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1. 已知∠α=35°30′，则它的余角为 （
A.54°70′
B.44°30′
C.54°30′
D.140°30′
C
）A.54°70′
B.44°30′
C.54°30′
D.140°30′
答案
1. C
解析
【分析】
首先要明确余角的定义：如果两个角的和为90°，就称这两个角互为余角，因此求一个角的余角，只需用90°减去这个角的度数即可。计算时需注意度、分的进率是60（即1°=60′），如果分位不够减，要从度位借1°转化为60′再计算，同时注意不要和补角的概念混淆。
【解析】
根据余角的定义，∠α的余角 = 90° - ∠α。
已知∠α=35°30′，先将90°换算为89°60′（借1°转化为60′，方便分位相减）：
$\begin{aligned}90°-35°30′&=89°60′-35°30′\\&=(89°-35°)+(60′-30′)\\&=54°30′\end{aligned}$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题是基础概念题，核心考查余角的定义和度分秒的单位运算，常见易错点是误将度分秒的进率当成10进制计算，或是混淆余角和补角的定义，避开这两个误区就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
首先要明确余角的定义：如果两个角的和为90°，就称这两个角互为余角，因此求一个角的余角，只需用90°减去这个角的度数即可。计算时需注意度、分的进率是60（即1°=60′），如果分位不够减，要从度位借1°转化为60′再计算，同时注意不要和补角的概念混淆。
【解析】
根据余角的定义，∠α的余角 = 90° - ∠α。
已知∠α=35°30′，先将90°换算为89°60′（借1°转化为60′，方便分位相减）：
$\begin{aligned}90°-35°30′&=89°60′-35°30′\\&=(89°-35°)+(60′-30′)\\&=54°30′\end{aligned}$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题是基础概念题，核心考查余角的定义和度分秒的单位运算，常见易错点是误将度分秒的进率当成10进制计算，或是混淆余角和补角的定义，避开这两个误区就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
2.若$∠ A = 62° 45'$，则$∠ A$的补角的度数为 （
A.$27° 55'$
B.$137° 15'$
C.$117° 15'$
D.$117° 55'$
C
）A.$27° 55'$
B.$137° 15'$
C.$117° 15'$
D.$117° 55'$
答案
2. C
解析
【分析】
首先明确补角的定义：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，因此求∠A的补角只需用180°减去∠A的度数即可。计算时要注意度和分的换算进制是60，即1°=60'，当分不够减时，需要从度的部分借1°转化为60'再进行计算，最后将计算结果和选项匹配即可。
【解析】
根据补角的定义可知，∠A的补角 = 180° - ∠A。
已知∠A = 62°45'，将180°转化为179°60'（方便分的减法计算），代入得：
180° - 62°45' = 179°60' - 62°45' = (179° - 62°) + (60' - 45') = 117°15'
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题是基础概念运算题，核心考查补角的定义和度分秒的60进制运算，易错点有两个：一是混淆余角和补角的概念，误用90°减去已知角；二是把度分秒的换算当成十进制计算，导致结果出错。
【难度系数】
0.7
首先明确补角的定义：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，因此求∠A的补角只需用180°减去∠A的度数即可。计算时要注意度和分的换算进制是60，即1°=60'，当分不够减时，需要从度的部分借1°转化为60'再进行计算，最后将计算结果和选项匹配即可。
【解析】
根据补角的定义可知，∠A的补角 = 180° - ∠A。
已知∠A = 62°45'，将180°转化为179°60'（方便分的减法计算），代入得：
180° - 62°45' = 179°60' - 62°45' = (179° - 62°) + (60' - 45') = 117°15'
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题是基础概念运算题，核心考查补角的定义和度分秒的60进制运算，易错点有两个：一是混淆余角和补角的概念，误用90°减去已知角；二是把度分秒的换算当成十进制计算，导致结果出错。
【难度系数】
0.7
3.已知∠α与∠β互为补角，且∠α=30°，则∠β的度数为 （
A.30°
B.60°
C.70°
D.150°
