登录
(1)某校购买了一批篮球和足球.已知购买足球的数量是篮球数量的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球的单价比足球的单价贵30元.根据题意，可列方程为$\frac{5000}{2x}=\frac{4000}{x}-30$，则方程中的x表示（
A.足球的单价
B.篮球的单价
C.足球的数量
D.篮球的数量
D
）A.足球的单价
B.篮球的单价
C.足球的数量
D.篮球的数量
答案
(1) D
解析
【分析】
要判断方程中x的含义，我们可以结合“单价=总价÷数量”的基本关系，先分析方程左右两边代数式的实际意义，再对照题目给出的数量关系推导即可。首先看方程左边$\frac{5000}{2x}$，5000元是购买足球的总费用，因此这个式子代表足球的单价；再看方程右边$\frac{4000}{x}-30$，题目明确篮球单价比足球贵30元，即足球单价=篮球单价-30，由此可知$\frac{4000}{x}$代表篮球的单价，而4000元是购买篮球的总费用，即可反推出x的含义。
【解析】
我们逐步推导x的含义：
1. 方程左边$\frac{5000}{2x}$：5000元是足球总费用，因此该式表示足球的单价；
2. 根据题意“篮球的单价比足球的单价贵30元”，可得等量关系：足球单价=篮球单价-30，因此方程右边的$\frac{4000}{x}$表示篮球的单价；
3. 4000元是篮球的总费用，由“单价=总价÷数量”可知，总价4000除以数量得到单价，因此x代表篮球的数量。
额外验证：题目说明足球数量是篮球数量的2倍，若x是篮球数量，则足球数量为2x，符合左边分母2x的设定，推导成立。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 单价、数量与总价的关系
【点评】
本题考查分式方程中未知数的实际意义，解题的核心是结合题意明确每个代数式对应的实际量，紧扣题目给出的数量关系推导即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断方程中x的含义，我们可以结合“单价=总价÷数量”的基本关系，先分析方程左右两边代数式的实际意义，再对照题目给出的数量关系推导即可。首先看方程左边$\frac{5000}{2x}$，5000元是购买足球的总费用，因此这个式子代表足球的单价；再看方程右边$\frac{4000}{x}-30$，题目明确篮球单价比足球贵30元，即足球单价=篮球单价-30，由此可知$\frac{4000}{x}$代表篮球的单价，而4000元是购买篮球的总费用，即可反推出x的含义。
【解析】
我们逐步推导x的含义：
1. 方程左边$\frac{5000}{2x}$：5000元是足球总费用，因此该式表示足球的单价；
2. 根据题意“篮球的单价比足球的单价贵30元”，可得等量关系：足球单价=篮球单价-30，因此方程右边的$\frac{4000}{x}$表示篮球的单价；
3. 4000元是篮球的总费用，由“单价=总价÷数量”可知，总价4000除以数量得到单价，因此x代表篮球的数量。
额外验证：题目说明足球数量是篮球数量的2倍，若x是篮球数量，则足球数量为2x，符合左边分母2x的设定，推导成立。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 单价、数量与总价的关系
【点评】
本题考查分式方程中未知数的实际意义，解题的核心是结合题意明确每个代数式对应的实际量，紧扣题目给出的数量关系推导即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
(2)今年爷爷的年龄是孙子年龄的5倍，12年后，孙子与爷爷的年龄比为1：3. 今年孙子的年龄是（
A.11岁
B.12岁
C.13岁
D.14岁
B
）A.11岁
B.12岁
C.13岁
D.14岁
答案
(2) B
解析
【分析】
遇到年龄与比例结合的应用题，可通过列方程求解：①先设今年孙子年龄为未知数，根据“今年爷爷年龄是孙子的5倍”表示出爷爷今年的年龄；②年龄增长对每个人是一致的，分别计算出12年后孙子、爷爷的年龄；③根据“12年后孙子与爷爷的年龄比为1:3”列出分式方程；④解方程后检验根是否符合实际意义，即可得到答案。
【解析】
设今年孙子的年龄是$x$岁，则今年爷爷的年龄是$5x$岁。
12年后孙子的年龄为$(x+12)$岁，爷爷的年龄为$(5x+12)$岁，根据题意列方程：
$\frac{x+12}{5x+12}=\frac{1}{3}$
