+4y^2$.$\because$多项式$(2mx^2-x^2+3x+1)-(5x^2-4y^2+3x)$的值与$x$的值无关,$\therefore 2m-6=0$,解得$m=3$,$2m^3-[3m^2+(4m-5)+m]=2m^3-3m^2-4m+5-m=2m^3-3m^2-5m+5$.把$m=3$代入,得原式$=2×3^3-3×3^2-5×3+5=17$.
解析
【分析】
解题分两步进行：①先化简已知条件中的多项式，合并同类项后，因为多项式的值与x无关，说明所有含x的项的系数都为0，据此列方程即可求出m的值；②再化简要求值的整式，去括号、合并同类项后，将求得的m代入计算即可得到最终结果。
【解析】
首先化简已知条件中的多项式：
$\begin{aligned}&(2mx^2 - x^2 + 3x + 1) - (5x^2 - 4y^2 + 3x)\\=&2mx^2 - x^2 + 3x + 1 - 5x^2 + 4y^2 - 3x\\=&(2m-6)x^2 + 4y^2 + 1\end{aligned}$
∵多项式的值与x的值无关，
∴含x的项的系数为0，即：
$2m-6=0$，解得$m=3$。
接下来化简待求值的整式：
$\begin{aligned}&2m^3 - [3m^2 + (4m - 5) + m]\\=&2m^3 - 3m^2 - 4m + 5 - m\\=&2m^3 - 3m^2 -5m +5\end{aligned}$
将$m=3$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=2×3^3 -3×3^2 -5×3 +5\\&=54 -27 -15 +5\\&=17\end{aligned}$
【答案】
17
【知识点】
整式的加减运算，多项式与字母无关的条件，代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础常考题，解题核心是理解“多项式的值与某字母无关”的含义，即该多项式中所有含这个字母的项的系数均为0，先求出参数值再代入计算即可，解题时要注意去括号时符号的变化。
【难度系数】
0.7
解题分两步进行：①先化简已知条件中的多项式，合并同类项后，因为多项式的值与x无关，说明所有含x的项的系数都为0，据此列方程即可求出m的值；②再化简要求值的整式，去括号、合并同类项后，将求得的m代入计算即可得到最终结果。
【解析】
首先化简已知条件中的多项式：
$\begin{aligned}&(2mx^2 - x^2 + 3x + 1) - (5x^2 - 4y^2 + 3x)\\=&2mx^2 - x^2 + 3x + 1 - 5x^2 + 4y^2 - 3x\\=&(2m-6)x^2 + 4y^2 + 1\end{aligned}$
∵多项式的值与x的值无关，
∴含x的项的系数为0，即：
$2m-6=0$，解得$m=3$。
接下来化简待求值的整式：
$\begin{aligned}&2m^3 - [3m^2 + (4m - 5) + m]\\=&2m^3 - 3m^2 - 4m + 5 - m\\=&2m^3 - 3m^2 -5m +5\end{aligned}$
将$m=3$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=2×3^3 -3×3^2 -5×3 +5\\&=54 -27 -15 +5\\&=17\end{aligned}$
【答案】
17
【知识点】
整式的加减运算，多项式与字母无关的条件，代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础常考题，解题核心是理解“多项式的值与某字母无关”的含义，即该多项式中所有含这个字母的项的系数均为0，先求出参数值再代入计算即可，解题时要注意去括号时符号的变化。
【难度系数】
0.7
9.已知多项式$(x^2 + mx - \frac{1}{2}y + 3) - (3x - 2y + 1 - nx^2)$的值与$x$的取值无关.
(1)求$m,n$的值；
(2)先化简多项式$4(m^2 + mn - n^2) - (4m^2 + 2mn - n^2)$，再求其值.
(1)求$m,n$的值；
(2)先化简多项式$4(m^2 + mn - n^2) - (4m^2 + 2mn - n^2)$，再求其值.