D
）A.30°
B.60°
C.70°
D.150°
答案
3. D
解析
【分析】
解题第一步先回忆补角的定义：如果两个角互为补角，那么这两个角的度数之和为180°。已知∠α和∠β互为补角，且给出了∠α的度数，我们只需要用180°减去∠α的度数，即可求出∠β的度数，再对应选项选出答案即可。
【解析】
根据补角的定义可知，互为补角的两个角的和为180°，因此：
$∠α + ∠β = 180°$
已知$∠α=30°$，代入上式得：
$∠β = 180° - ∠α = 180° - 30° = 150°$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
补角的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查对补角定义的记忆与运用，解题时注意不要将补角和余角的定义混淆，牢记补角和为180°、余角和为90°即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题第一步先回忆补角的定义：如果两个角互为补角，那么这两个角的度数之和为180°。已知∠α和∠β互为补角，且给出了∠α的度数，我们只需要用180°减去∠α的度数，即可求出∠β的度数，再对应选项选出答案即可。
【解析】
根据补角的定义可知，互为补角的两个角的和为180°，因此：
$∠α + ∠β = 180°$
已知$∠α=30°$，代入上式得：
$∠β = 180° - ∠α = 180° - 30° = 150°$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
补角的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查对补角定义的记忆与运用，解题时注意不要将补角和余角的定义混淆，牢记补角和为180°、余角和为90°即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4.若∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°,则∠1与∠3的关系 （
A.互余
B.互补
C.相等
D.∠1=180°+∠3
C
）A.互余
B.互补
C.相等
D.∠1=180°+∠3
答案
4. C
解析
【分析】
解题时可以从两个角度思考：一是结合补角的定义，判断出∠1和∠3都是∠2的补角，再根据补角的性质直接推导二者的关系；二是通过等式变形，分别用∠2表示出∠1和∠3，直接比较得到二者的数量关系。
【解析】
解：已知∠1 + ∠2 = 180°，根据补角的定义可得：
∠1 = 180° - ∠2
又已知∠2 + ∠3 = 180°，同理可得：
∠3 = 180° - ∠2
因此∠1 = ∠3。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；同角的补角相等
【点评】
本题属于基础题型，主要考查补角性质的应用，熟练掌握余角、补角的相关性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时可以从两个角度思考：一是结合补角的定义，判断出∠1和∠3都是∠2的补角，再根据补角的性质直接推导二者的关系；二是通过等式变形，分别用∠2表示出∠1和∠3，直接比较得到二者的数量关系。
【解析】
解：已知∠1 + ∠2 = 180°，根据补角的定义可得：
∠1 = 180° - ∠2
又已知∠2 + ∠3 = 180°，同理可得：
∠3 = 180° - ∠2
因此∠1 = ∠3。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；同角的补角相等
【点评】
本题属于基础题型，主要考查补角性质的应用，熟练掌握余角、补角的相关性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.9
5.若$∠ A,∠ B$互为补角,且$∠ A＜∠ B$,则$∠ A$的余角是（
A.$\frac{1}{2}(∠ A+∠ B)$
B.$\frac{1}{2}∠ B$
C.$\frac{1}{2}(∠ B-∠ A)$
D.$\frac{1}{2}∠ A$
C
）A.$\frac{1}{2}(∠ A+∠ B)$
B.$\frac{1}{2}∠ B$
C.$\frac{1}{2}(∠ B-∠ A)$
D.$\frac{1}{2}∠ A$
答案
5. C
解析
【分析】
解题的核心依据是余角和补角的定义：首先，互为补角的两个角之和为180°，可据此推导出90°用∠A和∠B表示的形式；其次，一个角的余角等于90°减去这个角，将之前得到的90°的表达式代入余角公式，化简后就能匹配到正确选项。
【解析】
1. 根据补角的定义，因为$∠A,∠B$互为补角，所以$∠A+∠B=180°$，等式两边同时除以2可得：$\frac{1}{2}(∠A+∠B)=90°$。
2. 根据余角的定义，$∠A$的余角为$90°-∠A$。
3. 将$90°=\frac{1}{2}(∠A+∠B)$代入余角公式计算：
