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1.一斜坡的坡度为$1:\sqrt{3}$，则坡角$α=$.
答案
$\boldsymbol{30°}$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步先明确坡度的定义，坡度是坡面铅直高度与水平宽度的比值，且坡度值等于坡角的正切值，即$\tanα=$坡度$i$；第二步将题目给出的坡度$1:\sqrt{3}$代入，计算得到$\tanα$的具体数值；第三步结合特殊角的三角函数值，找到对应正切值的锐角，即可得到坡角$α$的度数。
【解析】
解：根据坡度的定义可知，坡度$i$等于坡角的正切值，即：
$i = \tanα = \frac{\mathrm{铅直高度}}{\mathrm{水平宽度}}$
已知斜坡坡度为$1:\sqrt{3}$，代入得：
$\tanα = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
因为坡角$α$是锐角（$0°＜α＜90°$），且$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此$α=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
坡度的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是基础应用题，核心考查坡度和坡角的对应关系，只要牢记坡度等于坡角的正切值、熟记常见特殊角的三角函数值，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时可按以下思路推导：第一步先明确坡度的定义，坡度是坡面铅直高度与水平宽度的比值，且坡度值等于坡角的正切值，即$\tanα=$坡度$i$；第二步将题目给出的坡度$1:\sqrt{3}$代入，计算得到$\tanα$的具体数值；第三步结合特殊角的三角函数值，找到对应正切值的锐角，即可得到坡角$α$的度数。
【解析】
解：根据坡度的定义可知，坡度$i$等于坡角的正切值，即：
$i = \tanα = \frac{\mathrm{铅直高度}}{\mathrm{水平宽度}}$
已知斜坡坡度为$1:\sqrt{3}$，代入得：
$\tanα = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
因为坡角$α$是锐角（$0°＜α＜90°$），且$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此$α=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
坡度的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是基础应用题，核心考查坡度和坡角的对应关系，只要牢记坡度等于坡角的正切值、熟记常见特殊角的三角函数值，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
2.如图是河堤的横断面，堤高$BC=5\ \mathrm{m}$，$AB=13\ \mathrm{m}$，则斜坡$AB$的坡度$i=$。
答案
$\boldsymbol{1:2.4}$（或$5:12$）
解析
【分析】
要计算斜坡AB的坡度，首先明确坡度的定义：坡度是斜坡的铅直高度与水平宽度的比值。因此我们需要先求出斜坡AB的水平宽度AC的长度，已知△ABC是直角三角形，可通过勾股定理计算AC，再代入坡度公式求解即可。
【解析】
由题意可知$BC⊥ AC$，即$△ ABC$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=13\ \mathrm{m}$，$BC=5\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{m}$
根据坡度的定义，斜坡AB的坡度$i$为铅直高度与水平宽度的比，即：
$i=BC:AC=5:12=1:2.4$
【答案】
$1:2.4$（或$5:12$）
【知识点】
勾股定理，坡度的定义
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是牢记坡度的定义，先结合勾股定理求出斜坡的水平宽度，再计算坡度，计算时注意不要把水平宽度和铅直高度的顺序搞反。
【难度系数】
0.8
要计算斜坡AB的坡度，首先明确坡度的定义：坡度是斜坡的铅直高度与水平宽度的比值。因此我们需要先求出斜坡AB的水平宽度AC的长度，已知△ABC是直角三角形，可通过勾股定理计算AC，再代入坡度公式求解即可。
【解析】
由题意可知$BC⊥ AC$，即$△ ABC$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=13\ \mathrm{m}$，$BC=5\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{m}$
根据坡度的定义，斜坡AB的坡度$i$为铅直高度与水平宽度的比，即：
$i=BC:AC=5:12=1:2.4$
【答案】
$1:2.4$（或$5:12$）
【知识点】
勾股定理，坡度的定义
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是牢记坡度的定义，先结合勾股定理求出斜坡的水平宽度，再计算坡度，计算时注意不要把水平宽度和铅直高度的顺序搞反。
【难度系数】
0.8
3.小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了1000 m，则他上升了 m.
