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1. 「2025 上海松江月考」已知：如图，$∠B = ∠D$，$∠1 = ∠E$。求证：$AB // CD$。
答案
证明
∵ ∠1 = ∠E，
∴ AD // BE，
∴ ∠D = ∠DCE.
∵ ∠D = ∠B，
∴ ∠B = ∠DCE，
∴ AB // CD.
∵ ∠1 = ∠E，
∴ AD // BE，
∴ ∠D = ∠DCE.
∵ ∠D = ∠B，
∴ ∠B = ∠DCE，
∴ AB // CD.
2. 「2025 山西吕梁孝义期中」已知：如图，点$A$，$B$，$C$在同一条直线上，$BD$平分$∠ABE$，$BD ⊥ BF$，$∠ABD + ∠F = 90°$，求证：$BE // CF$。
答案
证明
∵ BD 平分 ∠ABE，
∴ ∠ABD = ∠EBD.
∵ BD ⊥ BF，
∴ ∠DBF = 90°，
∴ ∠ABD + ∠CBF = 180° - 90° = 90°，
∵ ∠ABD + ∠F = 90°，
∴ ∠F = ∠CBF，
∵ ∠EBF + ∠EBD = 90°，
∴ ∠EBF = ∠CBF，
∴ ∠F = ∠EBF，
∴ BE // CF.
∵ BD 平分 ∠ABE，
∴ ∠ABD = ∠EBD.
∵ BD ⊥ BF，
∴ ∠DBF = 90°，
∴ ∠ABD + ∠CBF = 180° - 90° = 90°，
∵ ∠ABD + ∠F = 90°，
∴ ∠F = ∠CBF，
∵ ∠EBF + ∠EBD = 90°，
∴ ∠EBF = ∠CBF，
∴ ∠F = ∠EBF，
∴ BE // CF.
3. 「2025 上海金山期中」科技改变世界。为提高快递包裹的分拣效率，某物流公司引进了快递自动分拣流水线，如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图，若$∠EOF + ∠OFC = 180°$，$OE$平分$∠AOC$，$CF$平分$∠OCD$，求证：$AB // CD$。
答案
证明
∵ ∠EOF + ∠OFC = 180°，
∴ OE // CF，
∴ ∠COE = ∠OCF，
∵ OE 平分 ∠AOC，CF 平分 ∠OCD，
∴ ∠AOC = 2∠COE，∠OCD = 2∠OCF，
∴ ∠AOC = ∠OCD，
∴ AB // CD.
∵ ∠EOF + ∠OFC = 180°，
∴ OE // CF，
∴ ∠COE = ∠OCF，
∵ OE 平分 ∠AOC，CF 平分 ∠OCD，
∴ ∠AOC = 2∠COE，∠OCD = 2∠OCF，
∴ ∠AOC = ∠OCD，
∴ AB // CD.
4. 如图，已知在$△ABC$中，$∠ACB = 90°$，$D$为$AB$上一点，$DG ⊥ BC$，垂足为$G$，点$F$在$AD$上，点$E$在$AC$上，若$∠1 + ∠2 = 180°$，则$DC$与$EF$有怎样的位置关系？请说明理由。
答案
解析 DC // EF.
理由：如图，
∵ 在 △ABC 中，∠ACB = 90°，
∴ ∠3 + ∠4 = 90°，
∵ DG ⊥ BC，
∴ ∠DGC = 90°，
∵ ∠1 + ∠3 + ∠DGC = 180°，
∴ ∠1 + ∠3 = 90°，
∴ ∠4 = ∠1.
∵ ∠1 + ∠2 = 180°，
∴ ∠4 + ∠2 = 180°，
∴ DC // EF.
5. 如图，已知$∠1 = ∠2$，$∠3 + ∠4 = 180°$，试探究$AB$与$EF$的位置关系，并说明理由。
答案
解析 AB // EF.
理由：
∵ ∠1 = ∠2，
∴ AB // CD，
∵ ∠3 + ∠4 = 180°，
∴ CD // EF，
∴ AB // EF.
理由：
∵ ∠1 = ∠2，
∴ AB // CD，
∵ ∠3 + ∠4 = 180°，
∴ CD // EF，
∴ AB // EF.
6. 「2025 四川甘孜州期末」已知：如图，点$F$在$AB$上，$EF$交$BD$于$G$，交$CD$于$E$，$∠1 = ∠2$，$∠3 = ∠ABE$，$∠ADC + ∠C = 180°$，求证：$AD // EF$。
答案
证明
∵ ∠ADC + ∠C = 180°，
∴ AD // BC.
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1 + ∠GBE = ∠2 + ∠GBE，即 ∠ABE = ∠CBG，
∵ ∠3 = ∠ABE，
∴ ∠3 = ∠CBG，
∴ EF // BC，
∴ AD // EF.
∵ ∠ADC + ∠C = 180°，
∴ AD // BC.
∵ ∠1 = ∠2，
∴ ∠1 + ∠GBE = ∠2 + ∠GBE，即 ∠ABE = ∠CBG，
∵ ∠3 = ∠ABE，
∴ ∠3 = ∠CBG，
∴ EF // BC，
∴ AD // EF.