答案
(1)解:$(x^2+mx-\frac{1}{2}y+3)-(3x-2y+1-nx^2)=x^2+mx-\frac{1}{2}y+3-3x+2y-1+nx^2=(1+n)x^2+(m-3)x+\frac{3}{2}y+2$.$\because$多项式的值与$x$的取值无关,$\therefore 1+n=0,m-3=0$,解得$n=-1,m=3$.
(2)$4(m^2+mn-n^2)-(4m^2+2mn-n^2)=4m^2+4mn-4n^2-4m^2-2mn+n^2=2mn-3n^2$.当$m=3,n=-1$时,原式$=2×3×(-1)-3×(-1)^2=-6-3=-9$.
(2)$4(m^2+mn-n^2)-(4m^2+2mn-n^2)=4m^2+4mn-4n^2-4m^2-2mn+n^2=2mn-3n^2$.当$m=3,n=-1$时,原式$=2×3×(-1)-3×(-1)^2=-6-3=-9$.
解析
【分析】
(1) 解题时首先对给出的多项式去括号、合并同类项整理成最简形式。若多项式的值与x的取值无关，说明所有含x的项的系数都为0，据此列关于m、n的方程即可求解。
(2) 先按照去括号、合并同类项的步骤化简目标多项式，再将第(1)问求出的m、n的值代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
(1) 先化简给定的多项式：
$\begin{aligned}&(x^2+mx-\frac{1}{2}y+3)-(3x-2y+1-nx^2)\\=&x^2+mx-\frac{1}{2}y+3-3x+2y-1+nx^2\\=&(1+n)x^2+(m-3)x+\frac{3}{2}y+2\end{aligned}$
∵多项式的值与x的取值无关，
∴含x的项的系数均为0，即：
$1+n=0$，$m-3=0$
解得$n=-1$，$m=3$。
(2) 先化简多项式：
$\begin{aligned}&4(m^2+mn-n^2)-(4m^2+2mn-n^2)\\=&4m^2+4mn-4n^2-4m^2-2mn+n^2\\=&2mn-3n^2\end{aligned}$
将$m=3$，$n=-1$代入上式：
原式$=2×3×(-1)-3×(-1)^2=-6-3=-9$
【答案】
(1) $m=3$，$n=-1$；
(2) 化简结果为$2mn-3n^2$，值为$-9$。
【知识点】
整式的加减、化简求值、无关项性质
【点评】
本题考查整式加减中的去括号、合并同类项法则，以及多项式值与某字母无关时对应项系数为0的性质，属于整式模块的基础常考题型，熟练掌握整式运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
(1) 解题时首先对给出的多项式去括号、合并同类项整理成最简形式。若多项式的值与x的取值无关，说明所有含x的项的系数都为0，据此列关于m、n的方程即可求解。
(2) 先按照去括号、合并同类项的步骤化简目标多项式，再将第(1)问求出的m、n的值代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
(1) 先化简给定的多项式：
$\begin{aligned}&(x^2+mx-\frac{1}{2}y+3)-(3x-2y+1-nx^2)\\=&x^2+mx-\frac{1}{2}y+3-3x+2y-1+nx^2\\=&(1+n)x^2+(m-3)x+\frac{3}{2}y+2\end{aligned}$
∵多项式的值与x的取值无关，
∴含x的项的系数均为0，即：
$1+n=0$，$m-3=0$
解得$n=-1$，$m=3$。
(2) 先化简多项式：
$\begin{aligned}&4(m^2+mn-n^2)-(4m^2+2mn-n^2)\\=&4m^2+4mn-4n^2-4m^2-2mn+n^2\\=&2mn-3n^2\end{aligned}$
将$m=3$，$n=-1$代入上式：
原式$=2×3×(-1)-3×(-1)^2=-6-3=-9$
【答案】
(1) $m=3$，$n=-1$；
(2) 化简结果为$2mn-3n^2$，值为$-9$。
【知识点】
整式的加减、化简求值、无关项性质
【点评】
本题考查整式加减中的去括号、合并同类项法则，以及多项式值与某字母无关时对应项系数为0的性质，属于整式模块的基础常考题型，熟练掌握整式运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.8
