21.（本小题满分12分）
如图①，在△ABC中，AB=AC=8，∠B=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE（D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜120°）。设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N。

(1)如图①，当AD⊥BC时，旋转角α=，AM=。
(2)如图②，在△ABC绕点A逆时针旋转的过程中，小真同学发现线段BM的长始终等于线段EN的长，请证明这一结论。
(3)当△DOM是等腰三角形时，求旋转角α的度数。
(4)如图③，连接BD，EC并延长，交于点P。
①当∠BOE=90°时，求BD的长。
②求BP+EP的最大值。

21. (1)$60°$，4
(2)证明：$\because AB=AC$，
$\therefore∠ B=∠ C$。
$\because△ ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$△ ADE$，
$\therefore∠ BAC=∠ DAE$，$∠ C=∠ E$，$AC=AE$。
$\therefore∠ BAC-∠ MAN=∠ DAE-∠ MAN$，
即$∠ BAM=∠ EAN$；
$AB=AE$，$∠ B=∠ E$。
在$△ BAM$和$△ EAN$中，
$\because\begin{cases}∠ BAM=∠ EAN,\\AB=AE,\\∠ B=∠ E,\end{cases}$
$\therefore△ BAM≌△ EAN(\mathrm{ASA})$。
$\therefore BM=EN$。
(3)解：当$DM=OM$时，如下图，
此时$∠ DOM=∠ D=30°$。
$\because∠ B=∠ D$，$∠ AMB=∠ DMO$，
$\therefore∠ BAD=∠ DOM=30°$，
即$α=30°$。
当$DM=DO$时，如下图，
此时$∠ DMO=∠ DOM=\frac{180°-∠ D}{2}=75°$，
$\thereforeα=∠ DOM=75°$。
当$OM=OD$时，如下图，
此时$∠ OMD=∠ D=30°$，
$\thereforeα=∠ DOM=120°(\mathrm{不合题意，舍去})$。
综上所述，$α$的度数为$30°$或$75°$。
(4)解：① $\because∠ ABC=∠ ADE=30°$，$∠ AMB=∠ DMO$，
$\therefore∠ BAD=∠ DOM=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，
$\because AB=AD=8$，
$\therefore BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=8\sqrt{2}$。
②如图，连接$BE$。
$\because∠ BAD=α$，$AB=AD$，
$\therefore∠ ABD=90°-\frac{1}{2}α$。
同理可得$∠ AEC=90°-\frac{1}{2}α$。
$\because∠ DAE=180°-30°-30°=120°$，
$\therefore∠ BAE=360°-∠ BAD-∠ DAE=240°-α$。
$\because AB=AE$，
$\therefore∠ ABE=∠ AEB=\frac{1}{2}α-30°$。
$\therefore∠ PBE=∠ ABE+∠ ABD=60°$，
$∠ PEB=∠ AEB+∠ AEC=60°$。
$\therefore∠ PBE=∠ PEB=60°$。
$\therefore△ PBE$为等边三角形。
$\therefore BP=EP=BE$。
当$B$，$A$，$E$三点共线时，$BE$取得最大值，此时$BE=AB+AE=16$。
$BP+EP=16+16=32$，
即$BP+EP$的最大值为$32$。

【分析】
(1) 利用等腰三角形内角和先求∠BAC的度数，当AD⊥BC时，在Rt△ABM中根据30°角所对直角边是斜边一半求AM，再根据直角三角形两锐角互余求∠BAD即旋转角α的度数。
(2) 要证BM=EN，考虑证明两线段所在三角形全等：结合旋转性质得到对应边、对应角相等，再推导得到夹角相等，用ASA证明△BAM≌△EAN即可。
(3) △DOM为等腰三角形需分3种情况分类讨论：DM=OM、DM=DO、OM=OD，结合三角形内角和、旋转角的取值范围分别计算α，舍去不符合题意的结果。
(4) ①当∠BOE=90°时，通过角的等量关系推导得∠BAD=90°，△ABD为等腰直角三角形，用勾股定理求BD即可；②先通过角度计算证明△PBE为等边三角形，将BP+EP转化为2BE，再根据三点共线时线段和最大求BE的最大值，即可得到BP+EP的最大值。
【解析】
(1) 解：
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠BAC=180°-2×30°=120°。
∵AD⊥BC，
∴∠AMB=90°，
在Rt△ABM中，∠B=30°，AB=8，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=4，∠BAD=90°-∠B=60°，即旋转角α=60°。
(2) 证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠C=∠E，AC=AE，
∴∠BAC-∠MAN=∠DAE-∠MAN，即∠BAM=∠EAN，且AB=AE，∠B=∠E。
在△BAM和△EAN中，
$\begin{cases}∠BAM=∠EAN,\\AB=AE,\\∠B=∠E,\end{cases}$
∴△BAM≌△EAN(ASA)，
∴BM=EN。
(3) 解：分三种情况讨论：
①当DM=OM时，如下图，
此时∠DOM=∠D=30°，
∵∠B=∠D=30°，∠AMB=∠DMO，
∴∠BAD=∠DOM=30°，即α=30°。
②当DM=DO时，如下图，
此时∠DMO=∠DOM=$\frac{180°-∠D}{2}$=75°，
同理可得α=∠DOM=75°。
③当OM=OD时，如下图，
此时∠OMD=∠D=30°，
∴∠DOM=180°-2×30°=120°，即α=120°，
∵0°＜α＜120°，故不合题意，舍去。
综上所述，α的度数为30°或75°。
(4) ①解：
∵∠ABC=∠ADE=30°，∠AMB=∠DMO，
∴∠BAD=∠DOM=∠BOE=90°。
在Rt△ABD中，AB=AD=8，
∴BD=$\sqrt{AB^2+AD^2}$=$\sqrt{8^2+8^2}$=8$\sqrt{2}$。
②解：如图，连接BE，
∵∠BAD=α，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$α，
同理可得∠ACE=∠AEC=90°-$\frac{1}{2}$α。
∵∠DAE=∠BAC=120°，
∴∠BAE=360°-∠BAD-∠DAE=240°-α，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=$\frac{180°-(240°-α)}{2}$=$\frac{1}{2}$α-30°，
∴∠PBE=∠ABE+∠ABD=($\frac{1}{2}$α-30°)+(90°-$\frac{1}{2}$α)=60°，
∠PEB=∠AEB+∠AEC=($\frac{1}{2}$α-30°)+(90°-$\frac{1}{2}$α)=60°，
∴△PBE为等边三角形，
∴BP=EP=BE，即BP+EP=2BE。
当B、A、E三点共线时，BE取得最大值，此时BE=AB+AE=8+8=16，
∴BP+EP的最大值为2×16=32。
【答案】
(1)$60°$，4
(2) 证明如上，可得BM=EN。
(3) α的度数为$30°$或$75°$。
(4) ①$BD=8\sqrt{2}$；②BP+EP的最大值为32。
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰（等边）三角形的性质
【点评】
本题是几何综合题，以图形旋转为背景，融合了全等证明、等腰三角形分类讨论、等边三角形判定、线段最值求解等考点，梯度设置合理，既考查基础几何定理的应用，也对分类讨论、转化等数学思想有较高要求，能有效检验几何综合解题能力。
【难度系数】
0.3