登录
【例2】观察下列每组数，在横线上填上适当的数.
(1)1,9,25,49，，；
(2)$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{9}$，$\frac{4}{27}$，，；
(3)4，-16，64，，；
(4)2，8，26，，.
(1)1,9,25,49，，；
(2)$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{9}$，$\frac{4}{27}$，，；
(3)4，-16，64，，；
(4)2，8，26，，.
答案
(1) $\boldsymbol{81}$，$\boldsymbol{121}$
(2) $\boldsymbol{\frac{5}{81}}$，$\boldsymbol{\frac{6}{243}}$
(3) $\boldsymbol{-256}$，$\boldsymbol{1024}$
(4) $\boldsymbol{80}$，$\boldsymbol{242}$
(2) $\boldsymbol{\frac{5}{81}}$，$\boldsymbol{\frac{6}{243}}$
(3) $\boldsymbol{-256}$，$\boldsymbol{1024}$
(4) $\boldsymbol{80}$，$\boldsymbol{242}$
解析
【分析】
解决数字找规律题，通常从数字的构成、符号、和常见幂次/平方数列的关联入手分析：
(1) 给出的数都是连续奇数的平方，对应1、3、5、7……的平方，按此规律推导后续数值即可；
(2) 分数数列分开看分子、分母的规律：分子依次递增1，分母是3的连续正整数次幂，分别推导即可；
(3) 先看绝对值都是4的连续正整数次幂，符号正负交替，按规律计算后续数字即可；
(4) 观察可得每个数都等于3的对应次幂减1，按此规律计算后续数值即可。
【解析】
(1) 数列各项可改写为：$1=1^2$，$9=3^2$，$25=5^2$，$49=7^2$，是连续奇数的平方，后续两个奇数为9、11，因此对应数值为$9^2=81$，$11^2=121$；
(2) 分子依次为2、3、4，每次加1，后续两个分子为5、6；分母依次为$3^1=3$、$3^2=9$、$3^3=27$，后续两个分母为$3^4=81$、$3^5=243$，因此两个数分别为$\frac{5}{81}$、$\frac{6}{243}$；
(3) 数列绝对值依次为$4^1=4$、$4^2=16$、$4^3=64$，符号为正、负交替，因此第4个数为$-4^4=-256$，第5个数为$4^5=1024$；
(4) 数列各项可改写为：$2=3^1-1$，$8=3^2-1$，$26=3^3-1$，因此第4个数为$3^4-1=81-1=80$，第5个数为$3^5-1=243-1=242$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{81}$，$\boldsymbol{121}$
(2) $\boldsymbol{\frac{5}{81}}$，$\boldsymbol{\frac{6}{243}}$
(3) $\boldsymbol{-256}$，$\boldsymbol{1024}$
(4) $\boldsymbol{80}$，$\boldsymbol{242}$
【知识点】
数列规律探究，有理数乘方，有理数混合运算
【点评】
本题考查数字规律的观察推导能力，需要学生熟悉常见平方数列、等比数列的特征，通过拆分数字结构、分开观察符号与数值等方法快速找到规律，属于规律探究类基础题型。
【难度系数】
0.7
解决数字找规律题，通常从数字的构成、符号、和常见幂次/平方数列的关联入手分析：
(1) 给出的数都是连续奇数的平方，对应1、3、5、7……的平方，按此规律推导后续数值即可；
(2) 分数数列分开看分子、分母的规律：分子依次递增1，分母是3的连续正整数次幂，分别推导即可；
(3) 先看绝对值都是4的连续正整数次幂，符号正负交替，按规律计算后续数字即可；
(4) 观察可得每个数都等于3的对应次幂减1，按此规律计算后续数值即可。
【解析】
(1) 数列各项可改写为：$1=1^2$，$9=3^2$，$25=5^2$，$49=7^2$，是连续奇数的平方，后续两个奇数为9、11，因此对应数值为$9^2=81$，$11^2=121$；