方程两边同乘$3(5x+12)$去分母得：
$3(x+12)=5x+12$
展开得：$3x+36=5x+12$
移项、合并同类项得：$2x=24$
解得：$x=12$
检验：当$x=12$时，$5x+12=5×12+12=72≠0$，所以$x=12$是原分式方程的解，且符合年龄的实际意义。
【答案】
B
【知识点】
1.分式方程的应用
2.比例的基本性质
3.年龄问题求解
【点评】
本题是典型的年龄类应用题，解题核心是抓住“所有人年龄每年增长1岁”的规律，结合给出的比例关系列方程，注意求解分式方程后要验根，排除增根和不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
遇到年龄与比例结合的应用题，可通过列方程求解：①先设今年孙子年龄为未知数，根据“今年爷爷年龄是孙子的5倍”表示出爷爷今年的年龄；②年龄增长对每个人是一致的，分别计算出12年后孙子、爷爷的年龄；③根据“12年后孙子与爷爷的年龄比为1:3”列出分式方程；④解方程后检验根是否符合实际意义，即可得到答案。
【解析】
设今年孙子的年龄是$x$岁，则今年爷爷的年龄是$5x$岁。
12年后孙子的年龄为$(x+12)$岁，爷爷的年龄为$(5x+12)$岁，根据题意列方程：
$\frac{x+12}{5x+12}=\frac{1}{3}$
方程两边同乘$3(5x+12)$去分母得：
$3(x+12)=5x+12$
展开得：$3x+36=5x+12$
移项、合并同类项得：$2x=24$
解得：$x=12$
检验：当$x=12$时，$5x+12=5×12+12=72≠0$，所以$x=12$是原分式方程的解，且符合年龄的实际意义。
【答案】
B
【知识点】
1.分式方程的应用
2.比例的基本性质
3.年龄问题求解
【点评】
本题是典型的年龄类应用题，解题核心是抓住“所有人年龄每年增长1岁”的规律，结合给出的比例关系列方程，注意求解分式方程后要验根，排除增根和不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
(3)嘉琪借了一本360页的故事书，想在14天内读完. 当她读完半本时，发现接下来每天要多读16页才能恰好如期读完. 她读前半本时，平均每天读多少页？若设嘉琪读前半本时，平均每天读x页，则下列
方程中，正确的是 (
A.$7x + 7(x + 16) = 360$
B.$\frac{180}{x} + \frac{180}{x + 16} = 14$
C.$\frac{7}{x} + \frac{7}{x + 16} = 1$
D.$\frac{180}{x} + \frac{180}{x - 16} = 14$
方程中，正确的是 (
B
)A.$7x + 7(x + 16) = 360$
B.$\frac{180}{x} + \frac{180}{x + 16} = 14$
C.$\frac{7}{x} + \frac{7}{x + 16} = 1$
D.$\frac{180}{x} + \frac{180}{x - 16} = 14$
答案
(3) B
解析
【分析】
解题时首先明确题中等量关系：读前半本的时间+读后半本的时间=总天数14天。第一步先算出半本故事书的页数，再根据“阅读时间=阅读总页数÷每天阅读页数”分别表示出读前半本、后半本的时间，最后根据等量关系列方程匹配选项即可。注意不要错误认为前后半本阅读时间都是7天，避免误选错误选项。
【解析】
解：已知故事书总页数为360页，因此半本书的页数为$360÷2=180$页。
设读前半本时平均每天读$x$页，则读后半本时平均每天读$(x+16)$页。
根据“阅读时间=阅读页数÷每天阅读页数”可得：
读前半本的时间为$\frac{180}{x}$天，读后半本的时间为$\frac{180}{x+16}$天。
由恰好14天读完，可列方程：
$\frac{180}{x}+\frac{180}{x+16}=14$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的实际应用；工程类数量关系；等量关系确立
【点评】
本题是分式方程应用的常规题型，核心是抓住总时间作为等量关系列方程，易错点是容易错误假定前后半本阅读时间均为7天而误选A，解题时要注意区分前后两段的阅读效率和对应工作量，不要混淆条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题中等量关系：读前半本的时间+读后半本的时间=总天数14天。第一步先算出半本故事书的页数，再根据“阅读时间=阅读总页数÷每天阅读页数”分别表示出读前半本、后半本的时间，最后根据等量关系列方程匹配选项即可。注意不要错误认为前后半本阅读时间都是7天，避免误选错误选项。
