6. 已知 $ x = 2 $ 是一元二次方程 $ x^{2}-4x + c = 0 $ 的一个根，则 $ c $ 的值为。

4

将 $ x = 2 $ 代入方程 $ x^{2} - 4x + c = 0 $，得 $ 2^{2} - 4 × 2 + c = 0 $，即 $ 4 - 8 + c = 0 $，解得 $ c = 4 $。

7. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-2x + a = 0 $ 有两个实数根，则实数 $ a $ 的取值范围是。

【解析】：对于一元二次方程 $x^2 - 2x + a = 0$，判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×a = 4 - 4a$。因为方程有两个实数根，所以$\Delta \geq 0$，即$4 - 4a \geq 0$，解得$a \leq 1$。
【答案】：$a \leq 1$

对于一元二次方程 $x^{2}-2x + a = 0$，其判别式 $\Delta=b^{2}-4ac$，在方程 $x^{2}-2x + a = 0$ 中，$a = 1$，$b=-2$，$c = a$（这里方程中的参数用$a$表示，与二次函数一般式中的$a$区分），则$\Delta=(-2)^{2}-4×1× a$。
因为方程有两个实数根，所以$\Delta\geqslant0$，即$(-2)^{2}-4a\geqslant0$，$4 - 4a\geqslant0$，$4\geqslant4a$，解得$a\leqslant1$。

8. 方程 $ x^{2}+2x = 3 $ 的实数根为。

【解析】：方程移项得$x^2 + 2x - 3 = 0$，因式分解为$(x + 3)(x - 1) = 0$，则$x + 3 = 0$或$x - 1 = 0$，解得$x_1 = -3$，$x_2 = 1$。
【答案】：$x_1 = -3$，$x_2 = 1$

将方程 $x^{2} + 2x = 3$ 移项，得 $x^{2} + 2x - 3 = 0$。
因式分解得 $(x + 3)(x - 1) = 0$。
因此，$x + 3 = 0$ 或 $x - 1 = 0$。
解得 $x_{1} = -3$，$x_{2} = 1$。

9. 解方程。
（1）$ 2x^{2}+5x = 1 $。
（2）$ x^{2}-5x - 6 = 0 $。

（1）原方程：$2x^{2} + 5x = 1$，
移项得：$2x^{2} + 5x - 1 = 0$，
其中，$a = 2$，$b = 5$，$c = -1$，
判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 5^{2} - 4 × 2 × ( - 1) = 25 + 8 = 33$，
因此，方程的解为：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{33}}{4}$，
所以$x_{1} = \frac{- 5 + \sqrt{33}}{4}$，$x_{2} = \frac{- 5 - \sqrt{33}}{4}$。
（2）原方程：$x^{2} - 5x - 6 = 0$，
因式分解得：$(x - 6)(x + 1) = 0$，
由此得到两个方程：
$x - 6 = 0$，解得$x_{1} = 6$；
$x + 1 = 0$，解得$x_{2} = -1$。

10. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2x^{a}-3x^{b}-5 = 0 $，试写出满足要求的所有 $ a,b $ 的值。

$(2,0)$，$(2,1)$，$(2,2)$，$(0,2)$，$(1,2)$

要使方程 $2x^{a} - 3x^{b} - 5 = 0$ 为关于 $x$ 的一元二次方程，需满足：未知数 $x$ 的最高次数为 2，且二次项系数不为 0，$a,b$ 为非负整数。
情况1：$a = 2$
此时二次项为 $2x^2$（系数 $2 \neq 0$），则 $b$ 需满足次数不高于 2，且为非负整数，故 $b = 0,1,2$。
对应 $(a,b)$：$(2,0)$，$(2,1)$，$(2,2)$。
情况2：$b = 2$
此时二次项为 $-3x^2$（系数 $-3 \neq 0$），则 $a$ 需满足次数不高于 2，且为非负整数，故 $a = 0,1,2$。
对应 $(a,b)$：$(0,2)$，$(1,2)$，$(2,2)$。
合并去重后，所有可能的 $(a,b)$ 值为：
$(2,0)$，$(2,1)$，$(2,2)$，$(0,2)$，$(1,2)$。

1. 已知一元二次方程 $ x^{2}-x - 3 = 0 $ 的较小根为 $ x_{1} $，则下面对 $ x_{1} $ 的估计正确的是()

A.$ -3\lt x_{1}\lt -2 $
B.$ -2\lt x_{1}\lt -1 $
C.$ -1\lt x_{1}\lt 0 $
D.$ 1\lt x_{1}\lt 2 $

B

解方程$x^{2}-x - 3 = 0$，$a=1$，$b=-1$，$c=-3$，判别式$\Delta=(-1)^2 - 4×1×(-3)=1 + 12=13$，根为$x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$。较小根$x_1=\frac{1 - \sqrt{13}}{2}$。因为$3＜\sqrt{13}＜4$，所以$-4＜-\sqrt{13}＜-3$，则$-3＜1 - \sqrt{13}＜-2$，两边同除以2得$-1.5＜\frac{1 - \sqrt{13}}{2}＜-1$，即$-2＜x_1＜-1$。

2. 若方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0) $ 中，$ a,b,c $ 满足 $ a + b + c = 0 $ 和 $ a - b + c = 0 $，则方程的根为()

A.1，0
B.-1，0
C.1，-1
D.无法确定

C

将$x = 1$代入方程，得$a · 1^{2} + b · 1 + c = a + b + c$，已知$a + b + c = 0$，所以$x = 1$是方程的一个根。再将$x=-1$代入方程，得$a·(-1)^{2}+b·(-1)+c=a - b + c$，已知$a - b + c = 0$，所以$x = - 1$是方程的另一个根。