(5)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E，F分别是CB，CD上的点，且∠EAF=70°.下列说法中，正确的是.（填序号）

5. ③⑤⑥

【分析】
本题属于四边形中的半角模型问题，解题思路如下：首先利用AB=AD的等邻边条件，通过旋转构造全等三角形，将分散的线段BE、DF整合到同一条线段上，再结合∠EAF是∠BAD一半的半角关系证明三角形全等，得到线段和的核心关系，最后逐一验证各个说法的正确性即可。
【解析】
解：将△ADF绕点A顺时针旋转140°，使AD与AB重合，得到△ABG，
由旋转性质可得：∠GAB=∠DAF，AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D=90°，
∵AB⊥CB，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABG+∠ABC=180°，即G、B、E三点共线。
∵∠BAD=140°，∠EAF=70°，
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=70°，
∴∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=70°，即∠GAE=∠EAF。
在△AGE和△AFE中：
$\{\begin{array}{l}AG=AF \\∠GAE=∠EAF \\AE=AE\end{array} $
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE=EF，
∵GE=BG+BE=DF+BE，
∴BE+DF=EF，故③正确。
对于⑤：当∠EAF固定为70°时，若E、F在CB、CD上的位置发生变化，BE和DF的长度会随之改变，因此EF=BE+DF的长度也会随E、F位置变化而变化，故⑤正确。
对于⑥：△CEF的周长$=CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=(CE+BE)+(CF+DF)=CB+CD$，故⑥正确。
其余说法均不恒成立，因此正确的是③⑤⑥。
【答案】
③⑤⑥
【知识点】
全等三角形判定，旋转的应用，半角模型
【点评】
本题侧重考查构造全等三角形解决线段和的问题，旋转是解决含等邻边、半角关系几何题的常用辅助线做法，熟练掌握该类模型的构造方法能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.65

3. 如图，已知直角α和线段m. 请利用尺规作直角三角形ABC，使∠C＝90°，AC＝m，BC＝2m.（保留作图痕迹，不要求写出作法）

解：如图，直角三角形ABC即为所求。

【分析】
要构造符合要求的直角三角形，可按以下思路逐步操作：首先确定直角顶点C，先作出和已知直角α相等的角，得到互相垂直的两条射线作为两条直角边的依托；接着在其中一条射线上截取长度等于m的线段，得到点A；再在另一条射线上连续两次截取长度为m的线段，得到长度为2m的BC边，确定点B；最后连接A、B两点，即可得到所求的直角三角形。
【解析】
作图核心操作如下：
1. 作∠C=∠α=90°，得到两条互相垂直的射线；
2. 在其中一条射线上截取线段AC=m，确定点A；
3. 在另一条射线上截取线段BC=2m（即先后两次截取长度为m的线段），确定点B；
4. 连接AB，所得△ABC即为所求作的直角三角形。
【答案】
解：如图，直角三角形ABC即为所求。
【知识点】
尺规作图，作等于已知角，作等于已知线段
【点评】
本题是基础的尺规作图应用题，重点考察基本作图方法的掌握，作图时要注意保留完整的作图痕迹，不得随意擦除截取标记、辅助弧线等内容。
【难度系数】
0.8

4. 已知：如图，E，F是线段AB上的两点，且$AE=BF$，$AD=BC$，$∠ A=∠ B$。求证：$∠ D=∠ C$。

4. 证明：$\because AE=BF$，
$\therefore AE+EF=BF+EF$，即$AF=BE$.
在$△ ADF$ 和$△ BCE$ 中，
$\because \begin{cases} AD=BC,\\ ∠ A=∠ B,\\ AF=BE, \end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ BCE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore ∠ D=∠ C$.

