20. (本小题满分10分)
观察下列等式：$\frac{2}{1×3}=1-\frac{1}{3}$，$\frac{2}{2×4}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$，$\frac{2}{3×5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$，$\frac{2}{4×6}=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$，….
(1)写出接下来的一个等式.
(2)用含字母n(n为非零自然数)的等式表示(1)中的一般规律：.
(3)根据上面发现的规律，解方程：$\frac{1}{x(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+4)}+…+$

20. 解：(1)$\frac{2}{5×7}=\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$
(2)$\frac{2}{n(n+2)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$（$n$为非零自然数）
(3)左边$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4}+\dots+\frac{1}{x+2\ 024}-\frac{1}{x+2\ 026})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2\ 026})$，
$\therefore\frac{1}{2}×(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2\ 026})=\frac{1}{x+2\ 026}$。
整理，得$\frac{1}{x}=\frac{3}{x+2\ 026}$，
即$3x=x+2\ 026$。
解得$x=1\ 013$。
经检验，$x=1\ 013$是原分式方程的解。
故原分式方程的解是$x=1\ 013$。

【分析】
(1)观察给出的等式可知，分子均为2，分母是两个相差2的正整数的乘积，等式右边为这两个数的倒数作差，前4个式子分母第一个数依次是1、2、3、4，因此下一个式子分母第一个数为5，第二个数为5+2=7，即可写出对应等式；
(2)将分母的第一个数替换为非零自然数n，第二个数即为n+2，对应替换已知等式的数值即可得到一般规律；
(3)方程左边每个分式的分母都是相差2的整式乘积，符合裂项形式，由于已知裂项规律的分子为2，本题分式分子为1，因此先给每个分式提取$\frac{1}{2}$后再拆分，拆分后中间项相互抵消仅剩首尾两项，化简后得到常规分式方程，求解后检验是否为增根即可。
【解析】
(1)按照规律，接下来的等式为：$\frac{2}{5×7}=\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$
(2)用n表示非零自然数，一般规律为：$\frac{2}{n(n+2)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$（n为非零自然数）
(3)先化简方程左边：
左边$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4}+\dots+\frac{1}{x+2024}-\frac{1}{x+2026})$
中间项抵消后得：$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2026})$
原方程化为：$\frac{1}{2}×(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2026})=\frac{1}{x+2026}$
整理得：$\frac{1}{x}=\frac{3}{x+2026}$
交叉相乘得：$3x=x+2026$
解得$x=1013$
检验：当$x=1013$时，原方程所有分母均不为0，因此$x=1013$是原分式方程的解。
【答案】
(1)$\frac{2}{5×7}=\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$
(2)$\frac{2}{n(n+2)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$（n为非零自然数）
(3)$x=1013$
【知识点】
裂项相消，规律探究，解分式方程
【点评】
本题从简单等式规律探究切入，将裂项相消方法与分式方程求解结合，既考查归纳推理能力，也考查分式方程的运算能力，解题时需要注意裂项的系数处理，以及分式方程必须验根。
【难度系数】
0.6