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9. 如图，隧道横截面上部为半圆，下部为矩形，矩形的一条边长为 3 m. 如果设半圆半径为 r m，横截面积为 S m²，那么 S 关于 r 的函数表达式是
$S=\frac{1}{2}π r^2+6r$
.（结果保留 π）答案
9. $S=\frac{1}{2}π r^2+6r$.
解析
【分析】
要求隧道横截面的面积S，首先观察图形可知横截面是由上部的半圆和下部的矩形组合而成，因此只需分别计算半圆和矩形的面积，再将两者相加即可得到总横截面积。首先，半圆的半径已知为r，可直接用半圆面积公式计算其面积；其次，矩形的宽题目已给出为3m，矩形的长恰好等于上部半圆的直径，即2r，据此可算出矩形的面积；最后将两部分面积合并，就能得到S关于r的函数表达式。
【解析】
1. 计算上部半圆的面积：
根据半圆面积公式可得，半圆面积为$\frac{1}{2}×π× r^2 = \frac{1}{2}π r^2$。
2. 计算下部矩形的面积：
由图可知，矩形的长等于半圆的直径，即长为$2r$ m，已知矩形的宽为3 m，
根据矩形面积公式可得，矩形面积为$长×宽 = 2r×3 = 6r$。
3. 计算总横截面积S：
总横截面积为半圆面积与矩形面积之和，因此$S = \frac{1}{2}π r^2 + 6r$。
【答案】
$S=\frac{1}{2}π r^2+6r$
【知识点】
组合图形面积计算，函数解析式列写，圆与矩形面积公式
【点评】
本题属于基础的实际问题列函数表达式类题目，解题核心是拆分组合图形为基本图形，准确找到基本图形各边的对应数量关系，代入对应公式计算即可，解题时需注意矩形的长是半圆的直径，不要误算为半径。
【难度系数】
0.8
要求隧道横截面的面积S，首先观察图形可知横截面是由上部的半圆和下部的矩形组合而成，因此只需分别计算半圆和矩形的面积，再将两者相加即可得到总横截面积。首先，半圆的半径已知为r，可直接用半圆面积公式计算其面积；其次，矩形的宽题目已给出为3m，矩形的长恰好等于上部半圆的直径，即2r，据此可算出矩形的面积；最后将两部分面积合并，就能得到S关于r的函数表达式。
【解析】
1. 计算上部半圆的面积：
根据半圆面积公式可得，半圆面积为$\frac{1}{2}×π× r^2 = \frac{1}{2}π r^2$。
2. 计算下部矩形的面积：
由图可知，矩形的长等于半圆的直径，即长为$2r$ m，已知矩形的宽为3 m，
根据矩形面积公式可得，矩形面积为$长×宽 = 2r×3 = 6r$。
3. 计算总横截面积S：
总横截面积为半圆面积与矩形面积之和，因此$S = \frac{1}{2}π r^2 + 6r$。
【答案】
$S=\frac{1}{2}π r^2+6r$
【知识点】
组合图形面积计算，函数解析式列写，圆与矩形面积公式
【点评】
本题属于基础的实际问题列函数表达式类题目，解题核心是拆分组合图形为基本图形，准确找到基本图形各边的对应数量关系，代入对应公式计算即可，解题时需注意矩形的长是半圆的直径，不要误算为半径。
【难度系数】
0.8
10 如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm. 点P从点A出发沿AB向终点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC向终点C以2 cm/s的速度移动. 若设运动t秒时，五边形APQCD的面积为S cm²，则S关于t的函数表达式是
$S=t^2-6t+72$
，自变量t的取值范围是$0≤ t≤6$
.答案
10. $S=t^2-6t+72$；$0≤ t≤6$. 提示：第 t 秒时，$AP=t$ cm，$BQ=2t$ cm，$BP=(6-t)$cm. 因此$S=S_{矩形ABCD}-S_{△ BPQ}=t^2-6t+72$；$0≤ t≤6$.
