登录
10.（山东青岛中考）计算：$8x^3y÷(2x)^2=$
$2xy$
.答案
10.$2xy$
解析
【分析】
这是整式的混合运算题，需遵循先乘方后除法的运算顺序求解：第一步先根据积的乘方运算法则计算除数$(2x)^2$，第二步再根据单项式除以单项式的运算法则计算除法，运算时分别处理系数、同底数幂，仅在被除式中出现的字母要连同指数保留在商里。
【解析】
解：先计算乘方部分：
$(2x)^2=2^2· x^2=4x^2$
再代入原式计算单项式除法：
$8x^3y÷4x^2=(8÷4)·(x^3÷ x^2)· y=2xy$
【答案】
$2xy$
【知识点】
积的乘方，单项式除以单项式，同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础常规题，核心考查运算顺序和整式乘除的基础法则，熟练掌握运算法则、注意运算优先级即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
这是整式的混合运算题，需遵循先乘方后除法的运算顺序求解：第一步先根据积的乘方运算法则计算除数$(2x)^2$，第二步再根据单项式除以单项式的运算法则计算除法，运算时分别处理系数、同底数幂，仅在被除式中出现的字母要连同指数保留在商里。
【解析】
解：先计算乘方部分：
$(2x)^2=2^2· x^2=4x^2$
再代入原式计算单项式除法：
$8x^3y÷4x^2=(8÷4)·(x^3÷ x^2)· y=2xy$
【答案】
$2xy$
【知识点】
积的乘方，单项式除以单项式，同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础常规题，核心考查运算顺序和整式乘除的基础法则，熟练掌握运算法则、注意运算优先级即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
11.（黑龙江牡丹江中考）若分式方程$\frac{x}{x-1}=3-\frac{mx}{1-x}$的解为正整数，则整数$m$的值为
$-1$
。答案
11.$-1$
解析
【分析】
解决本题的核心思路是先按分式方程的常规解法将方程转化为整式方程，用含m的式子表示出方程的解，再结合“解为正整数”“分式分母不为0（排除增根）”“m为整数”这三个限制条件，筛选出符合要求的m值。首先注意到原方程两个分母互为相反数，先统一分母形式，再去分母化为整式方程，最后对解的取值范围进行约束即可。
【解析】
原方程可变形为：
$\frac{x}{x-1}=3+\frac{mx}{x-1}$
方程两边同时乘以最简公分母$x-1$（注意隐含条件$x≠1$），消去分母得：
$x=3(x-1)+mx$
展开并整理整式方程：
$x=3x-3+mx$
移项合并同类项：
$x-3x-mx=-3$
$(-2-m)x=-3$
即$(m+2)x=3$
解得：$x=\frac{3}{m+2}$
∵方程的解为正整数
∴$\frac{3}{m+2}＞0$，即$m+2＞0$，且$m+2$是3的正因数
3的正因数为1、3，分情况讨论：
①当$m+2=1$时，$m=-1$，此时$x=\frac{3}{1}=3$，$3≠1$，符合分母不为0的要求，成立；
②当$m+2=3$时，$m=1$，此时$x=\frac{3}{3}=1$，$x=1$使原方程分母为0，是增根，舍去。
综上，整数$m$的值为$-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1.分式方程解法 2.分式方程增根 3.整数解筛选
【点评】
本题是分式方程整数解类的典型考题，解题时要注意两个核心限制：一是解要满足正整数的要求，二是解不能是原分式方程的增根，若忽略增根的排除很容易得到错误答案。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心思路是先按分式方程的常规解法将方程转化为整式方程，用含m的式子表示出方程的解，再结合“解为正整数”“分式分母不为0（排除增根）”“m为整数”这三个限制条件，筛选出符合要求的m值。首先注意到原方程两个分母互为相反数，先统一分母形式，再去分母化为整式方程，最后对解的取值范围进行约束即可。
【解析】
原方程可变形为：
$\frac{x}{x-1}=3+\frac{mx}{x-1}$
方程两边同时乘以最简公分母$x-1$（注意隐含条件$x≠1$），消去分母得：
$x=3(x-1)+mx$
展开并整理整式方程：
$x=3x-3+mx$
移项合并同类项：
$x-3x-mx=-3$
$(-2-m)x=-3$
即$(m+2)x=3$
解得：$x=\frac{3}{m+2}$
∵方程的解为正整数
∴$\frac{3}{m+2}＞0$，即$m+2＞0$，且$m+2$是3的正因数
3的正因数为1、3，分情况讨论：
