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例1 某斜坡水平距离$l=5\sqrt{3}$，竖直高度$h=5$，求该斜坡的坡度$i$和坡角$α$。
【思路导析】$i=\frac{h}{l}$，$\tanα=i$。
【请你解答】
【思路导析】$i=\frac{h}{l}$，$\tanα=i$。
【请你解答】
答案
解：
斜坡的坡度 $i=\frac{h}{l}=\frac{5}{5\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=1:\sqrt{3}$。
由 $\tanα = i = \frac{\sqrt{3}}{3}$，且 $α$ 是锐角，可得 $α=30°$。
答：该斜坡的坡度$i$为$1:\sqrt{3}$，坡角$α$为$30°$。
斜坡的坡度 $i=\frac{h}{l}=\frac{5}{5\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=1:\sqrt{3}$。
由 $\tanα = i = \frac{\sqrt{3}}{3}$，且 $α$ 是锐角，可得 $α=30°$。
答：该斜坡的坡度$i$为$1:\sqrt{3}$，坡角$α$为$30°$。
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心概念：①坡度i的定义为斜坡竖直高度h与水平距离l的比值，计算公式为$i=\frac{h}{l}$；②坡角α是斜坡与水平面的夹角，满足$\tanα=i$。解题第一步先代入已知的h、l的值计算坡度，第二步根据坡度求出$\tanα$的数值，再结合特殊锐角的三角函数值即可求出坡角α。
【解析】
1. 计算坡度：
根据坡度的定义可得$i=\frac{h}{l}$，将$h=5$，$l=5\sqrt{3}$代入得：
$i=\frac{5}{5\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=1:\sqrt{3}$
2. 计算坡角：
由坡角和坡度的关系可知$\tanα=i=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又因为α为锐角，结合特殊角的三角函数值可得$α=30°$。
【答案】
该斜坡的坡度$i$为$1:\sqrt{3}$，坡角$α$为$30°$。
【知识点】
坡度的定义、坡角与坡度的关系、特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于解直角三角形实际应用的基础题型，核心是对坡度、坡角相关概念的掌握，只要牢记对应公式和常见特殊角的三角函数值，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两个核心概念：①坡度i的定义为斜坡竖直高度h与水平距离l的比值，计算公式为$i=\frac{h}{l}$；②坡角α是斜坡与水平面的夹角，满足$\tanα=i$。解题第一步先代入已知的h、l的值计算坡度，第二步根据坡度求出$\tanα$的数值，再结合特殊锐角的三角函数值即可求出坡角α。
【解析】
1. 计算坡度：
根据坡度的定义可得$i=\frac{h}{l}$，将$h=5$，$l=5\sqrt{3}$代入得：
$i=\frac{5}{5\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=1:\sqrt{3}$
2. 计算坡角：
由坡角和坡度的关系可知$\tanα=i=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又因为α为锐角，结合特殊角的三角函数值可得$α=30°$。
【答案】
该斜坡的坡度$i$为$1:\sqrt{3}$，坡角$α$为$30°$。
【知识点】
坡度的定义、坡角与坡度的关系、特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于解直角三角形实际应用的基础题型，核心是对坡度、坡角相关概念的掌握，只要牢记对应公式和常见特殊角的三角函数值，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
图1 例2 如图,在坡度为$1:2$的山坡上种树,要求相邻两棵树的水平距离是6 m,那么斜坡上相邻两棵树的坡面距离是多少?
