(7)如图，$CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，$∠ 1=∠ 2$，则图中全等的三角形有 （）


A.1对
B.2对
C.3对
D.4对

7. D

【分析】
解题时先从已知条件出发，逐步推导相等的边和角，再依据全等三角形的判定定理依次找出所有全等的三角形：①首先看含∠1、∠2的两个直角三角形，有公共边AO和等角，可先证第一对全等；②利用第一对全等得到的等边，结合对顶角和直角，可证第二对全等；③结合前面得到的等边、等角，利用公共角和直角可证第三对大的直角三角形全等；④最后利用前面得到的AB=AC，结合∠1=∠2和公共边AO，可证第四对全等。
【解析】
我们逐对找出全等三角形：
1. 证$△ ADO ≌ △ AEO$：
已知$CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，故$∠ ADO = ∠ AEO = 90°$，又$∠ 1 = ∠ 2$，$AO = AO$（公共边），根据AAS判定，$△ ADO ≌ △ AEO$。
2. 证$△ BDO ≌ △ CEO$：
由$△ ADO ≌ △ AEO$得$OD = OE$，又$∠ BDO = ∠ CEO = 90°$，$∠ DOB = ∠ EOC$（对顶角相等），根据ASA判定，$△ BDO ≌ △ CEO$。
3. 证$△ ABE ≌ △ ACD$：
由$△ ADO ≌ △ AEO$得$AD = AE$，又$∠ BAE = ∠ CAD$（公共角），$∠ AEB = ∠ ADC = 90°$，根据AAS判定，$△ ABE ≌ △ ACD$。
4. 证$△ ABO ≌ △ ACO$：
由$△ ABE ≌ △ ACD$得$AB = AC$，又$∠ 1 = ∠ 2$，$AO = AO$（公共边），根据SAS判定，$△ ABO ≌ △ ACO$。
综上，共有4对全等三角形。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定、角平分线的性质、对顶角的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题时要按照从易到难的顺序，结合已知条件逐步推导相等的边角，避免漏找全等三角形。
【难度系数】
0.7

(8)根据下列条件，利用尺规作$△ ABC$，不能作出唯一的$△ ABC$ 的是 ()

A.$AB=7$，$AC=5$，$∠ A=60°$
B.$AC=5$，$∠ A=60°$，$∠ C=80°$
C.$AB=7$，$AC=5$，$∠ B=40°$
D.$AB=7$，$BC=6$，$AC=5$

8. C

【分析】
要判断能否作出唯一的△ABC，本质是判断给出的条件是否符合三角形全等的判定定理，若符合全等判定条件，则能确定唯一的三角形，反之则不能。我们只需将每个选项的条件对照三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）逐一分析即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 给出两边AB=7、AC=5，以及两边的夹角∠A=60°，符合全等判定的SAS定理，可作出唯一的△ABC，不符合题意；
B. 给出两角∠A=60°、∠C=80°，以及两角的夹边AC=5，符合全等判定的ASA定理，可作出唯一的△ABC，不符合题意；
C. 给出两边AB=7、AC=5，以及AB边的对角∠B=40°，属于“两边及其中一边的对角”（SSA）的情况，不满足全等判定条件，可画出多个不同的△ABC，不能作出唯一的三角形，符合题意；
D. 给出三边AB=7、BC=6、AC=5，符合全等判定的SSS定理，可作出唯一的△ABC，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定；尺规作三角形；三角形确定性
【点评】
本题将三角形全等判定和尺规作图结合考查，需要牢记全等三角形的判定定理，特别注意“两边及其中一边的对角（SSA）”不能判定三角形全等，因此无法确定唯一的三角形。
【难度系数】
0.7

(9)如图，$∠ 1=∠ 2$，$AC=AD$. 添加下列一个条件后，能使$△ ABC ≌ △ AED$的有（）
①$AB=AE$；②$BC=ED$；③$∠ C=∠ D$；④$∠ B=∠ E$.

