3. 已知一元二次方程 $ 2x^{2}+2x - 1 = 0 $ 的两个实数根为 $ x_{1},x_{2} $，且 $ x_{1}\lt x_{2} $，下列结论正确的是()

A.$ x_{1}+x_{2}=1 $
B.$ x_{1}· x_{2}=-1 $
C.$ |x_{1}|\lt|x_{2}| $
D.$ x_{1}^{2}+x_{1}=\frac{1}{2} $

D

对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，根与系数的关系为 $x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$，$x_{1} · x_{2} = \frac{c}{a}$。
对于方程 $2x^{2} + 2x - 1 = 0$，其中 $a = 2$，$b = 2$，$c = -1$。
根据根与系数的关系可得：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{2}{2} = -1$，所以选项A错误。
$x_{1} · x_{2} = \frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$，所以选项B错误。
由求根公式 $x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$可得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4×2×(-1)}}{2×2}=\frac{-2\pm\sqrt{4 + 8}}{4}=\frac{-2\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$。
因为 $x_{1}\lt x_{2}$，所以 $x_{1}=\frac{-1 - \sqrt{3}}{2}$，$x_{2}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$。
$\vert x_{1}\vert=\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$，$\vert x_{2}\vert=\frac{\vert-1 + \sqrt{3}\vert}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，因为 $\frac{1+\sqrt{3}}{2}\gt\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，即 $\vert x_{1}\vert\gt\vert x_{2}\vert$，所以选项C错误。
因为 $x_{1}$ 是方程 $2x^{2}+2x - 1 = 0$ 的根，将 $x = x_{1}$ 代入方程可得：
$2x_{1}^{2}+2x_{1}-1 = 0$，移项可得 $2x_{1}^{2}+2x_{1}=1$，两边同时除以 $2$ 得 $x_{1}^{2}+x_{1}=\frac{1}{2}$，所以选项D正确。

4. 若关于 $ x $ 的方程 $ m(x + h)^{2}+k = 0(m,h,k $ 均为常数，$ m\neq0) $ 的解是 $ x_{1}=-3,x_{2}=2 $，则方程 $ m(x + h - 3)^{2}+k = 0 $ 的解为()

A.$ x_{1}=-6,x_{2}=-1 $
B.$ x_{1}=0,x_{2}=5 $
C.$ x_{1}=-3,x_{2}=5 $
D.$ x_{1}=-6,x_{2}=2 $

B

根据题意，方程 $ m(x + h)^2 + k = 0 $ 的解为 $ x_1 = -3, x_2 = 2 $，即：
$x + h = \pm \sqrt{-\frac{k}{m}} \quad \text(经过移项得到,不过本题不需要具体算出h,k的值)。$
其解满足：
$x_1 = -h + \sqrt{-\frac{k}{m}} = -3,$
$x_2 = -h - \sqrt{-\frac{k}{m}} = 2,$
对于方程 $ m(x + h - 3)^2 + k = 0 $，令 $ y = x - 3 $，方程变为：
$m(y + h)^2 + k = 0,$
其解与原方程 $ m(x + h)^2 + k = 0 $ 的解对应，即：
$y_1 = -3,y_2 = 2,$
将 $ y = x - 3 $ 代入，得到：
$x - 3 = -3 \quad \text或 \quad x - 3 = 2,$
即：
$x_1 = 0, \quad x_2 = 5,$
故方程 $ m(x + h - 3)^2 + k = 0 $ 的解为 $ x_1 = 0, x_2 = 5 $。

5. 已知 $ a $ 是方程 $ x^{2}+x - 1 = 0 $ 的一个实数根，则 $ \frac{2}{a^{2}-1}-\frac{1}{a^{2}-a} $ 的值为()

A.$ \frac{-1+\sqrt{5}}{2} $
B.$ \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} $
C.-1
D.1