【思路导析】由 $i = \frac{h}{l}$ 求$h$,再求出斜边$AB$.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】由 $i = \frac{h}{l}$ 求$h$,再求出斜边$AB$.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：由题意得，在Rt△ABC中，∠C=90°，相邻两棵树的水平距离AC=6m，山坡坡度$i=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$。
$\therefore BC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{m}$。
由勾股定理，得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
答：斜坡上相邻两棵树的坡面距离是$3\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
$\therefore BC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{m}$。
由勾股定理，得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
答：斜坡上相邻两棵树的坡面距离是$3\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】要计算斜坡上相邻两棵树的坡面距离，需将实际问题转化为直角三角形的边长求解问题，思考步骤如下：
1. 首先明确图中Rt△ABC中，∠C为直角，AC是已知的相邻两树水平距离6m，BC是两树的竖直高度差，待求的坡面距离就是斜边AB。
2. 回忆坡度的定义：坡度i是坡面垂直高度和水平宽度的比值，即$i=\frac{BC}{AC}$，已知坡度为1:2，可先求出竖直高度BC的长度。
3. 得到两条直角边的长度后，用勾股定理即可求出斜边AB的长度。
【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，由题意得相邻两棵树的水平距离$AC=6\ \mathrm{m}$，山坡坡度$i=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$。
$\therefore BC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{m}$
根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\ \mathrm{m}$
【答案】$3\sqrt{5}\ \mathrm{m}$
【知识点】坡度的定义，勾股定理，解直角三角形应用
【点评】本题是直角三角形知识在实际生活中的基础应用题型，解题核心是准确理解坡度的含义，将实际场景转化为直角三角形的边长计算问题，结合勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】0.8
1. 首先明确图中Rt△ABC中，∠C为直角，AC是已知的相邻两树水平距离6m，BC是两树的竖直高度差，待求的坡面距离就是斜边AB。
2. 回忆坡度的定义：坡度i是坡面垂直高度和水平宽度的比值，即$i=\frac{BC}{AC}$，已知坡度为1:2，可先求出竖直高度BC的长度。
3. 得到两条直角边的长度后，用勾股定理即可求出斜边AB的长度。
【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，由题意得相邻两棵树的水平距离$AC=6\ \mathrm{m}$，山坡坡度$i=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$。
$\therefore BC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{m}$
根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\ \mathrm{m}$
【答案】$3\sqrt{5}\ \mathrm{m}$
【知识点】坡度的定义，勾股定理，解直角三角形应用
【点评】本题是直角三角形知识在实际生活中的基础应用题型，解题核心是准确理解坡度的含义，将实际场景转化为直角三角形的边长计算问题，结合勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】0.8
例3 如图,梯形ABCD是拦水坝的横
断面图(图中$i=1:\sqrt{3}$是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比),$∠ B=60°,AB=6,AD=4$,求拦水坝的横断面ABCD的面积(结果保留三位有效数字.参考数据:$\sqrt{3}\approx1.732,\sqrt{2}\approx1.414$).
【探究点拨】由梯形的面积计算公式知需求高和下底.
【规范解答】过点A作$AH⊥ BC$,垂足为H,则$DE=AH,HE=AD=4$.
在$Rt△ AHB$中,
$AH=AB·\sin∠ B=6×\sin60°$
$=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$,
$BH=AB·\cos∠ B=6×\cos60°=6×\frac{1}{2}=3$.
在$Rt△ DEC$中,如图,过点D作$DE⊥ BC$,
$i=\frac{DE}{EC},EC=\frac{DE}{i}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=9$.
$\therefore BC=BH+HE+EC=3+4+9=16$.
$S_{梯}=\frac{1}{2}(AD+BC)× AH$
$=\frac{1}{2}(4+16)×3\sqrt{3}\approx52.0$.
答:拦水坝的横断面ABCD的面积为52.0.
断面图(图中$i=1:\sqrt{3}$是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比),$∠ B=60°,AB=6,AD=4$,求拦水坝的横断面ABCD的面积(结果保留三位有效数字.参考数据:$\sqrt{3}\approx1.732,\sqrt{2}\approx1.414$).
【探究点拨】由梯形的面积计算公式知需求高和下底.
【规范解答】过点A作$AH⊥ BC$,垂足为H,则$DE=AH,HE=AD=4$.
在$Rt△ AHB$中,
$AH=AB·\sin∠ B=6×\sin60°$
$=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$,
$BH=AB·\cos∠ B=6×\cos60°=6×\frac{1}{2}=3$.
在$Rt△ DEC$中,如图,过点D作$DE⊥ BC$,
$i=\frac{DE}{EC},EC=\frac{DE}{i}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=9$.
$\therefore BC=BH+HE+EC=3+4+9=16$.
$S_{梯}=\frac{1}{2}(AD+BC)× AH$
$=\frac{1}{2}(4+16)×3\sqrt{3}\approx52.0$.
答:拦水坝的横断面ABCD的面积为52.0.