答案
解：设他上升的竖直高度为$ x \, \mathrm{m} $。
由坡度为$ 1:2 $，可得他行走对应的水平宽度为$ 2x \, \mathrm{m} $。
根据勾股定理列方程：
$x^2 + (2x)^2 = 1000^2$
整理得：
$5x^2 = 1000000$
解得$ x = 200\sqrt{5} $（负值不符合实际，舍去）。
答：他上升了$ 200\sqrt{5} \, \mathrm{m} $。
由坡度为$ 1:2 $，可得他行走对应的水平宽度为$ 2x \, \mathrm{m} $。
根据勾股定理列方程：
$x^2 + (2x)^2 = 1000^2$
整理得：
$5x^2 = 1000000$
解得$ x = 200\sqrt{5} $（负值不符合实际，舍去）。
答：他上升了$ 200\sqrt{5} \, \mathrm{m} $。
解析
【分析】
首先明确坡度的定义：坡度是坡面的竖直高度与水平宽度的比值。本题已知坡度为1:2，坡面长度为1000m，要求上升的竖直高度，可以设竖直高度为x m，对应水平宽度就是2x m，坡面长度是直角三角形的斜边，结合勾股定理列方程求解，最后根据实际意义舍去不符合的根即可。
【解析】
设他上升的竖直高度为$ x \, \mathrm{m} $。
由坡度为$ 1:2 $，可知竖直高度与水平宽度的比为1:2，因此对应的水平宽度为$ 2x \, \mathrm{m} $。
坡面长度为直角三角形的斜边，根据勾股定理列方程：
$x^2 + (2x)^2 = 1000^2$
整理得：
$5x^2 = 1000000$
即$x^2=200000$，解得$ x = 200\sqrt{5} $（负值不符合实际长度的意义，舍去）。
【答案】
$200\sqrt{5}$
【知识点】
坡度的概念；勾股定理的应用
【点评】
本题是解直角三角形的典型基础应用题，解题关键是正确理解坡度的含义，结合直角三角形的勾股定理建立方程求解，注意实际问题中要舍去不符合实际意义的负根。
【难度系数】
0.7
首先明确坡度的定义：坡度是坡面的竖直高度与水平宽度的比值。本题已知坡度为1:2，坡面长度为1000m，要求上升的竖直高度，可以设竖直高度为x m，对应水平宽度就是2x m，坡面长度是直角三角形的斜边，结合勾股定理列方程求解，最后根据实际意义舍去不符合的根即可。
【解析】
设他上升的竖直高度为$ x \, \mathrm{m} $。
由坡度为$ 1:2 $，可知竖直高度与水平宽度的比为1:2，因此对应的水平宽度为$ 2x \, \mathrm{m} $。
坡面长度为直角三角形的斜边，根据勾股定理列方程：
$x^2 + (2x)^2 = 1000^2$
整理得：
$5x^2 = 1000000$
即$x^2=200000$，解得$ x = 200\sqrt{5} $（负值不符合实际长度的意义，舍去）。
【答案】
$200\sqrt{5}$
【知识点】
坡度的概念；勾股定理的应用
【点评】
本题是解直角三角形的典型基础应用题，解题关键是正确理解坡度的含义，结合直角三角形的勾股定理建立方程求解，注意实际问题中要舍去不符合实际意义的负根。
【难度系数】
0.7
4.如图,小明在距离地面30m的P处测得A处的俯角为$15°$,B处的俯角为$60°$.若斜面AB的坡度为$1:\sqrt{3}$,则斜坡AB的长是m.