(2) 分子依次为2、3、4，每次加1，后续两个分子为5、6；分母依次为$3^1=3$、$3^2=9$、$3^3=27$，后续两个分母为$3^4=81$、$3^5=243$，因此两个数分别为$\frac{5}{81}$、$\frac{6}{243}$；
(3) 数列绝对值依次为$4^1=4$、$4^2=16$、$4^3=64$，符号为正、负交替，因此第4个数为$-4^4=-256$，第5个数为$4^5=1024$；
(4) 数列各项可改写为：$2=3^1-1$，$8=3^2-1$，$26=3^3-1$，因此第4个数为$3^4-1=81-1=80$，第5个数为$3^5-1=243-1=242$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{81}$，$\boldsymbol{121}$
(2) $\boldsymbol{\frac{5}{81}}$，$\boldsymbol{\frac{6}{243}}$
(3) $\boldsymbol{-256}$，$\boldsymbol{1024}$
(4) $\boldsymbol{80}$，$\boldsymbol{242}$
【知识点】
数列规律探究，有理数乘方，有理数混合运算
【点评】
本题考查数字规律的观察推导能力，需要学生熟悉常见平方数列、等比数列的特征，通过拆分数字结构、分开观察符号与数值等方法快速找到规律，属于规律探究类基础题型。
【难度系数】
0.7
【变式2】观察下列算式：$7^1=7,7^2=49,7^3=343,7^4=2401,7^5=16807,\dots,$用你所发现的规律确定，$7^{15}$的个位数字是（）.
A.1
B.3
C.9
D.7
A.1
B.3
C.9
D.7
答案
B
解析
【分析】
要确定$7^{15}$的个位数字，我们可以先观察已知的7的各次幂的个位数字，找到其循环规律：首先列举出前几个7的幂次的个位，发现个位数字是按固定周期循环的；再用指数15除以循环周期，根据得到的余数，就能对应找到$7^{15}$的个位数字。
【解析】
观察给出的算式可得到7的幂次的个位数字规律：
$7^1$的个位数字是7，
$7^2$的个位数字是9，
$7^3$的个位数字是3，
$7^4$的个位数字是1，
$7^5$的个位数字是7，
……
可知个位数字以7、9、3、1这4个数字为一个周期循环出现。
计算15除以周期4：$15÷4=3······3$，即商为3，余数为3。
余数为3说明$7^{15}$的个位数字是一个周期里的第3个数字，也就是3。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方，规律探究，周期循环
【点评】
本题是常见的乘方规律类题型，解题关键是先通过观察总结出个位数字的循环周期，再结合余数定位对应数字，掌握该类题型的解题思路可以快速得出结果。
【难度系数】
0.7
要确定$7^{15}$的个位数字，我们可以先观察已知的7的各次幂的个位数字，找到其循环规律：首先列举出前几个7的幂次的个位，发现个位数字是按固定周期循环的；再用指数15除以循环周期，根据得到的余数，就能对应找到$7^{15}$的个位数字。
【解析】
观察给出的算式可得到7的幂次的个位数字规律：
$7^1$的个位数字是7，
$7^2$的个位数字是9，
$7^3$的个位数字是3，
$7^4$的个位数字是1，
$7^5$的个位数字是7，
……
可知个位数字以7、9、3、1这4个数字为一个周期循环出现。
计算15除以周期4：$15÷4=3······3$，即商为3，余数为3。
余数为3说明$7^{15}$的个位数字是一个周期里的第3个数字，也就是3。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方，规律探究，周期循环
【点评】
本题是常见的乘方规律类题型，解题关键是先通过观察总结出个位数字的循环周期，再结合余数定位对应数字，掌握该类题型的解题思路可以快速得出结果。
【难度系数】
0.7
【变式3】[新定义]规定“g”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
(1)g(1)=2，g(2)=-3，g(3)=4，g(4)=-5，….
$(2)g(\frac{1}{2})=1$，$g(\frac{1}{3})=2$，$g(\frac{1}{4})=3$，$g(\frac{1}{5})=4$，….
