1. 如图,在$△ ABC$中,$CD$是$∠ ACB$的平分线,$BE ⊥ CD$,垂足为点$E$.
(1)若$∠ CBE - ∠ DBE = 40°$,求$∠ BAC$的度数;
(2)连结$AE$,若$△ ABC$的面积为$6$,求$△ AEC$的面积.

(1)延长 BE 交 AC 于点 F,
∵ CD 平分∠ACB,
∴ ∠FCE = ∠BCE.
∵ BE ⊥ CD,
∴ ∠BEC = ∠FEC = 90°.
∵ CE = CE,
∴ △BCE≌△FCE(ASA),
∴ ∠CBE = ∠CFE.
∵ ∠CFE = ∠DBE+∠BAC,
∴ ∠CBE = ∠DBE + ∠BAC.
∵ ∠CBE - ∠DBE = 40°,
∴ ∠BAC=40°.
(2)由(1)可得△BCE≌△FCE,
∴ BE = EF,
∴ $S_{△BEC} = S_{△FCE}$,$S_{△ABE} = S_{△AEF}$.
∵ $S_{△BEC} + S_{△FCE} + S_{△ABE} + S_{△AEF} = S_{△ABC} = 6$,
∴ $S_{△AEC} = S_{△AEF} + S_{△FCE} = \frac{1}{2}S_{△ABC} = 3$.

2. 如图，$AB// CD$，$CM$平分$∠ BCD$，$BM⊥ CM$，连结$BC$.
(1)求证:$M$是$AD$的中点；
(2)探究$BC$,$CD$,$AB$之间的数量关系.

(1)延长 BM 交 CD 于点 N,
∵ CM 平分∠BCD,
∴ ∠BCM = ∠DCM.
∵ CM ⊥ BM,
∴ ∠BMC = ∠NMC.又
∵ CM=CM,
∴ △BMC ≌ △NMC(ASA),
∴ BM=MN.
∵ AB//CD,
∴ ∠A=∠D, ∠ABM = ∠DNM,
∴ △ABM ≌ △DNM(AAS),
∴ AM=MD,
∴ M 是 AD 的中点.
(2)$BC = CD-AB$,理由:由(1)知△ABM≌△DNM,△BMC≌△NMC,
∴ AB=DN,BC=CN,
∴ BC=CN=CD-DN=CD-AB.

3. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=90°$,$BE$是$△ ABC$的角平分线,$CD ⊥ BE$交$BE$的延长线于点$D$.求证:$BE=2CD$.

延长 BA 和 CD 交于 Q.
∵ ∠CAQ=∠BAE = ∠BDC = 90°,
∴ ∠ACQ + ∠Q = 90°,∠ABE+∠Q=90°,
∴ ∠ACQ = ∠ABE.
在△ABE 和 △ACQ 中, $\begin{cases}∠ABE=∠ACQ,\\AB=AC,\\∠BAE=∠CAQ,\end{cases}$
∴ △ABE≌△ACQ(ASA),
∴ BE=CQ.
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠QBD=∠CBD.
∵ ∠BDC = 90°,
∴ ∠BDC = ∠BDQ = 90°.在△QDB 和 △CDB 中,
$\begin{cases}∠QBD=∠CBD,\\BD=BD,\\∠BDQ=∠BDC,\end{cases}$
∴ △QDB≌△CDB(ASA),
∴ CD=DQ,
∴ BE=CQ=2CD.