【分析】
要证明∠D=∠C，可先证明这两个角所在的△ADF和△BCE全等。已知条件已经给出AD=BC、∠A=∠B，还缺一组对应边相等的条件；结合已知AE=BF，根据线段和的性质，给等式两边同时加上公共线段EF，即可得到AF=BE，刚好满足全等三角形SAS的判定条件，证明两个三角形全等后，利用全等三角形对应角相等即可得证。
【解析】
证明：
$\because AE=BF$，
$\therefore AE+EF=BF+EF$，即$AF=BE$.
在$△ ADF$ 和$△ BCE$ 中，
$\because \begin{cases} AD=BC,\\ ∠ A=∠ B,\\ AF=BE, \end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ BCE(\mathrm{SAS})$.
根据全等三角形对应角相等的性质，可得$∠ D=∠ C$.
【答案】
证明：$\because AE=BF$，
$\therefore AE+EF=BF+EF$，即$AF=BE$.
在$△ ADF$ 和$△ BCE$ 中，
$\because \begin{cases} AD=BC,\\ ∠ A=∠ B,\\ AF=BE, \end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ BCE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore ∠ D=∠ C$.
【知识点】
线段和差计算、SAS判定全等、全等三角形性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题的关键是通过线段的和差关系得到全等判定需要的对应边相等，再结合已知条件证明三角形全等，最终推导得到对应角相等，是巩固全等三角形相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.8

5. 小明将等腰直角三角板放置到两堆砖块(砖块堆与地面垂直)之间，如图所示.
(1)求证：$△ ADC≌△ CEB$.
(2)若每块砖的厚度都为6 cm，请你帮小明求出DE的长.

5. (1)证明：$\because △ ABC$ 是等腰直角三角形，
$\therefore AC=CB$，$∠ ACB=90°$.
$\therefore ∠ ACD+∠ ECB=90°$.
又$\because ∠ ACD+∠ DAC=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ ECB$.
在$△ ADC$ 和$△ CEB$ 中，
$\because \begin{cases} ∠ ADC=∠ CEB,\\ ∠ DAC=∠ ECB,\\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$.
(2)解：根据题意，得$AD=4×6=24(\mathrm{cm})$，
$BE=3×6=18(\mathrm{cm})$.
由(1)，得$△ ADC≌△ CEB$，
$\therefore CE=AD=24\ \mathrm{cm}$，$DC=BE=18\ \mathrm{cm}$.
$\therefore DE=DC+CE=42(\mathrm{cm})$.

【分析】
(1)要证明$△ ADC≌△ CEB$，首先结合已知条件：$△ ABC$是等腰直角三角形，可得$AC=CB$，$∠ ACB=90°$；再由砖块与地面垂直，可得$∠ ADC=∠ CEB=90°$；最后利用同角的余角相等推出$∠ DAC=∠ ECB$，满足AAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2)要求$DE$的长度，观察图形可知$DE=DC+CE$，先根据砖块的厚度和数量计算出$AD$、$BE$的长度，再利用(1)中全等三角形对应边相等的性质，得到$CE=AD$、$DC=BE$，代入求和即可求出$DE$的长。
【解析】
(1)证明：$\because △ ABC$是等腰直角三角形，
$\therefore AC=CB$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ ECB=90°$。
又$\because AD⊥ DE$，$BE⊥ DE$，
$\therefore ∠ ADC=∠ CEB=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ DAC=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ ECB$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB\\∠ DAC=∠ ECB\\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$。
(2)解：由题意得，每块砖厚度为$6\mathrm{cm}$，左侧有4块砖，右侧有3块砖，
$\therefore AD=4×6=24(\mathrm{cm})$，$BE=3×6=18(\mathrm{cm})$。
由(1)得$△ ADC≌△ CEB$，根据全等三角形对应边相等，
$\therefore CE=AD=24\mathrm{cm}$，$DC=BE=18\mathrm{cm}$，
$\therefore DE=DC+CE=18+24=42(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1)已证$△ ADC≌△ CEB$；
(2)$DE$的长为$42\mathrm{cm}$。
【知识点】
全等三角形的判定（AAS），全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合实际场景考查三角形全等的相关知识，解题核心是先利用同角的余角相等推导得到相等的角，结合等腰直角三角形的边相等证明全等，再利用全等性质求解线段长度，属于全等知识的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7