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2. 如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线.
(1) △ABD与△ADC的面积有何关系？请说明理由.
(2) 若△GFC的面积为1，求△ABC的面积$S_{△ ABC}$.
(1) △ABD与△ADC的面积有何关系？请说明理由.
(2) 若△GFC的面积为1，求△ABC的面积$S_{△ ABC}$.
答案
(1) $S_{△ ABD}=S_{△ ADC}$，理由略
(2) 16
(2) 16
解析
【分析】
(1) 要判断△ABD和△ADC的面积关系，先回忆三角形面积公式：三角形面积=1/2×底×高。观察两个三角形，由AD是△ABC的中线可得底BD=DC，且两个三角形的高都是点A到BC边的垂线段，属于同高，因此可推出二者面积相等。
(2) 已知最小的△GFC面积为1，结合题中多条中线的条件，利用“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形”的性质，从最小的三角形开始逐步向前推导，每次将面积乘2，最终可求出△ABC的面积。
【解析】
(1) $S_{△ABD}=S_{△ADC}$，理由如下：
过点A作AH⊥BC于点H。
∵AD是△ABC的中线，
∴$BD=DC$。
∵$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×BD×AH$，$S_{△ADC}=\frac{1}{2}×DC×AH$，
∴$S_{△ABD}=S_{△ADC}$。
(2)
∵FG是△EFC的中线，
∴$S_{△EFC}=2S_{△GFC}=2×1=2$；
∵EF是△DEC的中线，
∴$S_{△DEC}=2S_{△EFC}=2×2=4$；
∵DE是△ADC的中线，
∴$S_{△ADC}=2S_{△DEC}=2×4=8$；
∵AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ABC}=2S_{△ADC}=2×8=16$。
【答案】
(1) $S_{△ABD}=S_{△ADC}$，理由：等底同高的两个三角形面积相等；
(2) 16
【知识点】
三角形中线性质；三角形面积计算；等积变形
【点评】
本题侧重考查三角形中线相关的面积性质，核心是理解等底同高的三角形面积相等，解题时从已知面积的最小三角形出发，顺着中线的关系逐步逆推即可得到大三角形的面积，熟练掌握中线的面积特性就能快速解题。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断△ABD和△ADC的面积关系，先回忆三角形面积公式：三角形面积=1/2×底×高。观察两个三角形，由AD是△ABC的中线可得底BD=DC，且两个三角形的高都是点A到BC边的垂线段，属于同高，因此可推出二者面积相等。
(2) 已知最小的△GFC面积为1，结合题中多条中线的条件，利用“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形”的性质，从最小的三角形开始逐步向前推导，每次将面积乘2，最终可求出△ABC的面积。
【解析】
(1) $S_{△ABD}=S_{△ADC}$，理由如下：
过点A作AH⊥BC于点H。
∵AD是△ABC的中线，
∴$BD=DC$。
∵$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×BD×AH$，$S_{△ADC}=\frac{1}{2}×DC×AH$，
∴$S_{△ABD}=S_{△ADC}$。
(2)
∵FG是△EFC的中线，
∴$S_{△EFC}=2S_{△GFC}=2×1=2$；
∵EF是△DEC的中线，
∴$S_{△DEC}=2S_{△EFC}=2×2=4$；
∵DE是△ADC的中线，
∴$S_{△ADC}=2S_{△DEC}=2×4=8$；
∵AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ABC}=2S_{△ADC}=2×8=16$。
【答案】
(1) $S_{△ABD}=S_{△ADC}$，理由：等底同高的两个三角形面积相等；
(2) 16
【知识点】
三角形中线性质；三角形面积计算；等积变形
【点评】
本题侧重考查三角形中线相关的面积性质，核心是理解等底同高的三角形面积相等，解题时从已知面积的最小三角形出发，顺着中线的关系逐步逆推即可得到大三角形的面积，熟练掌握中线的面积特性就能快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$△ ABC$中,$CD$,$CE$分别是$△ ABC$的高和角平分线,$∠ BAC=α$,$∠ B=β(α＞β)$.
(1)若$α=70°$,$β=40°$,求$∠ DCE$的度数;
(2)试用含$α$,$β$的代数式表示$∠ DCE$的度数(直接写出结果).
(1)若$α=70°$,$β=40°$,求$∠ DCE$的度数;
(2)试用含$α$,$β$的代数式表示$∠ DCE$的度数(直接写出结果).