D

已知 $a$ 是方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ 的一个实数根，则 $a^{2} + a - 1 = 0$，可得 $a^{2} = 1 - a$。
将$\frac{2}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a^{2} - a}$变形，$a^{2}-1=(a + 1)(a - 1)$，$a^{2}-a=a(a - 1)$，则原式$=\frac{2}{(a + 1)(a - 1)} - \frac{1}{a(a - 1)}$。
通分可得：$\frac{2a-(a + 1)}{a(a + 1)(a - 1)}=\frac{2a - a - 1}{a(a + 1)(a - 1)}=\frac{a - 1}{a(a + 1)(a - 1)}$。
因为$a$是方程$x^{2}+x - 1 = 0$的根，$a\neq1$（若$a = 1$，代入方程$1+1 - 1=1\neq0$），约分得$\frac{1}{a(a + 1)}$。
又因为$a^{2}=1 - a$，即$a^{2}+a = 1$，所以$\frac{1}{a(a + 1)} = 1$。

6. 在实数范围内定义一种运算“$ * $”，其规则为 $ a*b=a^{2}-2ab + b^{2} $。根据这个规则求方程 $ (x - 4)*1 = 0 $ 的解为。

5

根据规则，$(x - 4)*1=(x - 4)^2 - 2(x - 4)×1 + 1^2$，化简得$(x - 4 - 1)^2=(x - 5)^2$，方程$(x - 5)^2 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 5$。

7. 若矩形的长和宽是方程 $ 2x^{2}-16x + m = 0(0\lt m\leqslant32) $ 的两实数根，则矩形的周长为。

16

设矩形的长和宽分别为 $x_1$ 和 $x_2$，根据题意，它们是方程 $2x^2 - 16x + m = 0$ 的两个实数根。
根据一元二次方程的根系关系，有：
$x_1 + x_2 = -\frac{-16}{2} = 8$，
矩形的周长为 $2(x_1 + x_2)$，代入 $x_1 + x_2 = 8$，得：
$2 × 8 = 16$。

8. 物体自由落体时，下落高度与时间的关系式是 $ h=\frac{1}{2}gt^{2}(g $ 为重力加速度，$ g $ 取 $ 9.8m/s^{2}) $。若物体下落的高度 $ h $ 为 $ 88.2m $，则下落的时间为。

$3\sqrt{2}s$

已知$h = \frac{1}{2}gt^2$，$h = 88.2m$，$g = 9.8m/s^2$，代入得$88.2=\frac{1}{2}×9.8× t^2$，即$88.2 = 4.9t^2$，解得$t^2=\frac{88.2}{4.9}=18$，$t=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\approx4.24$（舍去负值），时间为$3\sqrt{2}s$（或约$4.24s$，根据题目要求保留准确值$3\sqrt{2}$）。

9. 关于 $ x $ 的方程 $ (m + 1)x^{|m| + 1}+3x = 6 $，当 $ m = $时，方程是一元二次方程。

1

要使方程$(m + 1)x^{|m| + 1}+3x = 6$是一元二次方程，需满足：
1. 未知数最高次数为2，即$|m| + 1 = 2$，解得$|m| = 1$，$m = \pm 1$；
2. 二次项系数不为0，即$m + 1 \neq 0$，解得$m \neq -1$。
综上，$m = 1$。

10. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-2(k - 1)x + k^{2}=0 $ 有两个实数根 $ x_{1},x_{2} $。
（1）求 $ k $ 的取值范围。
（2）若 $ |x_{1}+x_{2}|=x_{1}x_{2}-1 $，求 $ k $ 的值。

（1）∵方程有两个实数根，∴判别式Δ≥0。
Δ=[-2(k-1)]²-4×1×k²=4(k²-2k+1)-4k²=-8k+4≥0，
解得k≤1/2。
（2）由韦达定理得x₁+x₂=2(k-1)，x₁x₂=k²。
∵k≤1/2，∴k-1≤-1/2，x₁+x₂=2(k-1)＜0，
∴|x₁+x₂|= -2(k-1)= -2k+2。
又|x₁+x₂|=x₁x₂-1，∴-2k+2=k²-1，
整理得k²+2k-3=0，解得k₁=-3，k₂=1。
∵k≤1/2，∴k=1舍去，故k=-3。
（1）k≤1/2；（2）k=-3。