答案
解：
过点A作AF⊥HB，交HB的延长线于点F。
由题意得：$PH=30\ \mathrm{m}$，$PH⊥ HB$，过点P的水平虚线平行于HB，
$\therefore ∠ PBH=60°$，$∠ APB=60°-15°=45°$。
$\because$ 斜面AB的坡度为$1:\sqrt{3}$，即$\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore \tan∠ ABF=\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore ∠ ABF=30°$，
$\therefore ∠ PBA=180°-∠ PBH-∠ ABF=180°-60°-30°=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ PHB$中，$∠ PHB=90°$，$∠ PBH=60°$，$PH=30\ \mathrm{m}$，
$\therefore PB=\dfrac{PH}{\sin60°}=\dfrac{30}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ PAB$中，$∠ APB=45°$，$∠ PBA=90°$，
$\therefore AB=PB=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
答：斜坡AB的长是$\boldsymbol{20\sqrt{3}}$ m。
过点A作AF⊥HB，交HB的延长线于点F。
由题意得：$PH=30\ \mathrm{m}$，$PH⊥ HB$，过点P的水平虚线平行于HB，
$\therefore ∠ PBH=60°$，$∠ APB=60°-15°=45°$。
$\because$ 斜面AB的坡度为$1:\sqrt{3}$，即$\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore \tan∠ ABF=\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore ∠ ABF=30°$，
$\therefore ∠ PBA=180°-∠ PBH-∠ ABF=180°-60°-30°=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ PHB$中，$∠ PHB=90°$，$∠ PBH=60°$，$PH=30\ \mathrm{m}$，
$\therefore PB=\dfrac{PH}{\sin60°}=\dfrac{30}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ PAB$中，$∠ APB=45°$，$∠ PBA=90°$，
$\therefore AB=PB=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
答：斜坡AB的长是$\boldsymbol{20\sqrt{3}}$ m。
解析
【分析】
这是解直角三角形的实际应用问题，解题可按以下步骤思考：①先利用平行线的性质，把P处的俯角转化为△PAB和Rt△PHB的内角，得到∠APB=45°，∠PBH=60°；②根据斜面AB的坡度，求出AB与水平面的夹角∠ABF=30°，进而计算出∠PBA=90°，确定△PAB是等腰直角三角形；③先在Rt△PHB中，利用特殊角的三角函数值求出PB的长度，再根据等腰直角三角形两直角边相等的性质，即可得到AB的长度。
【解析】
过点A作AF⊥HB，交HB的延长线于点F。
由题意得：$PH=30\ \mathrm{m}$，$PH⊥ HB$，过点P的水平虚线平行于HB，
$\therefore ∠ PBH=60°$，$∠ APB=60°-15°=45°$。
$\because$ 斜面AB的坡度为$1:\sqrt{3}$，即$\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore \tan∠ ABF=\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore ∠ ABF=30°$，
$\therefore ∠ PBA=180°-∠ PBH-∠ ABF=180°-60°-30°=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ PHB$中，$∠ PHB=90°$，$∠ PBH=60°$，$PH=30\ \mathrm{m}$，
$\therefore PB=\dfrac{PH}{\sin60°}=\dfrac{30}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ PAB$中，$∠ APB=45°$，$∠ PBA=90°$，
$\therefore AB=PB=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$20\sqrt{3}$
【知识点】
俯角的概念，坡度的概念，解直角三角形的应用
【点评】
本题将俯角、坡度与解直角三角形相结合，考查了将实际问题转化为几何问题的能力，解题的关键是准确进行角度换算，找到特殊三角形的边角关系，同时需要熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.6
这是解直角三角形的实际应用问题，解题可按以下步骤思考：①先利用平行线的性质，把P处的俯角转化为△PAB和Rt△PHB的内角，得到∠APB=45°，∠PBH=60°；②根据斜面AB的坡度，求出AB与水平面的夹角∠ABF=30°，进而计算出∠PBA=90°，确定△PAB是等腰直角三角形；③先在Rt△PHB中，利用特殊角的三角函数值求出PB的长度，再根据等腰直角三角形两直角边相等的性质，即可得到AB的长度。
【解析】
过点A作AF⊥HB，交HB的延长线于点F。
由题意得：$PH=30\ \mathrm{m}$，$PH⊥ HB$，过点P的水平虚线平行于HB，
$\therefore ∠ PBH=60°$，$∠ APB=60°-15°=45°$。
$\because$ 斜面AB的坡度为$1:\sqrt{3}$，即$\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore \tan∠ ABF=\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，
$\therefore ∠ ABF=30°$，
$\therefore ∠ PBA=180°-∠ PBH-∠ ABF=180°-60°-30°=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ PHB$中，$∠ PHB=90°$，$∠ PBH=60°$，$PH=30\ \mathrm{m}$，
$\therefore PB=\dfrac{PH}{\sin60°}=\dfrac{30}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ PAB$中，$∠ APB=45°$，$∠ PBA=90°$，
$\therefore AB=PB=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$20\sqrt{3}$
【知识点】
俯角的概念，坡度的概念，解直角三角形的应用
【点评】
本题将俯角、坡度与解直角三角形相结合，考查了将实际问题转化为几何问题的能力，解题的关键是准确进行角度换算，找到特殊三角形的边角关系，同时需要熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.6
5.有一处斜坡分为MO与NO两段,如图所示,
MO=NO=8 m,MO段的坡度为1:1,NO段的坡度为1:$\sqrt{3}$,则∠MON=°.若将两段斜坡建造成台阶,且每一级台阶的高度不超过15 cm,则这一处斜坡最少可以建造的台阶数为级(参考数据:$\sqrt{2}$≈1.41,$\sqrt{3}$≈1.73).
