5. (2026·成都期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线$y=ax^2+x+c$与x轴相交于原点O和A两点,A点坐标为(-8,0).
(1)求抛物线的函数表达式与顶点P的坐标；
(2)若点Q是第二象限抛物线上一点,连接AQ,将线段AQ绕点Q逆时针旋转90°得线段QD,点D恰好在抛物线的对称轴上,求点Q的坐标；
(3)设直线$y=kx+4k$与抛物线相交于E,F两点(点E在点F的左侧).抛物线的对称轴与x轴相交于点G,求$\frac{1}{EG}+\frac{1}{GF}$的值.

备用图

(1)将点 $O(0,0)$ 和点 $A(-8,0)$ 分别代入抛物线 $y=ax^2+x+c$,得 $\begin{cases}0+0+c=0,\\a· (-8)^2+(-8)=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}c=0,\\a=\frac{1}{8},\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=\frac{1}{8}x^2+x$,将其化为顶点式: $y=\frac{1}{8}x^2+x=\frac{1}{8}(x+4)^2-2$,因此顶点 $P$ 的坐标为 $(-4,-2)$.
(2)由题意可知抛物线的对称轴为直线 $x=-4$,点 $Q$ 在点 $A$ 左侧,设 $Q(m,\frac{1}{8}m^2+m)(m＜-8),D(-4,n)$.如图①,过点 $Q$ 作 $QH⊥ x$ 轴于点 $H$,过点 $Q$ 作对称轴直线 $x=-4$ 的垂线 $QK$ 交于点 $K$,由于线段 $AQ$ 绕点 $Q$ 逆时针旋转 $90°$ 得线段 $QD$,故 $AQ=DQ,∠ AQH=∠ DQK,\therefore △ AQH≌△ DQK(\mathrm{AAS})$, $\therefore QK=QH$,即$-4-m=\frac{1}{8}m^2+m$,解得 $m=-8-4\sqrt{2}$ 或 $m=-8+4\sqrt{2}$(不合题意,舍去),$\therefore -4-m=4+4\sqrt{2}$,$\therefore$ 点 $Q$ 的坐标为 $(-8-4\sqrt{2},4+4\sqrt{2})$.

(3)如图②,$\because$ 直线 $y=kx+4k=k(x+4),\therefore$ 直线 $y=kx+4k$ 恒过 $(-4,0)$,即点 $G(-4,0)$.联立抛物线与直线得 $\frac{1}{8}x^2+x=kx+4k$,整理得 $x^2+(8-8k)x-32k=0$.设 $E(x_1,y_1),F(x_2,y_2)$,同时点 $E$ 在点 $F$ 的左侧,故 $x_2＞-4＞x_1,\therefore x_1+x_2=8k-8$, $x_1x_2=-32k$, 故 $x_2-x_1=\sqrt{(x_2+x_1)^2-4x_1x_2}=8\sqrt{k^2+1}$, 又 $y_1=k(x_1+4),y_2=k(x_2+4)$, 故 $EG=\sqrt{(x_1+4)^2+y_1^2}=|x_1+4|·\sqrt{1+k^2}=-(x_1+4)·\sqrt{1+k^2}$,$GF=(x_2+4)·\sqrt{1+k^2}$, 则 $\frac{1}{EG}+\frac{1}{GF}=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}(-\frac{1}{x_1+4}+\frac{1}{x_2+4})=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}·\frac{x_1-x_2}{x_1x_2+4x_1+4x_2+16}=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}·\frac{8\sqrt{k^2+1}}{16}=\frac{1}{2}$.综上所述,$\frac{1}{EG}+\frac{1}{GF}=\frac{1}{2}$.

6. (岳阳中考改编)如图①,在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$F_1:y=x^2+bx+c$经过点$A(-3,0)$和点$B(1,0)$.
(1)求抛物线$F_1$的表达式.
(2)如图②,作抛物线$F_2$,把抛物线$F_1$绕原点旋转$180°$得到抛物线$F_2$,请直接写出抛物线$F_2$的表达式.
(3)如图③,将(2)中抛物线$F_2$向上平移2个单位长度,得到抛物线$F_3$,抛物线$F_1$与抛物线$F_3$相交于$C,D$两点(点$C$在点$D$的左侧).
①求点$C$和点$D$的坐标;
②若点$M,N$分别为抛物线$F_1$和抛物线$F_3$上$C,D$之间的动点(点$M,N$与点$C,D$不重合),试求四边形$CMDN$面积的最大值.

(1)将点 $A(-3,0)$ 和点 $B(1,0)$ 代入 $y=x^2+bx+c$,得 $\begin{cases}9-3b+c=0,\\1+b+c=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=2,\\c=-3,\end{cases}$ $\therefore y=x^2+2x-3$.
(2)抛物线$F_2$的表达式为$y=-x^2+2x+3$
解析: $\because y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4,\therefore$ 抛物线 $F_1$ 的顶点为 $(-1,-4).\because$ 顶点 $(-1,-4)$ 关于原点的对称点为 $(1,4),\therefore$ 抛物线 $F_2$ 的表达式为 $y=-(x-1)^2+4$, $\therefore y=-x^2+2x+3$.
(3)①由题意可得抛物线 $F_3$ 的表达式为 $y=-(x-1)^2+6=-x^2+2x+5$.联立方程组 $\begin{cases}y=-x^2+2x+5,\\y=x^2+2x-3,\end{cases}$ 解得 $x=2$ 或 $x=-2$, $\therefore C(-2,-3),D(2,5)$.
②设直线 $CD$ 的表达式为 $y=kx+t$, $\therefore \begin{cases}-2k+t=-3,\\2k+t=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=2,\\t=1,\end{cases}$ $\therefore y=2x+1$.如图,过点 $M$ 作 $MF// y$ 轴交 $CD$ 于点 $F$,过点 $N$ 作 $NE// y$ 轴交 $CD$ 于点 $E$,设 $M(m,m^2+2m-3),N(n,-n^2+2n+5)$,则 $F(m,2m+1),E(n,2n+1)$, $\therefore MF=2m+1-(m^2+2m-3)=-m^2+4$,$NE=-n^2+2n+5-2n-1=-n^2+4$. $\because -2＜m＜2,-2＜n＜2,\therefore$ 当 $m=0$ 时,$MF$ 有最大值 4,当 $n=0$ 时,$NE$ 有最大值 4. $\because S_{\mathrm{四边形}CMDN}=S_{△ CDN}+S_{△ CDM}=\frac{1}{2}×4×(MF+NE)=2(MF+NE),\therefore$ 当 $MF+NE$ 最大时,四边形 $CMDN$ 面积的最大值为 16.