【解析】
解：已知故事书总页数为360页，因此半本书的页数为$360÷2=180$页。
设读前半本时平均每天读$x$页，则读后半本时平均每天读$(x+16)$页。
根据“阅读时间=阅读页数÷每天阅读页数”可得：
读前半本的时间为$\frac{180}{x}$天，读后半本的时间为$\frac{180}{x+16}$天。
由恰好14天读完，可列方程：
$\frac{180}{x}+\frac{180}{x+16}=14$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的实际应用；工程类数量关系；等量关系确立
【点评】
本题是分式方程应用的常规题型，核心是抓住总时间作为等量关系列方程，易错点是容易错误假定前后半本阅读时间均为7天而误选A，解题时要注意区分前后两段的阅读效率和对应工作量，不要混淆条件。
【难度系数】
0.7
(4)某工厂计划生产1500个零件，但是在实际生产时，，求实际每天生产零件的数量. 在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程$\frac{1500}{x-5}-\frac{1500}{x}=10$，则题目中，“”表示的条件应是（
A.每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成
B.每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成
C.每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成
D.每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成
B
）A.每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成
B.每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成
C.每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成
D.每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成
答案
(4) B
解析
【分析】
拿到这道题我们可以从给出的方程和未知数设定反向推导条件：第一步先明确方程中各代数式的含义，首先设实际每天生产x个，那么x-5就是原计划每天生产的数量，由此可知实际和原计划的效率差异；第二步根据工程问题“工作时间=工作总量÷工作效率”的公式，判断两个分式分别代表原计划用时和实际用时，再根据方程的差为10，判断是提前还是延期完成，最终对应选项即可。
【解析】
解：已知设实际每天生产零件x个，对给出的方程$\frac{1500}{x-5}-\frac{1500}{x}=10$分析如下：
1. 分析效率关系：$x$是实际每天产量，$x-5$为原计划每天产量，可得实际每天比原计划多生产5个，据此排除C、D选项；
2. 分析时间关系：根据工程问题公式“工作时间=工作总量÷工作效率”，$\frac{1500}{x-5}$是原计划生产1500个零件的总用时，$\frac{1500}{x}$是实际生产的总用时；
3. 方程中“原计划用时 - 实际用时 = 10”，说明原计划用时比实际多10天，即实际生产提前10天完成，据此排除A选项。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的应用，工程问题
【点评】
本题属于分式方程应用的逆向考查题型，解题核心是熟练掌握工程问题三个基本量的对应关系，能准确将代数式、方程和实际生产场景中的量一一对应，注意区分效率高低和时间提前、延期的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
拿到这道题我们可以从给出的方程和未知数设定反向推导条件：第一步先明确方程中各代数式的含义，首先设实际每天生产x个，那么x-5就是原计划每天生产的数量，由此可知实际和原计划的效率差异；第二步根据工程问题“工作时间=工作总量÷工作效率”的公式，判断两个分式分别代表原计划用时和实际用时，再根据方程的差为10，判断是提前还是延期完成，最终对应选项即可。
【解析】