答案
解：
过点A作$AH⊥ BC$，垂足为H，过点D作$DE⊥ BC$，垂足为E。
由梯形$ABCD$中$AD// BC$，可得$AH=DE$，$HE=AD=4$。
在$\mathrm{Rt}△ AHB$中，$∠ B=60°$，$AB=6$：
$AH = AB· \sin∠ B = 6×\sin60° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，
$BH = AB· \cos∠ B = 6×\cos60° = 6×\frac{1}{2}=3$。
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，由坡度定义$i=\frac{DE}{CE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，且$DE=AH=3\sqrt{3}$：
$CE=\frac{DE}{i}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=9$。
$\therefore BC = BH + HE + CE = 3+4+9=16$。
梯形$ABCD$的面积：
$S_{\mathrm{梯形}ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)· AH=\frac{1}{2}×(4+16)×3\sqrt{3}=30\sqrt{3}\approx30×1.732=52.0$。
答：拦水坝的横断面$ABCD$的面积约为52.0。
过点A作$AH⊥ BC$，垂足为H，过点D作$DE⊥ BC$，垂足为E。
由梯形$ABCD$中$AD// BC$，可得$AH=DE$，$HE=AD=4$。
在$\mathrm{Rt}△ AHB$中，$∠ B=60°$，$AB=6$：
$AH = AB· \sin∠ B = 6×\sin60° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，
$BH = AB· \cos∠ B = 6×\cos60° = 6×\frac{1}{2}=3$。
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，由坡度定义$i=\frac{DE}{CE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，且$DE=AH=3\sqrt{3}$：
$CE=\frac{DE}{i}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=9$。
$\therefore BC = BH + HE + CE = 3+4+9=16$。
梯形$ABCD$的面积：
$S_{\mathrm{梯形}ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)· AH=\frac{1}{2}×(4+16)×3\sqrt{3}=30\sqrt{3}\approx30×1.732=52.0$。
答：拦水坝的横断面$ABCD$的面积约为52.0。
解析
【分析】
要求梯形ABCD的面积，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，已知上底$AD=4$，因此需要先求出梯形的高和下底$BC$的长度。我们可以通过过A、D分别作BC的垂线，将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形，先在$Rt△ AHB$中利用三角函数求出高$AH$和线段$BH$的长度，再根据坡面坡度的定义求出$CE$的长度，进而得到$BC$的长，最后代入面积公式计算，结果按要求保留三位有效数字即可。
【解析】
过点A作$AH⊥ BC$，垂足为H，过点D作$DE⊥ BC$，垂足为E。
由梯形$ABCD$中$AD// BC$，可得$AH=DE$，$HE=AD=4$。
在$\mathrm{Rt}△ AHB$中，$∠ B=60°$，$AB=6$：
$AH = AB· \sin∠ B = 6×\sin60° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，
$BH = AB· \cos∠ B = 6×\cos60° = 6×\frac{1}{2}=3$。
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，由坡度定义$i=\frac{DE}{CE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，且$DE=AH=3\sqrt{3}$：
$CE=\frac{DE}{i}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=9$。
$\therefore BC = BH + HE + CE = 3+4+9=16$。
梯形$ABCD$的面积：
$S_{\mathrm{梯形}ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)· AH=\frac{1}{2}×(4+16)×3\sqrt{3}=30\sqrt{3}\approx30×1.732=52.0$。
【答案】
拦水坝的横断面ABCD的面积约为52.0
【知识点】
解直角三角形的应用；梯形面积计算；坡度的定义
【点评】
本题结合拦水坝横断面的实际场景，考查了梯形与解直角三角形的综合应用，解题的关键是通过作高的辅助线将梯形转化为熟悉的直角三角形和矩形，再结合三角函数、坡度的性质求解未知量，计算时需注意有效数字的保留要求。
【难度系数】
0.6
要求梯形ABCD的面积，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，已知上底$AD=4$，因此需要先求出梯形的高和下底$BC$的长度。我们可以通过过A、D分别作BC的垂线，将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形，先在$Rt△ AHB$中利用三角函数求出高$AH$和线段$BH$的长度，再根据坡面坡度的定义求出$CE$的长度，进而得到$BC$的长，最后代入面积公式计算，结果按要求保留三位有效数字即可。
