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例1 在温度不变的条件下，气体的压强和气体体积对应数值如下表，则可以反映y与x之间的关系式是（）
A.$y=6000x$
B.$y=3000x$
C.$y=\frac{6000}{x}$
D.$y=\frac{3000}{x}$
【思路导析】由表格中数据得出$xy=6000$，得到此函数是反比例函数。
【请你解答】
A.$y=6000x$
B.$y=3000x$
C.$y=\frac{6000}{x}$
D.$y=\frac{3000}{x}$
【思路导析】由表格中数据得出$xy=6000$，得到此函数是反比例函数。
【请你解答】
答案
C
解析
【分析】
要确定y与x的函数关系式，首先观察表格中两个变量的变化规律，可通过计算变量的乘积或比值判断函数类型：若比值为定值则是正比例函数，若乘积为定值则是反比例函数。计算每组x与y的乘积，发现乘积为固定值，因此可判断该函数为反比例函数，再求出反比例系数k即可得到函数关系式，对应选项选出答案。
【解析】
分别计算表格中每组x与y的乘积：
当x=100mL，y=60kPa时，$xy=100×60=6000$；
当x=80mL，y=75kPa时，$xy=80×75=6000$；
当x=60mL，y=100kPa时，$xy=60×100=6000$；
当x=40mL，y=150kPa时，$xy=40×150=6000$；
当x=20mL，y=300kPa时，$xy=20×300=6000$。
由此可得x与y的乘积为定值6000，即y是x的反比例函数，设函数关系式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$），则$k=xy=6000$，因此y与x的关系式为$y=\frac{6000}{x}$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合物理中气体压强与体积的关系考查反比例函数的应用，解题核心是通过表格数据发现变量乘积为定值的规律，进而确定函数解析式，体现了跨学科知识结合的考查方向。
【难度系数】
0.8
要确定y与x的函数关系式，首先观察表格中两个变量的变化规律，可通过计算变量的乘积或比值判断函数类型：若比值为定值则是正比例函数，若乘积为定值则是反比例函数。计算每组x与y的乘积，发现乘积为固定值，因此可判断该函数为反比例函数，再求出反比例系数k即可得到函数关系式，对应选项选出答案。
【解析】
分别计算表格中每组x与y的乘积：
当x=100mL，y=60kPa时，$xy=100×60=6000$；
当x=80mL，y=75kPa时，$xy=80×75=6000$；
当x=60mL，y=100kPa时，$xy=60×100=6000$；
当x=40mL，y=150kPa时，$xy=40×150=6000$；
当x=20mL，y=300kPa时，$xy=20×300=6000$。
由此可得x与y的乘积为定值6000，即y是x的反比例函数，设函数关系式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$），则$k=xy=6000$，因此y与x的关系式为$y=\frac{6000}{x}$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合物理中气体压强与体积的关系考查反比例函数的应用，解题核心是通过表格数据发现变量乘积为定值的规律，进而确定函数解析式，体现了跨学科知识结合的考查方向。
【难度系数】
0.8
例2 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间$t$(单位:h)与行驶速度$v$(单位:km/h)满足函数关系:$t=\frac{k}{v}$，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为$A(40,1)$和$B(m,0.5)$.
(1)$k=$，$m=$;
(2)若行驶速度不得超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间?
【思路导析】由图象和函数关系可知此函数是反比例函数.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
(1)$k=$，$m=$;
(2)若行驶速度不得超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间?
【思路导析】由图象和函数关系可知此函数是反比例函数.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
(1) $\boldsymbol{40}$，$\boldsymbol{80}$
解析
【分析】
(1) 已知时间$t$与行驶速度$v$满足反比例函数关系$t=\frac{k}{v}$，点$A(40,1)$在函数图象上，将点$A$的坐标代入函数式即可求出$k$的值，得到完整的函数解析式；再将点$B$的纵坐标$t=0.5$代入解析式，就能求出横坐标$m$的值。
(2) 行驶速度不得超过$60\ \mathrm{km/h}$，即$v≤60$，由于反比例函数$t=\frac{40}{v}$中$k=40＞0$，在$v＞0$的范围内$t$随$v$的增大而减小，因此当$v$取最大值$60$时，$t$取得最小值，代入解析式计算即可得到最少通行时间。
【解析】
(1) 将点$A(40,1)$代入$t=\frac{k}{v}$，得：
$1=\frac{k}{40}$，解得$k=40$，
因此函数解析式为$t=\frac{40}{v}$。
将点$B(m,0.5)$代入$t=\frac{40}{v}$，得：
$0.5=\frac{40}{m}$，解得$m=80$。
(2) 由题意得$v≤60$，