①当$m+2=1$时，$m=-1$，此时$x=\frac{3}{1}=3$，$3≠1$，符合分母不为0的要求，成立；
②当$m+2=3$时，$m=1$，此时$x=\frac{3}{3}=1$，$x=1$使原方程分母为0，是增根，舍去。
综上，整数$m$的值为$-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1.分式方程解法 2.分式方程增根 3.整数解筛选
【点评】
本题是分式方程整数解类的典型考题，解题时要注意两个核心限制：一是解要满足正整数的要求，二是解不能是原分式方程的增根，若忽略增根的排除很容易得到错误答案。
【难度系数】
0.6
12.（江苏连云港中考）计算：
（1）$(-\dfrac{1}{2})^{-2} - 2^3 × 0.125 + (\sqrt{3} - 1)^0 + |-1|$；
（2）$(1+\dfrac{1}{a-1}) ÷ \dfrac{a}{a^2 -2a +1}$。
（1）$(-\dfrac{1}{2})^{-2} - 2^3 × 0.125 + (\sqrt{3} - 1)^0 + |-1|$；
（2）$(1+\dfrac{1}{a-1}) ÷ \dfrac{a}{a^2 -2a +1}$。
答案
解：（1）$(-\frac{1}{2})^{-2} - 2^3 × 0.125 + (\sqrt{3} - 1)^0 + |-1|$
$=4 - 8×\frac{1}{8} + 1 + 1$
$=4 - 1 + 1 + 1$
$=5$.
（2）$(1+\frac{1}{a-1}) ÷ \frac{a}{a^2 -2a +1}$
$=\frac{a-1+1}{a-1} · \frac{(a-1)^2}{a}$
$=\frac{a}{a-1} · \frac{(a-1)^2}{a}$
$=a-1$.
$=4 - 8×\frac{1}{8} + 1 + 1$
$=4 - 1 + 1 + 1$
$=5$.
（2）$(1+\frac{1}{a-1}) ÷ \frac{a}{a^2 -2a +1}$
$=\frac{a-1+1}{a-1} · \frac{(a-1)^2}{a}$
$=\frac{a}{a-1} · \frac{(a-1)^2}{a}$
$=a-1$.
解析
【分析】
（1）本题是实数混合运算题，解题时先分别计算每一项：负整数指数幂按照$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$的规则计算，乘方直接求值，非零数的零指数幂结果为1，负数的绝对值等于它的相反数，最后按照先乘除后加减的运算顺序合并结果即可。
（2）本题是分式混合运算题，解题时先计算括号内的分式加法，将整数1通分为分母为$a-1$的分式合并，再把除法转化为乘以除数的倒数，对多项式因式分解后约分就能得到化简结果。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}&(-\frac{1}{2})^{-2} - 2^3 × 0.125 + (\sqrt{3} - 1)^0 + |-1|\\=&4 - 8×\frac{1}{8} + 1 + 1\\=&4 - 1 + 1 + 1\\=&5\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}&(1+\frac{1}{a-1}) ÷ \frac{a}{a^2 -2a +1}\\=&\frac{a-1+1}{a-1} · \frac{(a-1)^2}{a}\\=&\frac{a}{a-1} · \frac{(a-1)^2}{a}\\=&a-1\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{5}$；（2）$\boldsymbol{a-1}$
【知识点】
实数混合运算，零/负整数指数幂，分式混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查实数、分式运算法则的掌握程度，计算时需注意负指数幂、零指数幂的取值规则，分式运算时通分、约分要规范，避免因粗心导致失误。
【难度系数】
0.8
（1）本题是实数混合运算题，解题时先分别计算每一项：负整数指数幂按照$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$的规则计算，乘方直接求值，非零数的零指数幂结果为1，负数的绝对值等于它的相反数，最后按照先乘除后加减的运算顺序合并结果即可。