①利用以上规律计算：$g(\frac{1}{2026})−g(2026)=$；
②根据(1)的规律可得g(n)=(n为正整数).
(1)g(1)=2，g(2)=-3，g(3)=4，g(4)=-5，….
$(2)g(\frac{1}{2})=1$，$g(\frac{1}{3})=2$，$g(\frac{1}{4})=3$，$g(\frac{1}{5})=4$，….
①利用以上规律计算：$g(\frac{1}{2026})−g(2026)=$；
②根据(1)的规律可得g(n)=(n为正整数).
答案
① $\boldsymbol{4052}$；② $\boldsymbol{(-1)^{n+1}(n+1)}$
解析
【分析】
解题时先分别归纳两类自变量对应的运算规律：第一类自变量是正整数n，先观察结果的数值特征：结果绝对值比自变量大1，再观察符号特征：自变量为奇数时结果为正，偶数时结果为负；第二类自变量是形如$\frac{1}{k}$（k≥2的正整数）的数，结果等于自变量的分母减1。总结规律后，第一问代入对应数值计算即可，第二问根据正整数的运算规律整理通用表达式。
【解析】
1. 推导$g(\frac{1}{k})$（k≥2，k为正整数）的规律：
观察已知运算结果：$g(\frac{1}{2})=1=2-1$，$g(\frac{1}{3})=2=3-1$，$g(\frac{1}{4})=3=4-1$，可得规律：$g(\frac{1}{k})=k-1$，因此$g(\frac{1}{2026})=2026-1=2025$。
2. 推导$g(n)$（n为正整数）的规律：
观察已知运算结果：$g(1)=2=(-1)^{1+1}×(1+1)$，$g(2)=-3=(-1)^{2+1}×(2+1)$，$g(3)=4=(-1)^{3+1}×(3+1)$，可得规律：结果绝对值为$n+1$，n为奇数时符号为正、n为偶数时符号为负，即$g(n)=(-1)^{n+1}(n+1)$，因此$g(2026)=(-1)^{2026+1}×(2026+1)=-2027$。
3. 计算①：$g(\frac{1}{2026})-g(2026)=2025-(-2027)=2025+2027=4052$。
【答案】
① $\boldsymbol{4052}$；② $\boldsymbol{(-1)^{n+1}(n+1)}$
【知识点】
新定义运算，数字规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题是新定义类规律探究题，解题核心是通过已知运算结果归纳对应规律，考查学生的观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先分别归纳两类自变量对应的运算规律：第一类自变量是正整数n，先观察结果的数值特征：结果绝对值比自变量大1，再观察符号特征：自变量为奇数时结果为正，偶数时结果为负；第二类自变量是形如$\frac{1}{k}$（k≥2的正整数）的数，结果等于自变量的分母减1。总结规律后，第一问代入对应数值计算即可，第二问根据正整数的运算规律整理通用表达式。
【解析】
1. 推导$g(\frac{1}{k})$（k≥2，k为正整数）的规律：
观察已知运算结果：$g(\frac{1}{2})=1=2-1$，$g(\frac{1}{3})=2=3-1$，$g(\frac{1}{4})=3=4-1$，可得规律：$g(\frac{1}{k})=k-1$，因此$g(\frac{1}{2026})=2026-1=2025$。
2. 推导$g(n)$（n为正整数）的规律：
观察已知运算结果：$g(1)=2=(-1)^{1+1}×(1+1)$，$g(2)=-3=(-1)^{2+1}×(2+1)$，$g(3)=4=(-1)^{3+1}×(3+1)$，可得规律：结果绝对值为$n+1$，n为奇数时符号为正、n为偶数时符号为负，即$g(n)=(-1)^{n+1}(n+1)$，因此$g(2026)=(-1)^{2026+1}×(2026+1)=-2027$。
3. 计算①：$g(\frac{1}{2026})-g(2026)=2025-(-2027)=2025+2027=4052$。
【答案】
① $\boldsymbol{4052}$；② $\boldsymbol{(-1)^{n+1}(n+1)}$
【知识点】
新定义运算，数字规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题是新定义类规律探究题，解题核心是通过已知运算结果归纳对应规律，考查学生的观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
1.计算：$(-\dfrac{1}{2})^2 -1$等于（）.