$\because k=40＞0$，
$\therefore$当$v＞0$时，$t$随$v$的增大而减小，
$\therefore$当$v=60\ \mathrm{km/h}$时，$t$取得最小值，
此时$t=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$，$\boldsymbol{80}$；(2) 汽车通过该路段最少需要$\boldsymbol{\frac{2}{3}\ \mathrm{h}}$（或40分钟）
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合行程问题考查反比例函数的应用，解题关键是先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再结合反比例函数的增减性求解最值，贴近生活实际，注重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 已知时间$t$与行驶速度$v$满足反比例函数关系$t=\frac{k}{v}$，点$A(40,1)$在函数图象上，将点$A$的坐标代入函数式即可求出$k$的值，得到完整的函数解析式；再将点$B$的纵坐标$t=0.5$代入解析式，就能求出横坐标$m$的值。
(2) 行驶速度不得超过$60\ \mathrm{km/h}$，即$v≤60$，由于反比例函数$t=\frac{40}{v}$中$k=40＞0$，在$v＞0$的范围内$t$随$v$的增大而减小，因此当$v$取最大值$60$时，$t$取得最小值，代入解析式计算即可得到最少通行时间。
【解析】
(1) 将点$A(40,1)$代入$t=\frac{k}{v}$，得：
$1=\frac{k}{40}$，解得$k=40$，
因此函数解析式为$t=\frac{40}{v}$。
将点$B(m,0.5)$代入$t=\frac{40}{v}$，得：
$0.5=\frac{40}{m}$，解得$m=80$。
(2) 由题意得$v≤60$，
$\because k=40＞0$，
$\therefore$当$v＞0$时，$t$随$v$的增大而减小，
$\therefore$当$v=60\ \mathrm{km/h}$时，$t$取得最小值，
此时$t=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$，$\boldsymbol{80}$；(2) 汽车通过该路段最少需要$\boldsymbol{\frac{2}{3}\ \mathrm{h}}$（或40分钟）
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合行程问题考查反比例函数的应用，解题关键是先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再结合反比例函数的增减性求解最值，贴近生活实际，注重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
例3 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，研究人员对某型号机器狗的最快移动速度$y$(单位:m/s)和负重重量$x$(单位:kg)的数据进行了记录，得到部分数据如表所示：
(1)请选择合适的函数模型，并确定$y$关于$x$的函数解析式；
(2)若想要该型号的机器狗载重后的最快移动速度$y$大于8 m/s，求负重重量$x$的取值范围.
【规范解答】(1)①根据题中表格，画出散点图(如图)，观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有点.可以发现，图中的曲线形似双曲线的一支，因此，选择反比例函数近似描述$y$与$x$之间的关系.
②设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，根据题中数据分别求出$k$的值，如下表.
计算所有$k$值的平均值，得
$k=\frac{1}{5}(58+60+60+65+57)=60.$
∴ $y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{60}{x}.$
将已知数据代入解析式，可以发现这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映机器狗的最快移动速度$y$和负重重量$x$之间的关系.
(2)∵ $y＞8$，∴ $\frac{60}{x}＞8$，解得$x＜\frac{15}{2}.$
∴ 负重重量$x$的取值范围是$0＜x＜\frac{15}{2}.$
变式探究
(1)请选择合适的函数模型，并确定$y$关于$x$的函数解析式；
(2)若想要该型号的机器狗载重后的最快移动速度$y$大于8 m/s，求负重重量$x$的取值范围.
【规范解答】(1)①根据题中表格，画出散点图(如图)，观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有点.可以发现，图中的曲线形似双曲线的一支，因此，选择反比例函数近似描述$y$与$x$之间的关系.
②设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，根据题中数据分别求出$k$的值，如下表.
计算所有$k$值的平均值，得
$k=\frac{1}{5}(58+60+60+65+57)=60.$
∴ $y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{60}{x}.$
将已知数据代入解析式，可以发现这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映机器狗的最快移动速度$y$和负重重量$x$之间的关系.
