1. 在图①,图②所示的$6×6$网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C均在格点上,仅用无刻度的直尺,按下列要求完成作图,并保留作图痕迹.
(1)在图①中,以点C为位似中心,将$△ ABC$放大到原来的2倍;
(2)在图②中,在线段AC上作点D,使得$AD:CD=2:3$.

解：
(1) 作图过程：
① 分别延长AC、BC，在AC的延长线上取点$A'$，使$CA'=2CA$，在BC的延长线上取点$B'$，使$CB'=2CB$；
② 连接$A'B'$，则$△ A'B'C$即为以点C为位似中心，将$△ ABC$放大到原来2倍的位似图形。
（也可在点C的另一侧反向延长CA、CB，得到符合要求的放大图形，结果均正确）
(2) 作图过程：
① 过点A作端点均在格点的射线，在射线上从A点开始顺次截取5段长度相等的线段，标记分点$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$，满足$AP_1=P_1P_2=P_2P_3=P_3P_4=P_4P_5$；
② 连接$P_5C$，过点$P_2$作$P_2D // P_5C$，交线段AC于点D，点D即为所求，满足$AD:CD=2:3$。
保留上述所有作图痕迹，最终得到符合要求的图形。

【分析】
(1) 本题为位似作图题，首先明确位似中心是点C，放大倍数为2。根据位似的性质：位似图形对应点的连线经过位似中心，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比。因此只需延长（或反向延长）CA、CB，在对应射线上取点A'、B'，使得CA'=2CA、CB'=2CB，连接A'B'即可得到放大2倍的位似图形。
(2) 要得到AD:CD=2:3，本质是将AC按2:3的比例分割。根据平行线分线段成比例定理，可过点A构造一条射线，在射线上顺次截取5段等长的线段，将第5个分点与C连接，再过第2个分点作该连线的平行线，与AC的交点即为所求的D点，即可得到对应比例的线段。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 分别作射线AC、射线BC（也可作从C出发、经过A和B反方向的射线）；
② 在射线AC上截取CA'，使$CA'=2CA$，在射线BC上截取CB'，使$CB'=2CB$；
③ 连接$A'B'$，得到的$△ A'B'C$即为所求的位似图形。
(2) 作图步骤：
① 过点A作一条不与AC重合、端点在格点上的射线；
② 在该射线上从A点开始顺次取格点$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$，满足$AP_1=P_1P_2=P_2P_3=P_3P_4=P_4P_5$；
③ 连接$P_5C$，过$P_2$作$P_5C$的平行线，交线段AC于点D，点D即为所求。
（作图需保留所有辅助线痕迹）
【答案】
(1) 作出以C为位似中心，放大到原来2倍的$△ A'B'C$（痕迹符合要求即可）；
(2) 作出线段AC上满足$AD:CD=2:3$的点D（痕迹符合要求即可）。
【知识点】
位似图形作图，平行线分线段成比例，网格作图
【点评】
本题是网格作图的常考题型，考查位似性质和比例线段的构造方法，要求熟练掌握相关几何性质，作图时注意保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.7

2.如图，$△ ABC$与$△ A'B'C'$是位似图形，O是位似中心，若$OA = 2AA'$，$S_{△ ABC}=8$，求$S_{△ A'B'C'}$.

解：
∵ $OA = 2AA'$，
∴ $OA' = OA + AA' = 2AA' + AA' = 3AA'$，
∴ $\frac{OA}{OA'}=\frac{2AA'}{3AA'}=\frac{2}{3}$。
∵ $△ ABC$与$△ A'B'C'$是位似图形，
∴ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$\frac{2}{3}$。
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C'}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
将$S_{△ ABC}=8$代入得：
$\frac{8}{S_{△ A'B'C'}}=\frac{4}{9}$，
解得 $S_{△ A'B'C'}=18$。

【分析】
解决本题的核心是利用位似图形的性质和相似三角形的面积规律。首先，位似图形属于特殊的相似图形，对应点到位似中心的距离比等于相似比；其次相似三角形的面积比等于相似比的平方。解题时第一步先根据已知线段关系$OA=2AA'$，算出两个三角形的相似比，第二步结合面积比和相似比的关系，代入已知的$S_{△ABC}$即可求出$S_{△A'B'C'}$。
【解析】
∵ $OA = 2AA'$，
∴ $OA' = OA + AA' = 2AA' + AA' = 3AA'$，
∴ $\frac{OA}{OA'}=\frac{2AA'}{3AA'}=\frac{2}{3}$。
∵ $△ ABC$与$△ A'B'C'$是位似图形，
∴ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$\frac{2}{3}$。
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A'B'C'}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
将$S_{△ ABC}=8$代入得：
$\frac{8}{S_{△ A'B'C'}}=\frac{4}{9}$，
解得 $S_{△ A'B'C'}=18$。
【答案】
$18$
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的性质；相似比与面积比关系
【点评】
本题属于位似的基础应用题，解题的关键是准确计算两个位似三角形的相似比，注意不要将两个三角形的相似比顺序搞反，结合相似三角形面积比的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7