A.$-\dfrac{5}{4}$
B.$-\dfrac{3}{4}$
C.$-\dfrac{1}{4}$
D.0
A.$-\dfrac{5}{4}$
B.$-\dfrac{3}{4}$
C.$-\dfrac{1}{4}$
D.0
答案
B
解析
【分析】
本题是有理数混合运算的基础题，解题遵循有理数混合运算优先级：先算乘方，再算加减。首先计算乘方项$(-\dfrac{1}{2})^2$，根据负数的偶次幂为正的规则先算出乘方结果，再用该结果减去1，计算减法时通分后即可得到最终结果，再匹配对应选项即可。
【解析】
按照有理数混合运算顺序分步计算：
1. 先计算乘方：负数的偶次幂是正数，因此$(-\dfrac{1}{2})^2 = (\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{1}{4}$；
2. 再计算减法：将1转化为分母为4的分数计算，即$\dfrac{1}{4} - 1 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{4}{4} = -\dfrac{3}{4}$。
因此计算结果为$-\dfrac{3}{4}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方运算；有理数减法运算；有理数混合运算顺序
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查有理数混合运算的基本规则，解题的易错点是容易搞错负数乘方的符号，或者计算减法时通分错误，只要熟练掌握运算规则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85
本题是有理数混合运算的基础题，解题遵循有理数混合运算优先级：先算乘方，再算加减。首先计算乘方项$(-\dfrac{1}{2})^2$，根据负数的偶次幂为正的规则先算出乘方结果，再用该结果减去1，计算减法时通分后即可得到最终结果，再匹配对应选项即可。
【解析】
按照有理数混合运算顺序分步计算：
1. 先计算乘方：负数的偶次幂是正数，因此$(-\dfrac{1}{2})^2 = (\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{1}{4}$；
2. 再计算减法：将1转化为分母为4的分数计算，即$\dfrac{1}{4} - 1 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{4}{4} = -\dfrac{3}{4}$。
因此计算结果为$-\dfrac{3}{4}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方运算；有理数减法运算；有理数混合运算顺序
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查有理数混合运算的基本规则，解题的易错点是容易搞错负数乘方的符号，或者计算减法时通分错误，只要熟练掌握运算规则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.85
2. 下列各式中，计算正确的是().
A.$(-5.8)-(-5.8)=-11.6$
B.$-4^2 ÷ \frac{1}{4} ×4=-16$
C.$-2^3 × (-3)^2=72$
D.$(-5)^2 +4× (-5)=5$
A.$(-5.8)-(-5.8)=-11.6$
B.$-4^2 ÷ \frac{1}{4} ×4=-16$
C.$-2^3 × (-3)^2=72$
D.$(-5)^2 +4× (-5)=5$
答案
D
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题思路是逐一计算每个选项的结果，结合运算法则判断对错即可。计算时需牢记运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次计算；同时要特别注意符号的处理以及乘方的底数区分（带括号和不带括号的乘方意义不同）。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，故$(-5.8)-(-5.8)=-5.8+5.8=0≠-11.6$，A错误。
B选项：先算乘方，$-4^2=-16$；乘除是同级运算，从左到右依次计算：$-16÷\frac{1}{4}×4=-16×4×4=-256≠-16$，B错误。
C选项：先算乘方，$-2^3=-8$，$(-3)^2=9$；再算乘法：$-8×9=-72≠72$，C错误。
D选项：先算乘方，$(-5)^2=25$；再算乘法，$4×(-5)=-20$；最后算加法：$25+(-20)=5$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数减法法则；有理数乘方运算；有理数混合运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，易错点在于混淆乘方的底数、搞错同级运算的顺序、符号处理错误，熟练掌握运算规则和顺序是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数的混合运算，解题思路是逐一计算每个选项的结果，结合运算法则判断对错即可。计算时需牢记运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次计算；同时要特别注意符号的处理以及乘方的底数区分（带括号和不带括号的乘方意义不同）。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，故$(-5.8)-(-5.8)=-5.8+5.8=0≠-11.6$，A错误。
B选项：先算乘方，$-4^2=-16$；乘除是同级运算，从左到右依次计算：$-16÷\frac{1}{4}×4=-16×4×4=-256≠-16$，B错误。
C选项：先算乘方，$-2^3=-8$，$(-3)^2=9$；再算乘法：$-8×9=-72≠72$，C错误。
D选项：先算乘方，$(-5)^2=25$；再算乘法，$4×(-5)=-20$；最后算加法：$25+(-20)=5$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数减法法则；有理数乘方运算；有理数混合运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，易错点在于混淆乘方的底数、搞错同级运算的顺序、符号处理错误，熟练掌握运算规则和顺序是做对这类题的关键。
【难度系数】
0.7
3.计算：$(-2)^3 + \frac{1}{2} × 8 =$ .
