12. 已知∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOB = a，射线OM平分∠COD，ON平分∠AOD.
(1) 如图①，若OC与OB重合，a=20°，请补全图形并求出∠MON的度数；
(2) 如图②，若∠MON=55°，求∠AOC的度数.

(1)∠MON=20°.补全图形如图所示.
(2)∠AOC=110°;

【分析】
(1) 第一问先根据已知条件确定∠COD和∠AOB的度数，当OC与OB重合时，先计算出∠AOD的总度数，再结合角平分线的定义分别求出∠MOD和∠DON的度数，最后通过角的差运算得到∠MON的度数，按要求补全图形即可。
(2) 第二问先利用角平分线的定义表示出∠DOM和∠DON，再把∠MON转化为两个角的差，通过变形推导得出∠MON和∠AOC的数量关系，代入已知的∠MON的度数即可求出∠AOC的大小。
【解析】
(1) 已知$a=20°$，则$∠ COD=a=20°$，$∠ AOB=2a=40°$。
∵ OC与OB重合，
∴ $∠ AOD=∠ AOB+∠ COD=40°+20°=60°$。
∵ OM平分$∠ COD$，
∴ $∠ MOD=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×20°=10°$。
∵ ON平分$∠ AOD$，
∴ $∠ DON=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×60°=30°$。
∴ $∠ MON=∠ DON-∠ MOD=30°-10°=20°$，补全图形如下：

(2)
∵ OM平分$∠ COD$，
∴ $∠ DOM=\frac{1}{2}∠ COD$。
∵ ON平分$∠ AOD$，
∴ $∠ DON=\frac{1}{2}∠ AOD$。
∴ $∠ MON=∠ DON-∠ DOM=\frac{1}{2}∠ AOD-\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}(∠ AOD-∠ COD)$。
又
∵ $∠ AOD-∠ COD=∠ AOC$，
∴ $∠ MON=\frac{1}{2}∠ AOC$。
已知$∠ MON=55°$，则$∠ AOC=2×55°=110°$。
【答案】
(1)∠MON=20°，补全图形如图所示.
(2)∠AOC=110°;
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 角的和差运算
【点评】
本题主要考查角平分线的性质和角度的和差计算，解题的关键是找到所求角和已知角之间的数量关系，第二问通过整体推导得到角的固定关系，简化了计算过程，体现了整体思想在几何运算中的应用。
【难度系数】
0.7

13.以直线AB上一点O为端点作射线OC,使∠BOC=60°,将一个直角三角形DOE的直角顶点放在点O处.

(1)如图①,将直角三角形DOE的一边OD放在射线OB上,则∠COE=;
(2)如图②,将直角三角形DOE绕点O按逆时针方向转动到某个位置,若OE恰好平分∠AOC,请判断OD是否平分∠BOC,并说明理由;
(3)将三角形DOE绕点O按逆时针方向转动到某个位置时,若恰好∠AOE=5∠COD,求∠BOD的度数.

(1)30°
(2)
∵OE平分∠AOC,
∴∠COE=∠AOE=$\frac{1}{2}$∠COA,
∵∠EOD=90°,
∴∠AOE+∠DOB=90°,
∠COE+∠COD=90°,
∴∠COD=∠DOB ,
∴OD所在射线是∠BOC的平分线.
(3)65°或52.5°

【分析】
(1) 已知直角三角板的直角∠DOE=90°，且∠BOC=60°，当OD放在射线OB上时，∠COE可通过∠DOE减去∠BOC直接计算得到。
(2) 要判断OD是否平分∠BOC，只需证明∠COD和∠DOB相等。首先由平角为180°、∠EOD=90°可推出∠AOE+∠DOB=90°；再结合OE平分∠AOC得∠COE=∠AOE，又∠COE+∠COD=90°，利用同角的余角相等即可推出∠COD=∠DOB。
(3) 三角板转动时OD的位置有两种情况：OD在∠BOC内部、OD在∠BOC外部，设∠COD=x，则∠AOE=5x，结合角的和差关系列方程求解，再对应计算∠BOD的度数即可。
【解析】
(1) 由题意得∠DOE=90°，∠BOC=60°，
∴∠COE=∠DOE - ∠BOC=90°-60°=30°。
(2) OD平分∠BOC，理由如下：
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∵∠EOD=90°，∠AOB=180°，
∴∠AOE + ∠DOB=180°-∠EOD=90°，
又
∵∠COE + ∠COD=∠EOD=90°，
∴∠COD=∠DOB（同角的余角相等），
∴OD平分∠BOC。
(3) 设∠COD=x，则∠AOE=5x，分两种情况讨论：
①当OD在∠BOC内部时，∠BOD=∠BOC - ∠COD=60°-x，
由∠AOE + ∠EOD + ∠BOD=180°，
代入得$5x + 90° + 60° - x = 180°$，
解得x=7.5°，
∴∠BOD=60°-7.5°=52.5°；
②当OD在∠BOC外部时，∠BOD=∠BOC + ∠COD=60°+x，
由∠AOE + ∠EOD + ∠BOD=180°，
代入得$5x + 90° + 60° + x = 180°$，
解得x=5°，
∴∠BOD=60°+5°=65°。
综上，∠BOD的度数为65°或52.5°。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$
(2) OD平分∠BOC，理由见解析
(3) $\boxed{65°}$或$\boxed{52.5°}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算，余角的性质
【点评】
本题考查角的相关运算与角平分线的判定，解题时需要注意三角板转动时的位置变化，运用分类讨论思想避免漏解，同时要熟练掌握平角、直角的性质完成角的等量转化。
【难度系数】
0.6