【解析】
过点A作$AH⊥ BC$，垂足为H，过点D作$DE⊥ BC$，垂足为E。
由梯形$ABCD$中$AD// BC$，可得$AH=DE$，$HE=AD=4$。
在$\mathrm{Rt}△ AHB$中，$∠ B=60°$，$AB=6$：
$AH = AB· \sin∠ B = 6×\sin60° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，
$BH = AB· \cos∠ B = 6×\cos60° = 6×\frac{1}{2}=3$。
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，由坡度定义$i=\frac{DE}{CE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，且$DE=AH=3\sqrt{3}$：
$CE=\frac{DE}{i}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=9$。
$\therefore BC = BH + HE + CE = 3+4+9=16$。
梯形$ABCD$的面积：
$S_{\mathrm{梯形}ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)· AH=\frac{1}{2}×(4+16)×3\sqrt{3}=30\sqrt{3}\approx30×1.732=52.0$。
【答案】
拦水坝的横断面ABCD的面积约为52.0
【知识点】
解直角三角形的应用；梯形面积计算；坡度的定义
【点评】
本题结合拦水坝横断面的实际场景，考查了梯形与解直角三角形的综合应用，解题的关键是通过作高的辅助线将梯形转化为熟悉的直角三角形和矩形，再结合三角函数、坡度的性质求解未知量，计算时需注意有效数字的保留要求。
【难度系数】
0.6
变式探究
一段路基的横断面是直角梯形，如图所示，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有的土石方进行坡面
改造，使坡度减小，达到如图所示的技术要求，试求出改造后坡面的坡度是多少？
一段路基的横断面是直角梯形，如图所示，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有的土石方进行坡面
改造，使坡度减小，达到如图所示的技术要求，试求出改造后坡面的坡度是多少？
答案
解析
【分析】解题的核心突破口是“不改变土石方量”即改造前后路基横断面的面积相等。解题思路如下：①先在原直角梯形中，利用坡角α的正弦值求出原坡面的水平长度，结合梯形面积公式算出原横断面面积；②根据面积相等，求出改造后坡面的水平宽度；③最后根据坡度的定义（竖直高度与水平宽度的比值）计算改造后的坡度。
【解析】
过点B作BE⊥DC于点E，可知BE=AD=30m，DE=AB=20m。
在Rt△BEC中，$\sinα=\frac{BE}{BC}=0.6$，BE=30m，
∴$BC=\frac{BE}{0.6}=30÷0.6=50\mathrm{m}$，
由勾股定理得：$EC=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{50^2-30^2}=40\mathrm{m}$，
原直角梯形ABCD的面积：
$S=\frac{(AB+DC)× AD}{2}=\frac{(20+20+40)×30}{2}=1200\mathrm{m}^2$。
设改造后坡面的水平宽度$E_1C_1$为$x$m，改造后梯形高为20m，上底$A_1B_1=20\mathrm{m}$，
因为土石方量不变，改造前后面积相等，得：
$\frac{(20 + 20 + x)×20}{2}=1200$
化简得：$10×(40+x)=1200$，解得$x=80$。
根据坡度定义，改造后坡面的坡度$i=$竖直高度$:$水平宽度$=20:80=1:4$。
【答案】改造后坡面的坡度是$\boldsymbol{1:4}$
【知识点】坡度坡角计算，梯形面积计算，勾股定理
【点评】本题将工程实际问题转化为解直角三角形与面积计算的数学问题，核心是抓住“土石方量不变即横断面积相等”的隐含条件，能有效考查学生知识迁移与实际应用的能力。
【难度系数】
0.6
【解析】
过点B作BE⊥DC于点E，可知BE=AD=30m，DE=AB=20m。
在Rt△BEC中，$\sinα=\frac{BE}{BC}=0.6$，BE=30m，
∴$BC=\frac{BE}{0.6}=30÷0.6=50\mathrm{m}$，
由勾股定理得：$EC=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{50^2-30^2}=40\mathrm{m}$，
原直角梯形ABCD的面积：
$S=\frac{(AB+DC)× AD}{2}=\frac{(20+20+40)×30}{2}=1200\mathrm{m}^2$。
设改造后坡面的水平宽度$E_1C_1$为$x$m，改造后梯形高为20m，上底$A_1B_1=20\mathrm{m}$，
因为土石方量不变，改造前后面积相等，得：
$\frac{(20 + 20 + x)×20}{2}=1200$
化简得：$10×(40+x)=1200$，解得$x=80$。
根据坡度定义，改造后坡面的坡度$i=$竖直高度$:$水平宽度$=20:80=1:4$。
【答案】改造后坡面的坡度是$\boldsymbol{1:4}$
【知识点】坡度坡角计算，梯形面积计算，勾股定理
【点评】本题将工程实际问题转化为解直角三角形与面积计算的数学问题，核心是抓住“土石方量不变即横断面积相等”的隐含条件，能有效考查学生知识迁移与实际应用的能力。
【难度系数】
0.6