答案
解：
$(-2)^3 + \frac{1}{2} × 8$
$= -8 + 4$
$= -4$
$(-2)^3 + \frac{1}{2} × 8$
$= -8 + 4$
$= -4$
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题需遵循有理数混合运算的优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减。首先计算乘方项$(-2)^3$，再计算乘法项$\frac{1}{2}×8$，最后将两个结果相加即可，计算时要注意负数乘方的符号规则。
【解析】
按照运算顺序分步计算：
1. 计算乘方：$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$
2. 计算乘法：$\frac{1}{2}×8=4$
3. 计算加法：$-8+4=-4$
即$(-2)^3 + \frac{1}{2} × 8=-8+4=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数乘法运算；有理数混合运算顺序
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对有理数混合运算顺序的掌握，计算时需注意负数的奇次幂符号为负，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数的混合运算，解题需遵循有理数混合运算的优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减。首先计算乘方项$(-2)^3$，再计算乘法项$\frac{1}{2}×8$，最后将两个结果相加即可，计算时要注意负数乘方的符号规则。
【解析】
按照运算顺序分步计算：
1. 计算乘方：$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$
2. 计算乘法：$\frac{1}{2}×8=4$
3. 计算加法：$-8+4=-4$
即$(-2)^3 + \frac{1}{2} × 8=-8+4=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数乘法运算；有理数混合运算顺序
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对有理数混合运算顺序的掌握，计算时需注意负数的奇次幂符号为负，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
4.计算：
(1)$(-6)^2 × ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} )$；
(2)$2 × (-3) + 18 × ( \frac{1}{3} )^2 - (-1)^{2025}$。
(1)$(-6)^2 × ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} )$；
(2)$2 × (-3) + 18 × ( \frac{1}{3} )^2 - (-1)^{2025}$。
答案
解：
(1) 原式$=36×(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$
$=36×\frac{1}{2} - 36×\frac{1}{3}$
$=18 - 12$
$=6$
(2) 原式$=2×(-3) + 18×\frac{1}{9} - (-1)$
$=-6 + 2 + 1$
$=-3$
(1) 原式$=36×(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$
$=36×\frac{1}{2} - 36×\frac{1}{3}$
$=18 - 12$
$=6$
(2) 原式$=2×(-3) + 18×\frac{1}{9} - (-1)$
$=-6 + 2 + 1$
$=-3$
解析
【分析】
（1）先计算乘方运算，得出$(-6)^2=36$，观察发现36与括号内两个分数的分母均可直接约分，因此可以运用乘法分配律简化计算，无需先通分计算括号内的减法，降低计算出错概率，最后计算减法得出结果。
（2）按照有理数混合运算“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序计算：先分别计算乘方项$(\frac{1}{3})^2$和$(-1)^{2025}$，注意负数的奇次幂为负数；再计算乘法项；最后按从左到右的顺序计算加减，注意减去负数等于加上它的相反数的符号规则。
【解析】
(1) 原式$=36×(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$
$=36×\frac{1}{2} - 36×\frac{1}{3}$
$=18 - 12$
$=6$
(2) 原式$=2×(-3) + 18×\frac{1}{9} - (-1)$
$=-6 + 2 + 1$
$=-3$
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{-3}$
【知识点】
