7. 按图①~④的步骤作图，下列结论错误的是（）

A.$\frac{1}{2}∠AOB=∠AOP$
B.$∠AOP=∠BOP$
C.$2∠BOP=∠AOB$
D.$∠BOP=2∠AOP$

D

【分析】
首先观察作图步骤：第一步给出∠AOB，第二步将OB边向OA边折叠，使OB与OA重合，第三步画出折痕对应的射线OP，可知该作图的本质是作∠AOB的角平分线，OP平分∠AOB。根据角平分线的性质：角平分线将一个角分成两个相等的小角，每个小角等于原角的一半，原角是每个小角的2倍，我们可以逐一验证每个选项是否符合这个性质，找出错误的选项即可。
【解析】
由作图步骤可知，射线OP是∠AOB的角平分线，因此可得：
$∠ AOP = ∠ BOP = \frac{1}{2}∠ AOB$，变形可得$∠ AOB = 2∠ AOP = 2∠ BOP$。
逐一判断选项：
A. $\frac{1}{2}∠ AOB=∠ AOP$，符合角平分线性质，结论正确；
B. $∠ AOP=∠BOP$，符合角平分线性质，结论正确；
C. $2∠BOP=∠AOB$，符合角平分线性质，结论正确；
D. $∠BOP=2∠AOP$，与$∠ AOP=∠BOP$矛盾，结论错误。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义，角的倍分运算
【点评】
本题解题的核心是通过作图步骤判断出OP是∠AOB的角平分线，再结合角平分线的性质分析各选项，主要考查对基础作图的识别和角的基本运算能力，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8

8.点 C 在$∠ AOB$内部,现有四个等式$∠ COA = ∠ BOC$,$∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB$,$\frac{1}{2}∠ AOB = 2∠ COA$,$∠ AOB = 2∠ AOC$,其中能表示 OC 是角平分线的等式的个数为（）

A.1
B.2
C.3
D.4

C

【分析】
首先回忆角平分线的定义：在角的内部，将角分成两个相等的角的射线叫做这个角的角平分线。本题已知点C在∠AOB内部，所以只要给出的等式能推导出∠AOC=∠BOC，就能说明OC是∠AOB的角平分线，接下来我们逐个验证四个等式即可。
【解析】
根据角平分线的定义逐一判断：
1. 对于等式$∠ COA = ∠ BOC$：直接满足角平分线“将角分成两个相等的角”的要求，所以该等式能表示OC是角平分线；
2. 对于等式$∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB$：因为$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC$，代入得$∠ BOC = \frac{1}{2}(∠ AOC + ∠ BOC)$，两边同乘2得$2∠ BOC = ∠ AOC + ∠ BOC$，化简得$∠ BOC = ∠ AOC$，所以该等式能表示OC是角平分线；
3. 对于等式$\frac{1}{2}∠ AOB = 2∠ COA$：整理得$∠ AOB = 4∠ COA$，那么$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = 4∠ AOC - ∠ AOC = 3∠ AOC$，$∠ BOC ≠ ∠ AOC$，所以该等式不能表示OC是角平分线；
4. 对于等式$∠ AOB = 2∠ AOC$：整理得$∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOB$，那么$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC = ∠ AOB - \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}∠ AOB$，所以$∠ AOC = ∠ BOC$，该等式能表示OC是角平分线。
综上，能表示OC是角平分线的等式有3个。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题考查角平分线的判定，解题的关键是牢记角平分线的定义，结合角的和差关系对每个等式进行推导验证，注意利用点C在角内部的前提条件，避免判断失误。
【难度系数】
0.7

9.从直线AB上一点O任意引射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE=.

90°

【分析】
解题时首先从已知条件提取关键信息：①点O在直线AB上，可得∠AOB是平角，度数为180°，即∠AOC与∠BOC的和为180°；②OD、OE分别是两个角的角平分线，根据角平分线定义可得到两个角的一半的关系。要求∠DOE的度数，可先将其拆分为∠DOC与∠COE的和，再利用角平分线的性质把这两个角转化为∠AOC和∠BOC的一半，最后整体代入∠AOC+∠BOC=180°计算即可。
【解析】
∵ 点O在直线AB上
∴ ∠AOB = 180°，即∠AOC + ∠BOC = 180°
∵ OD平分∠AOC
∴ ∠DOC = $\frac{1}{2}$∠AOC
∵ OE平分∠BOC
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC
∴ ∠DOE = ∠DOC + ∠COE
= $\frac{1}{2}$∠AOC + $\frac{1}{2}$∠BOC
= $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠BOC)
= $\frac{1}{2}$×180°
= 90°
【答案】
90°
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角的运算类基础题型，核心是结合平角性质与角平分线定义，通过拆分所求角、整体代换的思路求解，熟练掌握这类题型的推导逻辑，可快速解决同类角的计算问题。
【难度系数】
0.8

10.已知O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠COD=31°28′，求∠AOD的度数.

∠AOD=58°32′

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先O在直线AB上，可得∠AOB是平角，度数为180°；再结合OC是∠AOB的平分线，可求出∠AOC的度数；最后观察图形可知∠AOC是∠AOD与∠COD的和，因此用∠AOC减去∠COD的度数就能得到∠AOD的度数，计算时注意度分秒为60进制。
【解析】
解：
∵ O是直线AB上一点
∴ ∠AOB = 180°（平角的定义）
∵ OC是∠AOB的平分线
∴ $∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×180°=90°$
由图可得：$∠ AOC=∠ AOD+∠ COD$
∴ $∠ AOD=∠ AOC-∠ COD$
将$∠ COD=31°28'$代入得：
$∠ AOD=90°-31°28'=89°60'-31°28'=58°32'$
【答案】
$∠ AOD=58°32'$
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理清图中各角的数量关系，结合已知条件逐步推导，计算角度时要注意度、分、秒之间的进率为60，避免换算错误。
【难度系数】
0.85

11.如图，BD平分∠ABC，BE分∠ABC为2：5的两部分，∠DBE=21°，求∠ABC的度数.

∠ABC=98°

【分析】
本题可通过设未知数列方程求解。首先设∠ABC的度数为x，根据BE将∠ABC分为2:5的两部分，可表示出∠ABE的度数；再根据BD是∠ABC的角平分线，可表示出∠ABD的度数；结合∠DBE=∠ABD-∠ABE=21°的等量关系列方程，即可求出∠ABC的度数。
【解析】
设∠ABC的度数为$x°$。
∵ BE分∠ABC为2:5的两部分，
∴ $∠ ABE = \frac{2}{2+5}x = \frac{2}{7}x°$。
∵ BD平分∠ABC，
∴ $∠ ABD = \frac{1}{2}x°$。
由题意得：$∠ DBE = ∠ ABD - ∠ ABE = 21°$，
代入得方程：$\frac{1}{2}x - \frac{2}{7}x = 21$，
通分计算：$\frac{7}{14}x - \frac{4}{14}x = 21$，
即$\frac{3}{14}x = 21$，
解得$x = 98$。
【答案】
$∠ ABC=98°$
【知识点】
角平分线定义，角的和差运算，一元一次方程应用
【点评】
本题是角的计算类基础题，解题核心是结合图形理清各角的数量关系，利用方程思想求解角的度数是此类题的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7