3. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,4)和(3,0),C是y轴上的一个动点,且A,B,C三点不在同一条直线上.当△ABC的周长最小时,点C的坐标是( )


A.(0,3)
B.(0,2)
C.(0,1)
D.(0,0)

A [解析]如图,作点 B 关于 y 轴的对称点 $ B' $,连接 $ AB' $,交 y 轴于点 $ C' $,此时 $ \triangle ABC $ 的周长最小,过点 A 作 $ AE \perp x $ 轴于点 E.

$ \because B(3,0), \therefore B'(-3,0) $.
$ \because A(1,4), \therefore AE = 4, B'E = 1 + 3 = 4 $,
$ \therefore \triangle AB'E $ 为等腰直角三角形,
$ \therefore \angle B' = \angle B'C'O = 45^\circ, \therefore OC' = B'O = 3 $. 当 $ \triangle ABC $ 的周长最小时,点 C 与点 $ C' $ 重合,此时点 C 的坐标是 $ (0,3) $.

4. 如图,等边三角形ABC的边长为4,AD是边BC上的中线,F是AD上的动点,E是边AC上一点.若AE= 2,则当EF+CF取得最小值时,∠CEF的度数为______.

$ 90^\circ $ [解析] $ \because \triangle ABC $ 是等边三角形,AD 是边 BC 上的中线, $ \therefore AD \perp BC $,
$ \therefore $ 点 B 和点 C 关于直线 AD 对称.
如图,连接 BF,则 $ BF = CF $,

$ \therefore EF + CF = EF + BF \geq BE, \therefore $ 当 B,F,E 三点共线时, $ EF + CF $ 取得最小值.
$ \because $ 等边三角形 ABC 的边长为 4, $ AE = 2, \therefore E $ 是边 AC 的中点,
$ \therefore BE \perp AC, \therefore \angle CEF = 90^\circ $.

5. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,∠BAC= 30°,AB= 12,AD平分∠BAC,P,Q分别是AB,AD上的动点,则PQ+BQ的最小值是______. 

6 [解析]如图,作点 P 关于直线 AD 的对称点 $ P' $,连接 $ QP' $.

由点 P 与点 $ P' $ 关于直线 AD 对称,知 $ PQ = P'Q $,
$ \therefore PQ + BQ = P'Q + BQ \geq BP' $.
当 $ BP' \perp AC $ 时, $ BQ + P'Q $ 的值最小,此时点 Q 与点 D 重合,点 $ P' $ 与点 C 重合, $ PQ + BQ $ 的最小值即为 BC 的长.
在 $ Rt\triangle ABC $ 中, $ \because \angle C = 90^\circ, AB = 12, \angle BAC = 30^\circ $,
$ \therefore BC = \frac{1}{2}AB = 6, \therefore PQ + BQ $ 的最小值是 6.

6. (江苏南通月考)如图,点E在等边三角形ABC的边BC上,BE= 4,射线CD⊥BC,垂足为C,P是射线CD上一动点,F是线段AB上一动点.当EP+FP的值最小时,若BF= 6,则AB的长为______.

8 [解析]如图,作点 E 关于 CD 的对称点 $ E' $,连接 $ PE' $,

则 $ EP = E'P, CE = CE' $,
$ \therefore EP + FP = E'P + FP \geq E'F $,
$ \therefore $ 当 $ E',P,F $ 三点共线,且 $ E'F \perp AB $ 时, $ EP + FP $ 的值最小.
$ \because \triangle ABC $ 是等边三角形,
$ \therefore \angle B = 60^\circ, AB = BC = AC $.
$ \because E'F \perp AB $,
$ \therefore \angle FE'B = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $,
$ \therefore BE' = 2BF $.
$ \because BF = 6, \therefore BE' = 12. \because CE = CE', BE = 4 $,
$ \therefore CE = \frac{1}{2} × (12 - 4) = 4 $,
$ \therefore AB = BC = BE + CE = 4 + 4 = 8 $.

7. 练思维·几何直观 如图,A,B两地之间有两条等宽且互相平行的河流,若要在河流1上造一座桥QP,在河流2上造一座桥MN,则桥造在何处可使从A到B的路径最短？(假定河流两岸是平行的直线,桥要与河垂直)

解:如图,将点 A 向下平移一个河宽到点 $ A_1 $,将点 B 向上平移一个河宽到点 $ B_1 $,连接 $ A_1B_1, A_1B_1 $ 与两条河的河岸分别相交于点 P,M,在 P 处跨河流 1 建桥 QP,在 M 处跨河流 2 建桥 MN,此时从 A 到 B 的路径最短.

8. (天津)如图,在△ABC中,AB= AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上一个动点,则下列线段的长度等于BP+EP的最小值的是( )


A.BC
B.CE
C.AD
D.AC

B [解析]如图,连接 PC.

$ \because AB = AC, BD = CD, \therefore AD \perp BC $,
$ \therefore BP = CP, \therefore BP + EP = CP + EP $.
$ \because EP + CP \geq CE $,
$ \therefore $ 当 P,C,E 三点共线时, $ BP + EP $ 的值最小,最小值为 CE 的长.

9. (江苏镇江)如图,有一张平行四边形纸片ABCD,AB= 5,AD= 7,将这张纸片折叠,使得点B的对应点B'落在边AD上,折痕为EF.若点E在边AB上,则DB'的最小值为______.

2 [解析]如图,由折叠的性质,得 $ EB = EB' $.
当点 E 与点 A 重合时, $ EB' = AB = AB' = 5 $,此时 $ DB' $ 有最小值,
$ \therefore DB' = AD - AB' = AD - AB = 7 - 5 = 2 $.