有理数乘方运算、乘法分配律、有理数混合运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，重点考查运算顺序的掌握和运算律的灵活应用，计算时需注意乘方的符号判断、去括号的符号变化，合理使用运算律可有效提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.75
（1）先计算乘方运算，得出$(-6)^2=36$，观察发现36与括号内两个分数的分母均可直接约分，因此可以运用乘法分配律简化计算，无需先通分计算括号内的减法，降低计算出错概率，最后计算减法得出结果。
（2）按照有理数混合运算“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序计算：先分别计算乘方项$(\frac{1}{3})^2$和$(-1)^{2025}$，注意负数的奇次幂为负数；再计算乘法项；最后按从左到右的顺序计算加减，注意减去负数等于加上它的相反数的符号规则。
【解析】
(1) 原式$=36×(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$
$=36×\frac{1}{2} - 36×\frac{1}{3}$
$=18 - 12$
$=6$
(2) 原式$=2×(-3) + 18×\frac{1}{9} - (-1)$
$=-6 + 2 + 1$
$=-3$
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{-3}$
【知识点】
有理数乘方运算、乘法分配律、有理数混合运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，重点考查运算顺序的掌握和运算律的灵活应用，计算时需注意乘方的符号判断、去括号的符号变化，合理使用运算律可有效提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.75
1. 在有理数$-(-3), -3^2, -\left| -\dfrac{1}{2} \right|, (-5)^2, (-1)^7, -[ -( -\dfrac{2}{3} ) ]$中，负数有（）。
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确负数是小于0的数，解题分两步进行：第一步根据去括号法则、绝对值的性质、有理数乘方的运算规则，把题目给出的每个数逐一化简；第二步判断化简后的数是否小于0，统计负数的个数即可得到答案。要注意运算优先级，乘方运算优先级高于负号，不要混淆带括号和不带括号的乘方运算。
【解析】
我们逐个化简题中的有理数并判断正负：
1. $-(-3)=3$，$3＞0$，是正数，不是负数；
2. $-3^2=-9$，$-9＜0$，是负数；
3. $-\left| -\dfrac{1}{2} \right|=-\dfrac{1}{2}$，$-\dfrac{1}{2}＜0$，是负数；
4. $(-5)^2=25$，$25＞0$，是正数，不是负数；
5. $(-1)^7=-1$，$-1＜0$，是负数；
6. $-[ -( -\dfrac{2}{3} ) ]=-\dfrac{2}{3}$，$-\dfrac{2}{3}＜0$，是负数。
综上，负数共有4个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
负数的定义、绝对值化简、有理数乘方运算
【点评】
本题是有理数基础运算的常规题型，易错点在于：一是混淆$-3^2$和$(-3)^2$的运算顺序，误将$-3^2$判断为正数；二是多重符号化简时符号判断出错。做题时需按照运算规则逐个化简后再判断正负，避免粗心失误。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确负数是小于0的数，解题分两步进行：第一步根据去括号法则、绝对值的性质、有理数乘方的运算规则，把题目给出的每个数逐一化简；第二步判断化简后的数是否小于0，统计负数的个数即可得到答案。要注意运算优先级，乘方运算优先级高于负号，不要混淆带括号和不带括号的乘方运算。
【解析】
我们逐个化简题中的有理数并判断正负：
1. $-(-3)=3$，$3＞0$，是正数，不是负数；
2. $-3^2=-9$，$-9＜0$，是负数；
3. $-\left| -\dfrac{1}{2} \right|=-\dfrac{1}{2}$，$-\dfrac{1}{2}＜0$，是负数；
4. $(-5)^2=25$，$25＞0$，是正数，不是负数；
5. $(-1)^7=-1$，$-1＜0$，是负数；
6. $-[ -( -\dfrac{2}{3} ) ]=-\dfrac{2}{3}$，$-\dfrac{2}{3}＜0$，是负数。
综上，负数共有4个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
负数的定义、绝对值化简、有理数乘方运算
【点评】
本题是有理数基础运算的常规题型，易错点在于：一是混淆$-3^2$和$(-3)^2$的运算顺序，误将$-3^2$判断为正数；二是多重符号化简时符号判断出错。做题时需按照运算规则逐个化简后再判断正负，避免粗心失误。
【难度系数】
0.6
2. 下列各式中，计算正确的是().