第1(9)题

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

9. B

【分析】
首先从已知条件出发，由∠1=∠2可推出两三角形的一组对应角∠CAB=∠DAE，结合已知AC=AD，我们已经得到一组对应边相等、一组对应角相等，接下来依次验证四个添加的条件是否符合全等三角形的判定定理即可，注意SSA不能判定三角形全等。
【解析】
解：$\because ∠ 1=∠ 2$
$\therefore ∠ 1+∠ EAB=∠ 2+∠ EAB$，即$∠ CAB=∠ DAE$
已知$AC=AD$，分情况判断：
①添加$AB=AE$时，
在$△ ABC$和$△ AED$中：
$\{\begin{array}{l}AC=AD\\ ∠ CAB=∠ DAE\\ AB=AE\end{array} $
$\therefore △ ABC≌△ AED(\mathrm{SAS})$，故①符合要求；
②添加$BC=ED$时，属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），无法判定三角形全等，故②不符合要求；
③添加$∠ C=∠ D$时，
在$△ ABC$和$△ AED$中：
$\{\begin{array}{l}∠ C=∠ D\\ AC=AD\\ ∠ CAB=∠ DAE\end{array} $
$\therefore △ ABC≌△ AED(\mathrm{ASA})$，故③符合要求；
④添加$∠ B=∠ E$时，
在$△ ABC$和$△ AED$中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ E\\ ∠ CAB=∠ DAE\\ AC=AD\end{array} $
$\therefore △ ABC≌△ AED(\mathrm{AAS})$，故④符合要求。
综上，能使$△ ABC≌△ AED$的条件有①③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定
【点评】
解题的关键是先推导得到一组公共的相等对应角，再结合全等判定定理逐一验证条件，要特别注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免误判。
【难度系数】
0.7

(10)如图，线段$AB=18\ \mathrm{m}$，$MA ⊥ AB$于点$A$，$MA=6\ \mathrm{m}$，射线$BD ⊥ AB$于点$B$。点$P$和点$Q$同时从点$B$出发，点$P$向点$A$运动，速度为$1\ \mathrm{m/s}$，点$Q$沿射线$BD$运动，速度为$2\ \mathrm{m/s}$。若它们出发$x\ \mathrm{s}$后，在线段$MA$上有一点$C$，使$△ CAP ≌ △ PBQ$，则$x$的值为（）


A.4
B.6
C.4或9
D.6或9

10. B

【分析】
解题时首先根据动点的运动速度和时间，用含x的代数式表示出相关线段的长度，再结合全等三角形对应边相等的性质列方程求解，最后要结合点C在线段MA上的限制条件验证解是否符合题意，排除不符合实际的解即可得到正确结果。
【解析】
解：由题意可知：
∵$MA ⊥ AB$，$BD ⊥ AB$，
∴$∠ A = ∠ B = 90°$
出发$x\ \mathrm{s}$后：
$BP = 1× x = x\ \mathrm{m}$，$AP = AB - BP = (18-x)\ \mathrm{m}$，$BQ = 2× x = 2x\ \mathrm{m}$
∵$△ CAP ≌ △ PBQ$，根据全等三角形对应边相等的性质可得：$AP = BQ$，$CA = PB$
列方程：$18 - x = 2x$
解得：$x = 6$
此时$CA = PB = 6\ \mathrm{m}$，与$MA=6\ \mathrm{m}$相等，点C与点M重合，符合点C在线段MA上的条件。
若假设对应边为$CA=BQ$、$AP=PB$，则解得$x=9$，此时$CA=BQ=18\ \mathrm{m}＞MA=6\ \mathrm{m}$，在线段MA上不存在符合要求的点C，该情况舍去。
综上，$x$的值为6。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质，动点问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题易错点是忽略全等三角形的顶点对应顺序，或者忘记验证点C的位置限制导致出现增根，解题时要注意结合题目给出的所有限制条件判断解是否成立。
【难度系数】
0.6

(1)写出下列命题的逆命题，并判断其真假.
①两直线平行，同位角相等.

②两个相邻偶数的差是2.

① 同位角相等，两直线平行. 真命题.
② 差是2的两个数是相邻的偶数. 假命题.

【分析】
要解决这道题，首先要明确逆命题的改写规则：逆命题是将原命题的题设（条件）和结论互换位置得到的命题。解题步骤分为三步：第一步拆分每个原命题的题设和结论，第二步将两者互换位置整理为通顺的语句得到逆命题，第三步结合已学知识或举反例判断逆命题的真假，假命题只需举出1个不符合结论的反例即可判定。
【解析】
① 拆分原命题“两直线平行，同位角相等”：题设为“两直线平行”，结论为“同位角相等”。将题设和结论互换，得到逆命题“同位角相等，两直线平行”，该内容是平行线的判定定理，符合数学规律，为真命题。
② 拆分原命题“两个相邻偶数的差是2”：题设为“两个数是相邻偶数”，结论为“两个数的差是2”。将题设和结论互换，得到逆命题“差是2的两个数是相邻的偶数”，举反例：3和5的差是2，但二者均为奇数，不属于偶数，因此该命题不成立，为假命题。
【答案】
① 同位角相等，两直线平行. 真命题.
② 差是2的两个数是相邻的偶数. 假命题.
【知识点】
逆命题的概念，命题真假判断，平行线的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查逆命题的改写方法和真假命题的判断逻辑，解题关键是准确区分原命题的条件和结论，判断假命题时通过举反例可以快速验证，相关概念需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