MO=NO=8 m,MO段的坡度为1:1,NO段的坡度为1:$\sqrt{3}$,则∠MON=°.若将两段斜坡建造成台阶,且每一级台阶的高度不超过15 cm,则这一处斜坡最少可以建造的台阶数为级(参考数据:$\sqrt{2}$≈1.41,$\sqrt{3}$≈1.73).
答案
$\boldsymbol{105}$；$\boldsymbol{65}$
解析
【分析】
首先解决第一问求∠MON：先明确坡度是坡面铅直高度和水平宽度的比值，等于坡面与水平面夹角的正切值，据此先算出MO、NO分别与水平面的夹角，再结合平角为180°即可求出∠MON的度数。
再解决第二问求最少台阶数：要使台阶数最少，每级台阶高度应取最大值15cm，先分别算出MO段、NO段的铅直高度，求和得到总高度，用总高度除以单级台阶最大高度，结果用进一法取整数即为最少台阶数。
【解析】
1. 计算∠MON的度数：
设MO与水平面的夹角为α，已知MO段坡度为1:1，即$\tanα=\frac{1}{1}=1$，因此$α=45°$。
设NO与水平面的夹角为β，已知NO段坡度为$1:\sqrt{3}$，即$\tanβ=\frac{1}{\sqrt{3}}$，因此$β=30°$。
由平角性质可得$α+β+∠ MON=180°$，代入得：
$∠ MON=180°-45°-30°=105°$。
2. 计算最少台阶数：
先算两段斜坡的总铅直高度：
MO段铅直高度$h_1=MO·\sin45°=8×\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\approx4×1.41=5.64\ \mathrm{m}$，
NO段铅直高度$h_2=NO·\sin30°=8×0.5=4\ \mathrm{m}$，
总高度$H=h_1+h_2\approx5.64+4=9.64\ \mathrm{m}=964\ \mathrm{cm}$。
每级台阶高度最大取15cm，台阶数$n=\frac{964}{15}\approx64.27$，台阶数需为正整数且要覆盖全部高度，因此向上取整得$n=65$。
【答案】
$\boldsymbol{105}$；$\boldsymbol{65}$
【知识点】
坡度的概念，解直角三角形，进一法取整
【点评】
本题结合生活中的斜坡改造问题考查解直角三角形的实际应用，解题核心是正确理解坡度的含义，计算台阶数时注意需用进一法取整，避免出现高度不足的问题。
【难度系数】
0.65
首先解决第一问求∠MON：先明确坡度是坡面铅直高度和水平宽度的比值，等于坡面与水平面夹角的正切值，据此先算出MO、NO分别与水平面的夹角，再结合平角为180°即可求出∠MON的度数。
再解决第二问求最少台阶数：要使台阶数最少，每级台阶高度应取最大值15cm，先分别算出MO段、NO段的铅直高度，求和得到总高度，用总高度除以单级台阶最大高度，结果用进一法取整数即为最少台阶数。
【解析】
1. 计算∠MON的度数：
设MO与水平面的夹角为α，已知MO段坡度为1:1，即$\tanα=\frac{1}{1}=1$，因此$α=45°$。
设NO与水平面的夹角为β，已知NO段坡度为$1:\sqrt{3}$，即$\tanβ=\frac{1}{\sqrt{3}}$，因此$β=30°$。
由平角性质可得$α+β+∠ MON=180°$，代入得：
$∠ MON=180°-45°-30°=105°$。
2. 计算最少台阶数：
先算两段斜坡的总铅直高度：
MO段铅直高度$h_1=MO·\sin45°=8×\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\approx4×1.41=5.64\ \mathrm{m}$，
NO段铅直高度$h_2=NO·\sin30°=8×0.5=4\ \mathrm{m}$，
总高度$H=h_1+h_2\approx5.64+4=9.64\ \mathrm{m}=964\ \mathrm{cm}$。
每级台阶高度最大取15cm，台阶数$n=\frac{964}{15}\approx64.27$，台阶数需为正整数且要覆盖全部高度，因此向上取整得$n=65$。
【答案】
$\boldsymbol{105}$；$\boldsymbol{65}$
【知识点】
坡度的概念，解直角三角形，进一法取整
【点评】
本题结合生活中的斜坡改造问题考查解直角三角形的实际应用，解题核心是正确理解坡度的含义，计算台阶数时注意需用进一法取整，避免出现高度不足的问题。
【难度系数】
0.65
6.为了学生的安全，某校决定将如图所示的步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为矩形，DE=10 m，其坡度$i_1=1:\sqrt{3}$，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度$i_2=1:4$，则斜坡AF的长度是 m（结果精确到0.01 m，参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.732$，$\sqrt{17} \approx 4.123$）。
答案
解：
过点D作DG⊥EF于点G。
在Rt△DEG中，坡度$i_1=DG:EG=1:\sqrt{3}$，