A.$-2^2 ÷ (-2)^2 = 1$
B.$-1 - (-\dfrac{1}{3})^3 = -1\dfrac{1}{27}$
C.$-5 ÷ \dfrac{1}{3} × \dfrac{3}{5} = -25$
D.$3\dfrac{1}{4} × (-3.25) - 6\dfrac{3}{4} × 3.25 = -32.5$
A.$-2^2 ÷ (-2)^2 = 1$
B.$-1 - (-\dfrac{1}{3})^3 = -1\dfrac{1}{27}$
C.$-5 ÷ \dfrac{1}{3} × \dfrac{3}{5} = -25$
D.$3\dfrac{1}{4} × (-3.25) - 6\dfrac{3}{4} × 3.25 = -32.5$
答案
D
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题时需遵循有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算按照从左到右的顺序计算；有简便算法时可运用运算律简化计算，我们可以逐个计算每个选项的结果，判断对错即可。
【解析】
我们逐一计算各选项：
选项A：先计算乘方，$-2^2=-4$，$(-2)^2=4$，再算除法：$-4÷4=-1≠1$，故A错误；
选项B：先算乘方，$(-\frac{1}{3})^3=-\frac{1}{27}$，再算减法：$-1-(-\frac{1}{27})=-1+\frac{1}{27}=-\frac{26}{27}≠-1\frac{1}{27}$，故B错误；
选项C：属于同级运算，从左到右依次计算：$-5÷\frac{1}{3}×\frac{3}{5}=-5×3×\frac{3}{5}=-9≠-25$，故C错误；
选项D：先将带分数化为小数，$3\frac{1}{4}=3.25$，$6\frac{3}{4}=6.75$，原式可变形为$3.25×(-3.25)-6.75×3.25$，逆用乘法分配律得：$-3.25×(3.25+6.75)=-3.25×10=-32.5$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数混合运算，乘方的运算，乘法分配律
【点评】
本题易错点在于混淆乘方的符号、弄错同级运算的顺序，计算时注意先确定运算顺序，再处理符号，灵活运用运算律可大幅提高计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数的混合运算，解题时需遵循有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算按照从左到右的顺序计算；有简便算法时可运用运算律简化计算，我们可以逐个计算每个选项的结果，判断对错即可。
【解析】
我们逐一计算各选项：
选项A：先计算乘方，$-2^2=-4$，$(-2)^2=4$，再算除法：$-4÷4=-1≠1$，故A错误；
选项B：先算乘方，$(-\frac{1}{3})^3=-\frac{1}{27}$，再算减法：$-1-(-\frac{1}{27})=-1+\frac{1}{27}=-\frac{26}{27}≠-1\frac{1}{27}$，故B错误；
选项C：属于同级运算，从左到右依次计算：$-5÷\frac{1}{3}×\frac{3}{5}=-5×3×\frac{3}{5}=-9≠-25$，故C错误；
选项D：先将带分数化为小数，$3\frac{1}{4}=3.25$，$6\frac{3}{4}=6.75$，原式可变形为$3.25×(-3.25)-6.75×3.25$，逆用乘法分配律得：$-3.25×(3.25+6.75)=-3.25×10=-32.5$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数混合运算，乘方的运算，乘法分配律
【点评】
本题易错点在于混淆乘方的符号、弄错同级运算的顺序，计算时注意先确定运算顺序，再处理符号，灵活运用运算律可大幅提高计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