（2）本题是分式混合运算题，解题时先计算括号内的分式加法，将整数1通分为分母为$a-1$的分式合并，再把除法转化为乘以除数的倒数，对多项式因式分解后约分就能得到化简结果。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}&(-\frac{1}{2})^{-2} - 2^3 × 0.125 + (\sqrt{3} - 1)^0 + |-1|\\=&4 - 8×\frac{1}{8} + 1 + 1\\=&4 - 1 + 1 + 1\\=&5\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}&(1+\frac{1}{a-1}) ÷ \frac{a}{a^2 -2a +1}\\=&\frac{a-1+1}{a-1} · \frac{(a-1)^2}{a}\\=&\frac{a}{a-1} · \frac{(a-1)^2}{a}\\=&a-1\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{5}$；（2）$\boldsymbol{a-1}$
【知识点】
实数混合运算，零/负整数指数幂，分式混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查实数、分式运算法则的掌握程度，计算时需注意负指数幂、零指数幂的取值规则，分式运算时通分、约分要规范，避免因粗心导致失误。
【难度系数】
0.8
13.（西藏中考）先化简，再求值：$(1+\dfrac{2}{m-2})·\dfrac{m^2 -4}{m}$，请为$m$选择一个合适的数代入求值.
答案
解：$(1+\frac{2}{m-2}) · \frac{m^2 -4}{m}$
$=(\frac{m-2}{m-2}+\frac{2}{m-2}) · \frac{(m+2)(m-2)}{m}$
$=\frac{m}{m-2} · \frac{(m+2)(m-2)}{m}$
$=m+2$.
$\because m-2≠0$，$m≠0$，
$\therefore m≠2$，$m≠0$.
$\therefore$取$m=1$，原式$=1+2=3$.
$=(\frac{m-2}{m-2}+\frac{2}{m-2}) · \frac{(m+2)(m-2)}{m}$
$=\frac{m}{m-2} · \frac{(m+2)(m-2)}{m}$
$=m+2$.
$\because m-2≠0$，$m≠0$，
$\therefore m≠2$，$m≠0$.
$\therefore$取$m=1$，原式$=1+2=3$.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题可按三步思考：第一步先计算括号内的异分母分式加法，需先通分，将1转化为分母为$m-2$的分式，再与$\frac{2}{m-2}$相加；第二步计算分式乘法，先利用平方差公式对$m^2-4$因式分解，再通过约分化简式子；第三步代入求值时，要注意$m$的取值必须让原式所有分母不为0，排除不合适的取值后，选简单的数代入计算即可。
【解析】
先对原式化简：
$(1+\dfrac{2}{m-2})·\dfrac{m^2 -4}{m}$
$=(\dfrac{m-2}{m-2}+\dfrac{2}{m-2})·\dfrac{(m+2)(m-2)}{m}$
$=\dfrac{m}{m-2}·\dfrac{(m+2)(m-2)}{m}$
$=m+2$
要使原式有意义，则分母不能为0，即$m-2≠0$且$m≠0$，得$m≠2$且$m≠0$。
取$m=1$，代入化简后的式子得：原式$=1+2=3$（$m$取除0、2外的任意数均可）。
【答案】
化简结果为$m+2$，当$m=1$时，原式的值为3（答案不唯一，只要$m$取值不为0和2即可）
【知识点】
分式的混合运算、平方差公式、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的基础题型，既考查了分式运算法则、因式分解的应用，也暗藏取值陷阱，解题时要注意代入的数值必须保证原式中所有分式的分母不为0，不能盲目代入。
【难度系数】
0.75
这是分式化简求值类题目，解题可按三步思考：第一步先计算括号内的异分母分式加法，需先通分，将1转化为分母为$m-2$的分式，再与$\frac{2}{m-2}$相加；第二步计算分式乘法，先利用平方差公式对$m^2-4$因式分解，再通过约分化简式子；第三步代入求值时，要注意$m$的取值必须让原式所有分母不为0，排除不合适的取值后，选简单的数代入计算即可。
【解析】
先对原式化简：
$(1+\dfrac{2}{m-2})·\dfrac{m^2 -4}{m}$
$=(\dfrac{m-2}{m-2}+\dfrac{2}{m-2})·\dfrac{(m+2)(m-2)}{m}$
$=\dfrac{m}{m-2}·\dfrac{(m+2)(m-2)}{m}$
$=m+2$
要使原式有意义，则分母不能为0，即$m-2≠0$且$m≠0$，得$m≠2$且$m≠0$。