设$DG=x\ \mathrm{m}$，则$EG=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：$DG^2 + EG^2 = DE^2$，
代入$DE=10\ \mathrm{m}$，得$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 10^2$，
解得$x=5$（负值舍去），
$\therefore DG=5\ \mathrm{m}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
$\therefore AB = CD = DG = 5\ \mathrm{m}$。
在Rt△ABF中，坡度$i_2=AB:BF=1:4$，
$\therefore BF=4AB=4×5=20\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2 + BF^2}=\sqrt{5^2 + 20^2}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}\approx5×4.123=20.615\approx20.62\ \mathrm{m}$。
答：斜坡AF的长度是$\boldsymbol{20.62}$ m。
过点D作DG⊥EF于点G。
在Rt△DEG中，坡度$i_1=DG:EG=1:\sqrt{3}$，
设$DG=x\ \mathrm{m}$，则$EG=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：$DG^2 + EG^2 = DE^2$，
代入$DE=10\ \mathrm{m}$，得$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 10^2$，
解得$x=5$（负值舍去），
$\therefore DG=5\ \mathrm{m}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
$\therefore AB = CD = DG = 5\ \mathrm{m}$。
在Rt△ABF中，坡度$i_2=AB:BF=1:4$，
$\therefore BF=4AB=4×5=20\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2 + BF^2}=\sqrt{5^2 + 20^2}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}\approx5×4.123=20.615\approx20.62\ \mathrm{m}$。
答：斜坡AF的长度是$\boldsymbol{20.62}$ m。
解析
【分析】
解题时首先明确坡度的定义：坡度是坡面的垂直高度与水平宽度的比值。第一步过D作DG⊥EF，构造直角三角形DEG，结合DE的长度和坡度，利用勾股定理求出垂直高度DG；再根据矩形ABCD的性质得到AB=DG，即得到斜坡AF的垂直高度；接着利用AF的坡度求出BF的长度，最后在直角三角形ABF中运用勾股定理即可求出AF的长度。
【解析】
解：过点D作DG⊥EF于点G。
在Rt△DEG中，坡度$i_1=DG:EG=1:\sqrt{3}$，
设$DG=x\ \mathrm{m}$，则$EG=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：$DG^2 + EG^2 = DE^2$，
将$DE=10\ \mathrm{m}$代入得：$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 10^2$，
解得$x=5$（负值舍去），
$\therefore DG=5\ \mathrm{m}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
$\therefore AB = CD = DG = 5\ \mathrm{m}$。
在Rt△ABF中，坡度$i_2=AB:BF=1:4$，
$\therefore BF=4AB=4×5=20\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2 + BF^2}=\sqrt{5^2 + 20^2}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}\approx5×4.123=20.615\approx20.62\ \mathrm{m}$。
【答案】
20.62
【知识点】
1. 坡度的概念
2. 勾股定理
3. 矩形的性质
【点评】
本题结合步梯改造的实际场景考查解直角三角形的应用，解题的关键是准确理解坡度的定义，合理构造直角三角形，结合几何图形的性质求解，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确坡度的定义：坡度是坡面的垂直高度与水平宽度的比值。第一步过D作DG⊥EF，构造直角三角形DEG，结合DE的长度和坡度，利用勾股定理求出垂直高度DG；再根据矩形ABCD的性质得到AB=DG，即得到斜坡AF的垂直高度；接着利用AF的坡度求出BF的长度，最后在直角三角形ABF中运用勾股定理即可求出AF的长度。