1.如图，AB//CD，AC与BD相交于点O，则△AOB与△COD 位似图形（填“是”或“不是”）。

是

【分析】
要判断两个图形是否为位似图形，需先明确位似图形的两个核心判定条件：①两个图形首先是相似图形；②两个图形的对应顶点连线相交于同一点，且对应边互相平行或共线。我们可以先结合AB//CD的条件证明两个三角形相似，再验证对应顶点连线、对应边的关系，即可得出结论。
【解析】
1. 证明△AOB与△COD相似
∵AB//CD，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AOB=∠COD（对顶角相等），
∴△AOB∽△COD。
2. 验证位似图形的判定条件
观察图形可得：△AOB和△COD的对应顶点A与C、B与D、O与O的连线均交于点O，且对应边AB//CD，OA与OC共线、OB与OD共线，满足位似图形的定义。
因此△AOB与△COD是位似图形。
【答案】
是
【知识点】
位似图形的判定；相似三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题时要注意位似图形是特殊的相似图形，必须同时满足相似、对应顶点连线共点、对应边平行或共线这几个条件，不要漏查条件直接判断。
【难度系数】
0.8

2.如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA'上.若OA：AA'=1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为.

$\boldsymbol{1:3}$

【分析】
解决本题首先要回忆位似图形的性质：位似图形属于特殊的相似图形，其相似比等于对应顶点到位似中心的距离之比；同时相似三角形的周长比等于相似比。解题时先根据已知的OA与AA'的比例关系，求出OA与OA'的比值（即两个三角形的相似比），再结合相似三角形周长和相似比的关系即可得到周长比。
【解析】
∵△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A'B'C'，且相似比为$OA:OA'$。
已知$OA:AA'=1:2$，即$AA'=2OA$，
∴$OA'=OA+AA'=OA+2OA=3OA$，
∴$OA:OA'=1:3$，即两个三角形的相似比为$1:3$。
又
∵相似三角形的周长之比等于相似比，
∴△ABC与△A'B'C'的周长之比为$1:3$。
【答案】
$\boldsymbol{1:3}$
【知识点】
位似图形性质，相似三角形周长性质，比例计算
【点评】
本题是位似与相似性质结合的基础题，解题核心是正确推导对应顶点到位似中心的距离比，要注意避免误将OA与AA'的比当作相似比，掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

3.如图所示，四边形木框ABCD在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形$A'B'C'D'$，若$AB:A'B'=1:2$，则四边形ABCD的面积：四边形$A'B'C'D'$的面积为()

A.$4:1$
B.$\sqrt{2}:1$
C.$1:\sqrt{2}$
D.$1:4$

D

【分析】
首先根据点光源照射形成影子的特征，可判断四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，位似比等于对应边AB与A'B'的比1:2；位似图形属于特殊的相似图形，根据相似图形的面积比等于相似比的平方这一性质，即可求出两个四边形的面积之比。
【解析】
解：由题意可知，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以灯泡为位似中心的位似图形，
∴ 两个四边形相似，且相似比为$AB:A'B'=1:2$，
∵ 相似图形的面积比等于相似比的平方，
∴ $S_{四边形ABCD}:S_{四边形A'B'C'D'}=(1:2)^2=1:4$。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质，相似图形面积比规律
【点评】
本题是位似性质的基础应用题，解题关键是理解位似是特殊的相似，掌握相似图形面积比等于相似比的平方，注意不要混淆面积比和边长比的关系。
【难度系数】
0.8

4.如图所示,两个三角形是位似图形,它们的位似中心是()

A.点P
B.点O
C.点M
D.点N

A

【分析】要确定位似图形的位似中心，首先回忆位似图形的核心性质：位似图形所有对应顶点的连线都会相交于同一个点，这个公共交点就是位似中心。解题时只需找到两个三角形的对应顶点，分别连接对应顶点并延长，找到所有连线共同经过的点即可。
【解析】根据位似中心的定义，位似图形的对应顶点连线共点，该点就是位似中心。将图中两个三角形的三组对应顶点分别连接并延长，可发现所有对应顶点的连线都经过点P，因此这两个位似三角形的位似中心是点P。
【答案】A
【知识点】位似图形性质；位似中心确定
【点评】本题考查位似中心的判定，属于基础题型，熟练掌握位似图形的基本性质就能快速解题。
【难度系数】0.8

5. 下列说法不正确的是()

A.位似图形一定是相似图形
B.相似图形不一定是位似图形
C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行

D

【分析】
解题时首先要明确位似图形的定义、性质以及位似与相似图形的关系，再逐一判断每个选项的正误：首先回忆位似是特殊的相似图形，具备相似的所有性质，同时有自身独有的特征（对应点连线交于位似中心、对应点到位似中心的距离比等于相似比等），再逐个核对选项描述是否符合这些特征，最终选出错误的选项。
【解析】
结合位似图形的相关概念逐一分析选项：
A. 位似图形的定义前提就是两个图形相似，因此位似图形一定是相似图形，该选项说法正确；
B. 相似图形仅要求形状相同，不需要满足“对应点连线交于同一点、对应边平行或共线”的位似要求，因此相似图形不一定是位似图形，该选项说法正确；
C. 根据位似图形的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，该选项说法正确；
D. 位似图形中每组对应点所在的直线都经过位似中心，是相交于位似中心的，并不会相互平行，该选项说法错误。
因此本题选说法不正确的选项即可。
【答案】
D
【知识点】
位似的定义；位似与相似的关系；位似的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对位似图形核心特征的掌握情况，只要准确区分相似和位似的异同，牢记位似图形的性质即可快速作答，注意不要混淆位似对应线的特征。
【难度系数】
0.8