解析
【分析】
要求五边形APQCD的面积，直接计算比较复杂，可采用间接法：用矩形ABCD的面积减去直角三角形PBQ的面积求解。首先根据动点的速度和运动时间t，分别求出线段BP、BQ的长度，再计算三角形PBQ的面积，进而得到S与t的函数关系；再结合点P、Q的运动终点，确定t的取值范围即可。
【解析】
第一步：计算矩形ABCD的面积
已知AB=6cm，BC=12cm，矩形面积=长×宽，因此$S_{矩形ABCD}=AB×BC=6×12=72\ \mathrm{cm}^2$。
第二步：表示运动t秒后相关线段的长度
点P速度为1cm/s，因此t秒后$AP=t\ \mathrm{cm}$，则$BP=AB-AP=(6-t)\ \mathrm{cm}$；
点Q速度为2cm/s，因此t秒后$BQ=2t\ \mathrm{cm}$。
第三步：计算$△ PBQ$的面积
∵矩形ABCD中$∠ B=90°$，$△ PBQ$是直角三角形
∴$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}×BP×BQ=\frac{1}{2}×(6-t)×2t=t(6-t)=6t-t^2$
第四步：推导S的函数表达式
五边形APQCD的面积$S=S_{矩形ABCD}-S_{△ PBQ}=72-(6t-t^2)=t^2-6t+72$
第五步：求自变量t的取值范围
点P从A到B的运动时间为$\frac{6}{1}=6\ \mathrm{s}$，点Q从B到C的运动时间为$\frac{12}{2}=6\ \mathrm{s}$，因此t的取值范围是$0≤ t≤6$。
【答案】
$S=t^2-6t+72$；$0≤ t≤6$
【知识点】
二次函数实际应用，不规则图形面积计算，自变量取值范围确定
【点评】
本题属于动点结合函数的基础题型，解题关键是运用“割补法”将不规则的五边形面积转化为规则图形面积的差，降低计算难度，同时要注意结合动点的运动轨迹和端点限制，准确求出自变量的取值范围，避免漏写限制条件。
【难度系数】
0.7
要求五边形APQCD的面积，直接计算比较复杂，可采用间接法：用矩形ABCD的面积减去直角三角形PBQ的面积求解。首先根据动点的速度和运动时间t，分别求出线段BP、BQ的长度，再计算三角形PBQ的面积，进而得到S与t的函数关系；再结合点P、Q的运动终点，确定t的取值范围即可。
【解析】
第一步：计算矩形ABCD的面积
已知AB=6cm，BC=12cm，矩形面积=长×宽，因此$S_{矩形ABCD}=AB×BC=6×12=72\ \mathrm{cm}^2$。
第二步：表示运动t秒后相关线段的长度
点P速度为1cm/s，因此t秒后$AP=t\ \mathrm{cm}$，则$BP=AB-AP=(6-t)\ \mathrm{cm}$；
点Q速度为2cm/s，因此t秒后$BQ=2t\ \mathrm{cm}$。
第三步：计算$△ PBQ$的面积
∵矩形ABCD中$∠ B=90°$，$△ PBQ$是直角三角形
∴$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}×BP×BQ=\frac{1}{2}×(6-t)×2t=t(6-t)=6t-t^2$
第四步：推导S的函数表达式
五边形APQCD的面积$S=S_{矩形ABCD}-S_{△ PBQ}=72-(6t-t^2)=t^2-6t+72$
第五步：求自变量t的取值范围
点P从A到B的运动时间为$\frac{6}{1}=6\ \mathrm{s}$，点Q从B到C的运动时间为$\frac{12}{2}=6\ \mathrm{s}$，因此t的取值范围是$0≤ t≤6$。
【答案】
$S=t^2-6t+72$；$0≤ t≤6$
【知识点】
二次函数实际应用，不规则图形面积计算，自变量取值范围确定
【点评】
本题属于动点结合函数的基础题型，解题关键是运用“割补法”将不规则的五边形面积转化为规则图形面积的差，降低计算难度，同时要注意结合动点的运动轨迹和端点限制，准确求出自变量的取值范围，避免漏写限制条件。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$满足$a+b+c=0$，且$a=2c$。
（1）试写出一个符合条件的二次函数表达式。
（2）已知该函数的一次项系数是5，求$a$、$b$、$c$的值。
11. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$满足$a+b+c=0$，且$a=2c$。
（1）试写出一个符合条件的二次函数表达式。
（2）已知该函数的一次项系数是5，求$a$、$b$、$c$的值。
答案
11. (1) $y=2x^2-3x+1$.（答案不唯一） (2) 因为$b=5$，所以$a+c=-5$. 因为$c=2a$，所以$a=-\dfrac{5}{3}$，$c=-\dfrac{10}{3}$.