$\begin{aligned}∠A\mathrm{的余角}&=\frac{1}{2}(∠A+∠B)-∠A\\&=\frac{1}{2}∠A+\frac{1}{2}∠B-∠A\\&=\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠A\\&=\frac{1}{2}(∠B-∠A)\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；余角的定义；整式化简
【点评】
本题属于余角、补角定义的基础应用题目，解题关键是熟练掌握余角和补角的数量关系，通过等量代换将所求余角用已知角的关系表示，化简后即可得到结果。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是余角和补角的定义：首先，互为补角的两个角之和为180°，可据此推导出90°用∠A和∠B表示的形式；其次，一个角的余角等于90°减去这个角，将之前得到的90°的表达式代入余角公式，化简后就能匹配到正确选项。
【解析】
1. 根据补角的定义，因为$∠A,∠B$互为补角，所以$∠A+∠B=180°$，等式两边同时除以2可得：$\frac{1}{2}(∠A+∠B)=90°$。
2. 根据余角的定义，$∠A$的余角为$90°-∠A$。
3. 将$90°=\frac{1}{2}(∠A+∠B)$代入余角公式计算：
$\begin{aligned}∠A\mathrm{的余角}&=\frac{1}{2}(∠A+∠B)-∠A\\&=\frac{1}{2}∠A+\frac{1}{2}∠B-∠A\\&=\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠A\\&=\frac{1}{2}(∠B-∠A)\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；余角的定义；整式化简
【点评】
本题属于余角、补角定义的基础应用题目，解题关键是熟练掌握余角和补角的数量关系，通过等量代换将所求余角用已知角的关系表示，化简后即可得到结果。
【难度系数】
0.7
6. 一个角的补角比这个角的 4 倍大 $25°$，则这个角等于 $\boldsymbol{(\quad)}$
A.$30°$
B.$31°$
C.$32°$
D.$33°$
A.$30°$
B.$31°$
C.$32°$
D.$33°$
答案
6. B
解析
【分析】
首先要明确补角的定义：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角。解题时我们可以先设这个角的度数为未知数，再根据题目给出的“补角比这个角的4倍大25°”的等量关系列出一元一次方程，最后解方程即可得到这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$x°$，则它的补角为$(180-x)°$。
根据题意列方程：
$180 - x = 4x + 25$
移项得：$180 - 25 = 4x + x$
合并同类项得：$155 = 5x$
系数化为1得：$x = 31$
因此这个角为$31°$。
【答案】
B
【知识点】
补角的定义；列一元一次方程解应用题
【点评】
本题属于基础题，核心是利用补角的性质找到等量关系，结合方程思想求解角度，掌握补角定义和一元一次方程解法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
首先要明确补角的定义：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角。解题时我们可以先设这个角的度数为未知数，再根据题目给出的“补角比这个角的4倍大25°”的等量关系列出一元一次方程，最后解方程即可得到这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$x°$，则它的补角为$(180-x)°$。
根据题意列方程：
$180 - x = 4x + 25$
移项得：$180 - 25 = 4x + x$
合并同类项得：$155 = 5x$
系数化为1得：$x = 31$
因此这个角为$31°$。
【答案】
B
【知识点】
补角的定义；列一元一次方程解应用题
【点评】
本题属于基础题，核心是利用补角的性质找到等量关系，结合方程思想求解角度，掌握补角定义和一元一次方程解法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
7. 如图，∠AOB=15°，∠AOC=90°，点B，O，D在同一条直线上，则∠COD的度数为 （
A.75°
B.95°
C.105°
D.115°
C
）A.75°
B.95°
C.105°
D.115°
答案
7. C
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知∠AOC为直角，∠AOB=15°，且B、O、D三点共线。首先可以通过∠AOC和∠AOB的差求出∠BOC的度数；再利用三点共线得到平角∠BOD=180°，最后用平角减去∠BOC的度数即可得到∠COD的大小。
【解析】
解：