解：已知设实际每天生产零件x个，对给出的方程$\frac{1500}{x-5}-\frac{1500}{x}=10$分析如下：
1. 分析效率关系：$x$是实际每天产量，$x-5$为原计划每天产量，可得实际每天比原计划多生产5个，据此排除C、D选项；
2. 分析时间关系：根据工程问题公式“工作时间=工作总量÷工作效率”，$\frac{1500}{x-5}$是原计划生产1500个零件的总用时，$\frac{1500}{x}$是实际生产的总用时；
3. 方程中“原计划用时 - 实际用时 = 10”，说明原计划用时比实际多10天，即实际生产提前10天完成，据此排除A选项。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的应用，工程问题
【点评】
本题属于分式方程应用的逆向考查题型，解题核心是熟练掌握工程问题三个基本量的对应关系，能准确将代数式、方程和实际生产场景中的量一一对应，注意区分效率高低和时间提前、延期的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
(5)某店在开学初用880元购进若干个学生专用科学计算器，按每个50元出售，很快就销售一空. 据了解，学生还急需3倍数量的这种计算器，于是该店又用2580元购进这种计算器. 由于本次购进数量较大，每个计算器的进价比上次优惠1元，该店仍按每个50元出售，仅最后4个按九折出售. 该店两次销售这种计算器共盈利（
A.508元
B.520元
C.528元
D.560元
B
）A.508元
B.520元
C.528元
D.560元
答案
(5) B
解析
【分析】
要计算两次销售的总盈利，需先求出两次购进计算器的数量，再计算总销售额，最后用“总盈利=总销售额-总成本”求解。首先抓住“第二次每个进价比上次优惠1元”这一等量关系，设第一次购进数量为未知数，列分式方程求出购进数量，再计算总销售额即可。
【解析】
解：设第一次购进x个这种计算器，则第二次购进3x个这种计算器。
根据第二次进价比第一次优惠1元，列方程：
$\frac{880}{x} - \frac{2580}{3x} = 1$
化简得：$\frac{880}{x} - \frac{860}{x} =1$
即$\frac{20}{x}=1$，解得$x=20$。
检验：当$x=20$时，$3x=60≠0$，所以$x=20$是原方程的解，且符合实际意义。
则两次共购进计算器数量：$20 + 3×20 = 80$（个）
总销售额：$(80-4)×50 + 4×50×0.9 = 76×50 + 4×45 = 3800 + 180 = 3980$（元）
总成本：$880 + 2580 = 3460$（元）
总盈利：$3980 - 3460 = 520$（元）
【答案】
B
【知识点】
分式方程的应用，销售利润计算
【点评】
本题属于销售类的实际应用问题，解题核心是根据进价的数量关系列分式方程求出购进数量，计算销售额时注意打折部分的售价，同时要记得分式方程需要检验解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
要计算两次销售的总盈利，需先求出两次购进计算器的数量，再计算总销售额，最后用“总盈利=总销售额-总成本”求解。首先抓住“第二次每个进价比上次优惠1元”这一等量关系，设第一次购进数量为未知数，列分式方程求出购进数量，再计算总销售额即可。
【解析】
解：设第一次购进x个这种计算器，则第二次购进3x个这种计算器。
根据第二次进价比第一次优惠1元，列方程：
$\frac{880}{x} - \frac{2580}{3x} = 1$
化简得：$\frac{880}{x} - \frac{860}{x} =1$
即$\frac{20}{x}=1$，解得$x=20$。
检验：当$x=20$时，$3x=60≠0$，所以$x=20$是原方程的解，且符合实际意义。
则两次共购进计算器数量：$20 + 3×20 = 80$（个）
总销售额：$(80-4)×50 + 4×50×0.9 = 76×50 + 4×45 = 3800 + 180 = 3980$（元）
总成本：$880 + 2580 = 3460$（元）
总盈利：$3980 - 3460 = 520$（元）
【答案】
B
【知识点】
分式方程的应用，销售利润计算
【点评】
本题属于销售类的实际应用问题，解题核心是根据进价的数量关系列分式方程求出购进数量，计算销售额时注意打折部分的售价，同时要记得分式方程需要检验解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