取$m=1$，代入化简后的式子得：原式$=1+2=3$（$m$取除0、2外的任意数均可）。
【答案】
化简结果为$m+2$，当$m=1$时，原式的值为3（答案不唯一，只要$m$取值不为0和2即可）
【知识点】
分式的混合运算、平方差公式、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的基础题型，既考查了分式运算法则、因式分解的应用，也暗藏取值陷阱，解题时要注意代入的数值必须保证原式中所有分式的分母不为0，不能盲目代入。
【难度系数】
0.75
14.（西藏中考）解分式方程：$\frac{x}{x+1} -1 = \frac{3}{x-1}$
答案
解：方程两边乘$(x+1)(x-1)$，得
$x(x-1)-(x+1)(x-1)=3(x+1)$.
解得$x=-\frac{1}{2}$.
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$(x+1)(x-1)≠0$.
所以，原分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$.
$x(x-1)-(x+1)(x-1)=3(x+1)$.
解得$x=-\frac{1}{2}$.
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$(x+1)(x-1)≠0$.
所以，原分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程再求解。首先要确定最简公分母，本题中两个分母分别为$x+1$和$x-1$，因此最简公分母是$(x+1)(x-1)$；接着给方程两边同时乘最简公分母消去分母，得到整式方程；再解整式方程得到未知数的值；最后必须检验所得解是否使原方程的分母为0，若分母不为0才是原方程的解，若分母为0则是增根，需要舍去。
【解析】
解：方程两边乘$(x+1)(x-1)$，得
$x(x-1)-(x+1)(x-1)=3(x+1)$
展开并化简：
$x^2 -x - (x^2 -1) = 3x +3$
$x^2 -x -x^2 +1 = 3x +3$
$-x +1 = 3x +3$
移项合并同类项得：$-4x=2$
解得$x=-\frac{1}{2}$
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$(x+1)(x-1)=(\frac{1}{2})×(-\frac{3}{2})=-\frac{3}{4}≠0$，因此该解符合原方程要求。
【答案】
$x=-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式方程解法，去分母，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，解出结果后必须验根，这是分式方程求解的主要易错点。
【难度系数】
0.8
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程再求解。首先要确定最简公分母，本题中两个分母分别为$x+1$和$x-1$，因此最简公分母是$(x+1)(x-1)$；接着给方程两边同时乘最简公分母消去分母，得到整式方程；再解整式方程得到未知数的值；最后必须检验所得解是否使原方程的分母为0，若分母不为0才是原方程的解，若分母为0则是增根，需要舍去。
【解析】
解：方程两边乘$(x+1)(x-1)$，得
$x(x-1)-(x+1)(x-1)=3(x+1)$
展开并化简：
$x^2 -x - (x^2 -1) = 3x +3$
$x^2 -x -x^2 +1 = 3x +3$
$-x +1 = 3x +3$
移项合并同类项得：$-4x=2$
解得$x=-\frac{1}{2}$
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$(x+1)(x-1)=(\frac{1}{2})×(-\frac{3}{2})=-\frac{3}{4}≠0$，因此该解符合原方程要求。
【答案】
$x=-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式方程解法，去分母，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，解出结果后必须验根，这是分式方程求解的主要易错点。
【难度系数】
0.8
15.（黑龙江大庆中考）为营造良好体育运动氛围，某学校用800元购买了一批足球，又用1560元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元. 该学校两批共购买了多少个足球？
答案
解：设第一批足球的单价为$x$元，则第二批足球的单价为$(x-2)$元.