解析
【分析】
（1）已知二次函数的三个系数满足$a+b+c=0$和$c=2a$两个等量关系，系数未完全固定，可先给其中一个非零系数赋合理值，再结合两个关系求出另外两个系数，就能得到符合条件的二次函数表达式，答案不唯一。
（2）二次函数的一次项系数为$b$，已知$b=5$，代入$a+b+c=0$可得到$a$与$c$的和，再联立$c=2a$的关系，用代入消元法即可求出$a$、$c$的值。
【解析】
（1）例如给$a$赋值为2，根据$c=2a$得$c=4$，代入$a+b+c=0$可得$2+b+4=0$，解得$b=-6$，即可得到解析式$y=2x^2-6x+4$，也可选择其他赋值，只要满足两个等量关系即可，答案不唯一。
（2）由题意得一次项系数$b=5$，将$b=5$代入$a+b+c=0$，整理得$a+c=-5$。
又因为$c=2a$，将其代入$a+c=-5$，得$a+2a=-5$，即$3a=-5$，解得$a=-\dfrac{5}{3}$，则$c=2a=2×(-\dfrac{5}{3})=-\dfrac{10}{3}$。
【答案】
（1）$y=2x^2-3x+1$（答案不唯一）
（2）$a=-\dfrac{5}{3}$，$c=-\dfrac{10}{3}$
【知识点】
二次函数的概念，代入消元法，代数式求值
【点评】
本题重点考查二次函数基本概念和系数关系的应用，第一问为开放性问题，只要符合条件即可，第二问需要结合已知条件联立求解，整体侧重对基础概念和简单运算的考查。
【难度系数】
0.8
（1）已知二次函数的三个系数满足$a+b+c=0$和$c=2a$两个等量关系，系数未完全固定，可先给其中一个非零系数赋合理值，再结合两个关系求出另外两个系数，就能得到符合条件的二次函数表达式，答案不唯一。
（2）二次函数的一次项系数为$b$，已知$b=5$，代入$a+b+c=0$可得到$a$与$c$的和，再联立$c=2a$的关系，用代入消元法即可求出$a$、$c$的值。
【解析】
（1）例如给$a$赋值为2，根据$c=2a$得$c=4$，代入$a+b+c=0$可得$2+b+4=0$，解得$b=-6$，即可得到解析式$y=2x^2-6x+4$，也可选择其他赋值，只要满足两个等量关系即可，答案不唯一。
（2）由题意得一次项系数$b=5$，将$b=5$代入$a+b+c=0$，整理得$a+c=-5$。
又因为$c=2a$，将其代入$a+c=-5$，得$a+2a=-5$，即$3a=-5$，解得$a=-\dfrac{5}{3}$，则$c=2a=2×(-\dfrac{5}{3})=-\dfrac{10}{3}$。
【答案】
（1）$y=2x^2-3x+1$（答案不唯一）
（2）$a=-\dfrac{5}{3}$，$c=-\dfrac{10}{3}$
【知识点】
二次函数的概念，代入消元法，代数式求值
【点评】
本题重点考查二次函数基本概念和系数关系的应用，第一问为开放性问题，只要符合条件即可，第二问需要结合已知条件联立求解，整体侧重对基础概念和简单运算的考查。
【难度系数】
0.8
12. 设有关于$x$的函数$y=(a^2 + 4a + 5)x^2 + 3ax + 1$. 甲说：“此函数不一定是二次函数.”乙说：“此函数一定是二次函数.”谁的说法正确？为什么？
乙正确，因为二次项系数$a^2+4a+5=(a+2)^2+1＞0$.
答案
12. 乙正确，因为二次项系数$a^2+4a+5=(a+2)^2+1＞0$.
解析
【分析】要判断两人说法是否正确，需依据二次函数的定义：形如$y=Ax^2+Bx+C$（$A、B、C$为常数，且$A≠0$）的函数是二次函数，因此核心是判断本题中二次项系数$a^2+4a+5$是否可能等于0。我们可以通过配方法对该式变形，再结合平方的非负性判断它的取值范围，即可得出结论。
【解析】判断一个函数是否为二次函数的关键是看其二次项系数是否不为0：
1. 先对二次项系数进行配方：
$a^2+4a+5 = a^2+4a+4 + 1 = (a+2)^2 + 1$
2. 根据平方的非负性可知，对任意实数$a$，都有$(a+2)^2 ≥ 0$，因此：
$(a+2)^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$
即无论$a$取何值，二次项系数恒大于0，不可能等于0，因此该函数一定是二次函数，乙的说法正确。
【答案】乙正确，因为二次项系数$a^2+4a+5=(a+2)^2+1＞0$。
【知识点】二次函数的定义；配方法；非负数的性质
【点评】本题是二次函数概念的基础应用题，解题的关键是牢记二次函数二次项系数不为0的要求，通过配方结合平方非负性判断系数的取值范围即可解决，易错点是部分同学会忽略对二次项系数取值范围的验证。
【难度系数】0.7
【解析】判断一个函数是否为二次函数的关键是看其二次项系数是否不为0：
1. 先对二次项系数进行配方：
$a^2+4a+5 = a^2+4a+4 + 1 = (a+2)^2 + 1$
2. 根据平方的非负性可知，对任意实数$a$，都有$(a+2)^2 ≥ 0$，因此：
$(a+2)^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$
即无论$a$取何值，二次项系数恒大于0，不可能等于0，因此该函数一定是二次函数，乙的说法正确。
【答案】乙正确，因为二次项系数$a^2+4a+5=(a+2)^2+1＞0$。
【知识点】二次函数的定义；配方法；非负数的性质
【点评】本题是二次函数概念的基础应用题，解题的关键是牢记二次函数二次项系数不为0的要求，通过配方结合平方非负性判断系数的取值范围即可解决，易错点是部分同学会忽略对二次项系数取值范围的验证。
【难度系数】0.7