(2)如图，已知$△ ABC$与$△ ADE$，点E在BC上，$AD=AB$，$AE=AC$，$DE=BC$。若$∠ 1=25°$，则$∠ 2$的度数为。

第2(2)题

2. $25°$

【分析】
首先观察题目给出的三组对应边相等，优先考虑用SSS判定$△ ABC$和$△ ADE$全等，得到对应角相等；再利用全等三角形的对应角相等，结合对顶角相等、三角形内角和的性质，推导$∠ 2$和$∠ 1$的等量关系，进而求出$∠ 2$的度数。
【解析】
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\{\begin{array}{l}AD=AB\\ AE=AC\\ DE=BC\end{array} $
$\therefore △ ABC≌ △ ADE(SSS)$
$\therefore ∠ D=∠ B$，$∠ DAE=∠ BAC$
$\therefore ∠ DAE-∠ BAE=∠ BAC-∠ BAE$，即$∠ DAB=∠ 1=25°$
设AB与DE交于点O，$∠ AOD$与$∠ BOE$是对顶角，$\therefore ∠ AOD=∠ BOE$
在$△ AOD$和$△ BOE$中：
$∠ D+∠ DAB+∠ AOD=180°$，$∠ B+∠ 2+∠ BOE=180°$
又$\because ∠ D=∠ B$，$∠ AOD=∠ BOE$
$\therefore ∠ 2=∠ DAB=25°$
【答案】
$25°$
【知识点】
全等三角形判定与性质；对顶角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题解题的核心是先通过SSS判定两个三角形全等，建立角的等量关系，再结合对顶角和三角形内角和的性质完成角度的推导，属于基础的全等三角形应用类题目。
【难度系数】
0.7

(3)如图，$AC=DB$，$AO=DO$，$CD=100$ m. $A$，$B$两点间的距离为 m.
(4)已知$△ ABC$和$△ A_1C_1B_1$，$∠ B=∠ B_1=30°$，$AB=A_1B_1=5$，$AC=A_1C_1=3$. 若$∠ C=n°$，则$∠ C_1=$.

3. 100
4. $n°$或$180°-n°$

【分析】
第(3)题：要计算A、B两点的距离，观察图形可知AB和CD分别在△AOB和△DOC中，可通过证明两个三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到AB=CD。首先根据已知AC=DB、AO=DO，两式相减可得OB=OC，再结合对顶角相等，用SAS判定△AOB≌△DOC，即可得到AB的长度。
第(4)题：已知两个三角形满足两边及其中一边的对角相等（SSA），这种情况不能唯一确定三角形，需分两种情况讨论：①两个三角形全等时，对应角相等，∠C₁=∠C；②两个三角形不全等时，两个角互补，∠C₁=180°-∠C，综上即可得到∠C₁的所有可能取值。
【解析】
(3)
∵ AC=DB，AO=DO
∴ AC - AO = DB - DO，即OC=OB
在△AOB和△DOC中：
$\{\begin{array}{l}AO=DO(\mathrm{已知})\\ ∠ AOB=∠ DOC(\mathrm{对顶角相等})\\ OB=OC(\mathrm{已证})\end{array} $
∴ △AOB≌△DOC（SAS）
∴ AB=CD=100 m
(4) 分两种情况：
① 当△ABC≌△A₁B₁C₁时，根据全等三角形对应角相等，得∠C₁=∠C=n°；
② 当△ABC与△A₁B₁C₁不全等时，此时∠C₁与∠C互补，即∠C₁=180°-n°。
综上，∠C₁为n°或180°-n°。
【答案】
(3) 100；(4) $n°$或$180°-n°$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形分类讨论
【点评】
第(3)题是全等三角形在实际测量中的应用，解题关键是找到全等的条件，将不可直接测量的未知线段转化为已知线段求解；第(4)题易错点是忽略SSA不能判定三角形全等，未考虑多种情况导致漏解。
【难度系数】
0.7