由题意，得$\frac{800}{x}×2=\frac{1560}{x-2}$.
方程两边乘$x(x-2)$，得
$1600(x-2)=1560x$.
解得$x=80$.
检验：当$x=80$时，$x(x-2)≠0$.
所以，原分式方程的解为$x=80$.
则第二批足球的单价为
$x-2=80-2=78$.
故$\frac{800}{80}+\frac{1560}{78}=30$（个）.
答：该学校两批共购买了30个足球.
由题意，得$\frac{800}{x}×2=\frac{1560}{x-2}$.
方程两边乘$x(x-2)$，得
$1600(x-2)=1560x$.
解得$x=80$.
检验：当$x=80$时，$x(x-2)≠0$.
所以，原分式方程的解为$x=80$.
则第二批足球的单价为
$x-2=80-2=78$.
故$\frac{800}{80}+\frac{1560}{78}=30$（个）.
答：该学校两批共购买了30个足球.
解析
【分析】
本题是分式方程的实际应用题，解题时先梳理核心等量关系：第二批足球购买数量=第一批购买数量×2，且第二批足球单价比第一批低2元。我们可以先设第一批足球的单价为未知数，根据“总价÷单价=数量”分别表示出两批足球的购买数量，再结合等量关系列分式方程求解；求出单价后分别计算两批的购买数量，相加即可得到总购买量，注意解分式方程后必须检验根的合理性。
【解析】
解：设第一批足球的单价为$x$元，则第二批足球的单价为$(x-2)$元。
由题意，得$\frac{800}{x}×2=\frac{1560}{x-2}$。
方程两边乘$x(x-2)$，得：
$1600(x-2)=1560x$
解得$x=80$。
检验：当$x=80$时，$x(x-2)≠0$，所以原分式方程的解为$x=80$，且符合实际意义。
则第二批足球的单价为$x-2=80-2=78$元。
两批总购买数量为$\frac{800}{80}+\frac{1560}{78}=10+20=30$（个）。
【答案】
该学校两批共购买了30个足球。
【知识点】
分式方程应用、分式方程检验、列方程解应用题
【点评】
本题属于典型的购物类分式方程应用题，解题核心是找准数量、单价、总价三者的等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须双检验，既要验证根是否为原方程的解，也要验证根是否符合实际情境。
【难度系数】
0.7
本题是分式方程的实际应用题，解题时先梳理核心等量关系：第二批足球购买数量=第一批购买数量×2，且第二批足球单价比第一批低2元。我们可以先设第一批足球的单价为未知数，根据“总价÷单价=数量”分别表示出两批足球的购买数量，再结合等量关系列分式方程求解；求出单价后分别计算两批的购买数量，相加即可得到总购买量，注意解分式方程后必须检验根的合理性。
【解析】
解：设第一批足球的单价为$x$元，则第二批足球的单价为$(x-2)$元。
由题意，得$\frac{800}{x}×2=\frac{1560}{x-2}$。
方程两边乘$x(x-2)$，得：
$1600(x-2)=1560x$
解得$x=80$。
检验：当$x=80$时，$x(x-2)≠0$，所以原分式方程的解为$x=80$，且符合实际意义。
则第二批足球的单价为$x-2=80-2=78$元。
两批总购买数量为$\frac{800}{80}+\frac{1560}{78}=10+20=30$（个）。
【答案】
该学校两批共购买了30个足球。
【知识点】
分式方程应用、分式方程检验、列方程解应用题
【点评】
本题属于典型的购物类分式方程应用题，解题核心是找准数量、单价、总价三者的等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须双检验，既要验证根是否为原方程的解，也要验证根是否符合实际情境。
【难度系数】
0.7