∵ ∠AOC=90°，∠AOB=15°
∴ ∠BOC = ∠AOC - ∠AOB = 90° - 15° = 75°
∵ 点B，O，D在同一条直线上
∴ ∠BOD=180°（平角的定义）
∴ ∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 180° - 75° = 105°
故选：C
【答案】
C
【知识点】
角的和差计算；平角的定义；直角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心是理清图形中各个角的位置和和差关系，结合平角、直角的性质即可快速求解，解题时注意不要混淆角的加减关系。
【难度系数】
0.85
解题时先梳理已知条件：已知∠AOC为直角，∠AOB=15°，且B、O、D三点共线。首先可以通过∠AOC和∠AOB的差求出∠BOC的度数；再利用三点共线得到平角∠BOD=180°，最后用平角减去∠BOC的度数即可得到∠COD的大小。
【解析】
解：
∵ ∠AOC=90°，∠AOB=15°
∴ ∠BOC = ∠AOC - ∠AOB = 90° - 15° = 75°
∵ 点B，O，D在同一条直线上
∴ ∠BOD=180°（平角的定义）
∴ ∠COD = ∠BOD - ∠BOC = 180° - 75° = 105°
故选：C
【答案】
C
【知识点】
角的和差计算；平角的定义；直角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心是理清图形中各个角的位置和和差关系，结合平角、直角的性质即可快速求解，解题时注意不要混淆角的加减关系。
【难度系数】
0.85
8.如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOE=∠COF=90°,图中与∠BOC互补的角有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
8. C
解析
【分析】
首先明确补角的定义：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。解题思路如下：第一步先找∠BOC的邻补角，两条直线相交形成的邻补角天然满足和为180°；第二步结合已知的直角条件，利用同角的余角相等推导和邻补角相等的角，相等的角与∠BOC的和也为180°，同样属于∠BOC的补角。
【解析】
解：① 直线AB是平角，$∠ AOB=180°$，因此$∠ BOC + ∠ AOC = 180°$，$∠ AOC$是$∠ BOC$的补角；
② 直线CD是平角，$∠ COD=180°$，因此$∠ BOC + ∠ BOD = 180°$，$∠ BOD$是$∠ BOC$的补角；
③ 已知$∠ AOE=∠ COF=90°$，可得$∠ AOC + ∠ COE = ∠ AOE=90°$，$∠ EOF + ∠ COE = ∠ COF=90°$，根据同角的余角相等，得$∠ AOC=∠ EOF$。
因为$∠ AOC + ∠ BOC=180°$，因此$∠ EOF + ∠ BOC=180°$，$∠ EOF$也是$∠ BOC$的补角。
综上，与$∠ BOC$互补的角共有3个。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；同角的余角相等；对顶角的性质
【点评】
本题考查补角的判定，解题时容易漏算通过等角转换得到的补角，要注意结合已知的直角条件挖掘隐含的等角关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先明确补角的定义：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。解题思路如下：第一步先找∠BOC的邻补角，两条直线相交形成的邻补角天然满足和为180°；第二步结合已知的直角条件，利用同角的余角相等推导和邻补角相等的角，相等的角与∠BOC的和也为180°，同样属于∠BOC的补角。
【解析】
解：① 直线AB是平角，$∠ AOB=180°$，因此$∠ BOC + ∠ AOC = 180°$，$∠ AOC$是$∠ BOC$的补角；
② 直线CD是平角，$∠ COD=180°$，因此$∠ BOC + ∠ BOD = 180°$，$∠ BOD$是$∠ BOC$的补角；
③ 已知$∠ AOE=∠ COF=90°$，可得$∠ AOC + ∠ COE = ∠ AOE=90°$，$∠ EOF + ∠ COE = ∠ COF=90°$，根据同角的余角相等，得$∠ AOC=∠ EOF$。
因为$∠ AOC + ∠ BOC=180°$，因此$∠ EOF + ∠ BOC=180°$，$∠ EOF$也是$∠ BOC$的补角。
综上，与$∠ BOC$互补的角共有3个。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；同角的余角相等；对顶角的性质
【点评】
本题考查补角的判定，解题时容易漏算通过等角转换得到的补角，要注意结合已知的直角条件挖掘隐含的等角关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7