(2)∵ $y＞8$，∴ $\frac{60}{x}＞8$，解得$x＜\frac{15}{2}.$
∴ 负重重量$x$的取值范围是$0＜x＜\frac{15}{2}.$
变式探究
答案
解：
(1) 根据表格数据画出散点图，观察点的分布特征，可知各点近似落在双曲线的一支上，因此选择反比例函数作为y与x的函数模型。
设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，由各组数据计算对应的$k=xy$的值分别为58，60，60，65，57，
计算所有k值的平均值：
$k=\frac{1}{5}(58+60+60+65+57)=60$
因此y关于x的函数解析式为$y=\frac{60}{x}(x＞0)$，将已知数据代入验证，该函数模型与实际数据基本吻合。
(2) 由题意$y＞8$，将$y=\frac{60}{x}$代入得：
$\frac{60}{x}＞8$
由于$x＞0$，不等式两边同乘x，得$60＞8x$，
解得$x＜\frac{15}{2}$，
结合$x＞0$，可得负重重量x的取值范围是$0＜x＜\frac{15}{2}$。
答：(1) y关于x的函数解析式为$y=\frac{60}{x}(x＞0)$；(2) 当机器狗最快移动速度大于8m/s时，负重重量的取值范围是$0＜x＜\frac{15}{2}$。
(1) 根据表格数据画出散点图，观察点的分布特征，可知各点近似落在双曲线的一支上，因此选择反比例函数作为y与x的函数模型。
设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，由各组数据计算对应的$k=xy$的值分别为58，60，60，65，57，
计算所有k值的平均值：
$k=\frac{1}{5}(58+60+60+65+57)=60$
因此y关于x的函数解析式为$y=\frac{60}{x}(x＞0)$，将已知数据代入验证，该函数模型与实际数据基本吻合。
(2) 由题意$y＞8$，将$y=\frac{60}{x}$代入得：
$\frac{60}{x}＞8$
由于$x＞0$，不等式两边同乘x，得$60＞8x$，
解得$x＜\frac{15}{2}$，
结合$x＞0$，可得负重重量x的取值范围是$0＜x＜\frac{15}{2}$。
答：(1) y关于x的函数解析式为$y=\frac{60}{x}(x＞0)$；(2) 当机器狗最快移动速度大于8m/s时，负重重量的取值范围是$0＜x＜\frac{15}{2}$。
解析
【分析】
对于(1)问，首先根据已知数据的分布特征选择函数模型：观察散点分布近似符合反比例函数的双曲线形态，因此选择反比例函数模型；接下来用待定系数法，设解析式为$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，利用每组x、y的乘积得到k的多个取值，取平均值得到最贴合实际的k值，最后验证模型合理性即可。对于(2)问，将$y＞8$代入已求出的函数解析式，结合实际意义中负重$x＞0$的隐含条件，解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 首先根据表格数据绘制散点图，观察点的分布特征，可知各点近似落在双曲线的一支上，因此选择反比例函数作为y与x的函数模型。
设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，由每组数据计算$k=xy$，可得对应k值分别为58、60、60、65、57，
计算上述k值的平均值：
$k=\frac{1}{5}(58+60+60+65+57)=60$
因此y关于x的函数解析式为$y=\frac{60}{x}(x＞0)$，将已知数据代入验证，该函数模型与实际数据基本吻合，符合要求。
(2) 由题意得最快移动速度$y＞8$，将$y=\frac{60}{x}$代入不等式，可得：
$\frac{60}{x}＞8$
结合实际意义，负重重量$x＞0$，不等式两边同时乘x（x为正数，不等号方向不变），得$60＞8x$，
解得$x＜\frac{15}{2}$，
结合$x＞0$，可得负重重量x的取值范围是$0＜x＜\frac{15}{2}$。
【答案】
(1) $y=\frac{60}{x}(x＞0)$
(2) $0＜x＜\frac{15}{2}$
【知识点】
反比例函数应用、待定系数法、解不等式
【点评】
本题以机器狗负重与移动速度的实际问题为背景，考查了函数模型的选择、反比例函数解析式的求解以及结合实际意义解不等式的能力，解题时需注意自变量的实际取值范围，避免忽略隐含条件出错。
【难度系数】
0.75
对于(1)问，首先根据已知数据的分布特征选择函数模型：观察散点分布近似符合反比例函数的双曲线形态，因此选择反比例函数模型；接下来用待定系数法，设解析式为$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，利用每组x、y的乘积得到k的多个取值，取平均值得到最贴合实际的k值，最后验证模型合理性即可。对于(2)问，将$y＞8$代入已求出的函数解析式，结合实际意义中负重$x＞0$的隐含条件，解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 首先根据表格数据绘制散点图，观察点的分布特征，可知各点近似落在双曲线的一支上，因此选择反比例函数作为y与x的函数模型。
设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，由每组数据计算$k=xy$，可得对应k值分别为58、60、60、65、57，
计算上述k值的平均值：
$k=\frac{1}{5}(58+60+60+65+57)=60$
因此y关于x的函数解析式为$y=\frac{60}{x}(x＞0)$，将已知数据代入验证，该函数模型与实际数据基本吻合，符合要求。
(2) 由题意得最快移动速度$y＞8$，将$y=\frac{60}{x}$代入不等式，可得：
$\frac{60}{x}＞8$
结合实际意义，负重重量$x＞0$，不等式两边同时乘x（x为正数，不等号方向不变），得$60＞8x$，
解得$x＜\frac{15}{2}$，
结合$x＞0$，可得负重重量x的取值范围是$0＜x＜\frac{15}{2}$。
【答案】
(1) $y=\frac{60}{x}(x＞0)$
(2) $0＜x＜\frac{15}{2}$
【知识点】
反比例函数应用、待定系数法、解不等式
【点评】
本题以机器狗负重与移动速度的实际问题为背景，考查了函数模型的选择、反比例函数解析式的求解以及结合实际意义解不等式的能力，解题时需注意自变量的实际取值范围，避免忽略隐含条件出错。
【难度系数】
0.75