答案
(1) $∠DCE=∠ACE-∠ACD=\frac{1}{2}∠ACB-(180°-∠ADC-∠BAC)=\frac{1}{2}(180°-∠BAC-∠B)-(180°-∠ADC-∠BAC)=\frac{1}{2}×(180°-70°-40°)-(180°-90°-70°)=15°$
(2) $∠DCE=\frac{1}{2}(α-β)$
(2) $∠DCE=\frac{1}{2}(α-β)$
解析
【分析】
要解决求∠DCE度数的问题，我们可以从角的组成入手：∠DCE是角平分线CE分得的∠ACE与高CD形成的∠ACD的差。首先利用三角形内角和定理求出△ABC的内角∠ACB，再结合角平分线的定义得到∠ACE的度数；然后根据三角形高的性质得到△ACD为直角三角形，求出∠ACD的度数，最后作差即可得到∠DCE的度数。第二问只需将第一问的具体角度替换为α、β，按照相同的推导逻辑化简即可得到表达式。
【解析】
(1) 根据三角形内角和为180°，先求∠ACB的度数：
$∠ ACB = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 180° - 70° - 40° = 70°$
∵ CE是△ABC的角平分线
∴ $∠ ACE = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 70° = 35°$
∵ CD是△ABC的高，
∴ $CD ⊥ AB$，$∠ ADC=90°$
在Rt△ACD中，$∠ ACD = 180° - ∠ ADC - ∠ BAC = 180° - 90° -70° =20°$
∴ $∠ DCE = ∠ ACE - ∠ ACD = 35° -20° =15°$
(2) 推导含α、β的表达式：
$∠ ACB = 180° -α -β$
∵ CE是角平分线，
∴ $∠ ACE = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}(180° -α -β) = 90° - \frac{1}{2}α - \frac{1}{2}β$
∵ CD是高，在Rt△ACD中，$∠ ACD = 90° -α$
∴ $∠ DCE = ∠ ACE - ∠ ACD = (90° - \frac{1}{2}α - \frac{1}{2}β) - (90° -α) = \frac{1}{2}α - \frac{1}{2}β = \frac{1}{2}(α-β)$
【答案】
(1) $15°$；(2) $∠ DCE=\frac{1}{2}(α-β)$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形高的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题关键是将所求角拆分为两个可求角的差，结合三角形的高、角平分线的性质和内角和定理逐步计算即可，推导代数式的过程是从特殊到一般的思维应用，掌握角度转化的思路就能快速解题。
【难度系数】
0.7
要解决求∠DCE度数的问题，我们可以从角的组成入手：∠DCE是角平分线CE分得的∠ACE与高CD形成的∠ACD的差。首先利用三角形内角和定理求出△ABC的内角∠ACB，再结合角平分线的定义得到∠ACE的度数；然后根据三角形高的性质得到△ACD为直角三角形，求出∠ACD的度数，最后作差即可得到∠DCE的度数。第二问只需将第一问的具体角度替换为α、β，按照相同的推导逻辑化简即可得到表达式。
【解析】
(1) 根据三角形内角和为180°，先求∠ACB的度数：
$∠ ACB = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 180° - 70° - 40° = 70°$
∵ CE是△ABC的角平分线
∴ $∠ ACE = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2} × 70° = 35°$
∵ CD是△ABC的高，
∴ $CD ⊥ AB$，$∠ ADC=90°$
在Rt△ACD中，$∠ ACD = 180° - ∠ ADC - ∠ BAC = 180° - 90° -70° =20°$
∴ $∠ DCE = ∠ ACE - ∠ ACD = 35° -20° =15°$
(2) 推导含α、β的表达式：
$∠ ACB = 180° -α -β$
∵ CE是角平分线，
∴ $∠ ACE = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}(180° -α -β) = 90° - \frac{1}{2}α - \frac{1}{2}β$
∵ CD是高，在Rt△ACD中，$∠ ACD = 90° -α$
∴ $∠ DCE = ∠ ACE - ∠ ACD = (90° - \frac{1}{2}α - \frac{1}{2}β) - (90° -α) = \frac{1}{2}α - \frac{1}{2}β = \frac{1}{2}(α-β)$
【答案】
(1) $15°$；(2) $∠ DCE=\frac{1}{2}(α-β)$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形高的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题关键是将所求角拆分为两个可求角的差，结合三角形的高、角平分线的性质和内角和定理逐步计算即可，推导代数式的过程是从特殊到一般的思维应用，掌握角度转化的思路就能快速解题。
【难度系数】
0.7