【解析】
解：过点D作DG⊥EF于点G。
在Rt△DEG中，坡度$i_1=DG:EG=1:\sqrt{3}$，
设$DG=x\ \mathrm{m}$，则$EG=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：$DG^2 + EG^2 = DE^2$，
将$DE=10\ \mathrm{m}$代入得：$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 10^2$，
解得$x=5$（负值舍去），
$\therefore DG=5\ \mathrm{m}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
$\therefore AB = CD = DG = 5\ \mathrm{m}$。
在Rt△ABF中，坡度$i_2=AB:BF=1:4$，
$\therefore BF=4AB=4×5=20\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2 + BF^2}=\sqrt{5^2 + 20^2}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}\approx5×4.123=20.615\approx20.62\ \mathrm{m}$。
【答案】
20.62
【知识点】
1. 坡度的概念
2. 勾股定理
3. 矩形的性质
【点评】
本题结合步梯改造的实际场景考查解直角三角形的应用，解题的关键是准确理解坡度的定义，合理构造直角三角形，结合几何图形的性质求解，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
7.某老年大学对教学楼入口进行升级，将原有三级台阶改建为无障碍斜坡，方便老年学员通行.如图，已知每级台阶高为20 cm，深为30 cm，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度$i=1:5$，则AC的长度是()
A.200 cm
B.210 cm
C.240 cm
D.300 cm
A.200 cm
B.210 cm
C.240 cm
D.300 cm
答案
B
解析
【分析】要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先明确坡度的定义是垂直高度与水平宽度的比值，因此需要先求出斜坡对应的总垂直高度，再根据坡度算出斜坡的总水平宽度，最后结合台阶的水平总长度求出AC的长度。第一步，先计算B点到地面的垂直高度，由三级台阶每级高20cm即可求得；第二步，根据坡度公式算出斜坡起点C到B点垂足D的水平长度CD；第三步，计算A点到D点的水平长度AD，由三级台阶每级深30cm可得；最后用CD减去AD就能得到AC的长度。
【解析】过点B作BD⊥地面，垂足为D。
1. 计算总垂直高度：每级台阶高20cm，共3级，因此总垂直高度$BD=3×20=60\mathrm{cm}$。
2. 计算斜坡的水平总长度CD：已知斜坡坡度$i=1:5$，坡度的定义为垂直高度与水平宽度的比，即$i=\frac{BD}{CD}=\frac{1}{5}$，代入$BD=60\mathrm{cm}$，可得$CD=5× BD=5×60=300\mathrm{cm}$。
3. 计算AD的长度：每级台阶的水平深度为30cm，共3级，因此$AD=3×30=90\mathrm{cm}$。
4. 计算AC的长度：$AC=CD-AD=300-90=210\mathrm{cm}$。
【答案】B
【知识点】坡度的概念；解直角三角形的实际应用
【点评】本题结合无障碍斜坡建设的生活场景，考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是准确理解坡度的含义，结合图形正确梳理各段长度的关系，能够有效考查学生的读图能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】0.7
【解析】过点B作BD⊥地面，垂足为D。
1. 计算总垂直高度：每级台阶高20cm，共3级，因此总垂直高度$BD=3×20=60\mathrm{cm}$。
2. 计算斜坡的水平总长度CD：已知斜坡坡度$i=1:5$，坡度的定义为垂直高度与水平宽度的比，即$i=\frac{BD}{CD}=\frac{1}{5}$，代入$BD=60\mathrm{cm}$，可得$CD=5× BD=5×60=300\mathrm{cm}$。
3. 计算AD的长度：每级台阶的水平深度为30cm，共3级，因此$AD=3×30=90\mathrm{cm}$。
4. 计算AC的长度：$AC=CD-AD=300-90=210\mathrm{cm}$。
【答案】B
【知识点】坡度的概念；解直角三角形的实际应用
【点评】本题结合无障碍斜坡建设的生活场景，考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是准确理解坡度的含义，结合图形正确梳理各段长度的关系，能够有效考查学生的读图能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】0.7
