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11. 数学活动：折纸中的数学.
【知识背景】我们在七年级上册第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线.
如图15.1-8是七年级上册教材第175页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与∠RQM重合，所以∠PQM = ∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线.
【知识初探】
（1）如图15.1-9，点P，Q分别是长方形纸片ABCD的对边AB，CD上的点，连接PQ，将∠APQ和∠BPQ分别对折，使点A，B分别落在PQ上的A'和B'处，点C落在C'处，分别得折痕PN，PM，则∠NPM的度数是
【类比再探】
（2）如图15.1-10，将长方形纸片ABCD分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B分别落在点A'，B'处，PA'和PB'不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分.
①若∠A'PB'=20°，∠APN=30°，求∠NPM的度数.
②若∠A'PB'=α（0°≤α＜180°），求
∠NPM的度数.（用含α的式子表示）
【知识背景】我们在七年级上册第六章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线.
如图15.1-8是七年级上册教材第175页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与∠RQM重合，所以∠PQM = ∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线.
【知识初探】
（1）如图15.1-9，点P，Q分别是长方形纸片ABCD的对边AB，CD上的点，连接PQ，将∠APQ和∠BPQ分别对折，使点A，B分别落在PQ上的A'和B'处，点C落在C'处，分别得折痕PN，PM，则∠NPM的度数是
90°
.【类比再探】
（2）如图15.1-10，将长方形纸片ABCD分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B分别落在点A'，B'处，PA'和PB'不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分.
①若∠A'PB'=20°，∠APN=30°，求∠NPM的度数.
②若∠A'PB'=α（0°≤α＜180°），求
∠NPM的度数.（用含α的式子表示）
答案
11. （1）90° （2）①100° ②∠NPM=90°+$\frac{1}{2}α$
解析
【分析】
本题是折叠类角度计算问题，核心解题依据是折叠（轴对称）的性质：折叠前后对应角相等。
（1）对折后∠APN=∠A'PN，∠BPM=∠B'PM，而∠APB是平角为180°，因此∠NPM是平角的一半，可直接求出度数。
（2）①先根据折叠性质求出∠APA'的度数，再结合平角定义求出∠BPB'的度数，得到∠B'PM的大小，最后将∠A'PN、∠A'PB'、∠B'PM相加即可得到∠NPM的度数。
②用字母α代替已知角度，先根据平角定义得到∠APA'+∠A'PB'+∠BPB'=180°，结合折叠性质将∠APA'、∠BPB'转化为2∠APN、2∠BPM，推导得到∠APN+∠BPM的表达式，再用平角减去∠APN与∠BPM的和即可得到∠NPM的表达式。
【解析】
（1）由折叠的性质可知：$∠ APN=∠ A'PN$，$∠ BPM=∠ B'PM$，
∵$∠ APB=180°$，即$∠ APN+∠ A'PN+∠ BPM+∠ B'PM=180°$，
∴$2∠ A'PN + 2∠ B'PM = 180°$，
∴$∠ A'PN + ∠ B'PM = 90°$，
∴$∠ NPM=∠ A'PN + ∠ B'PM=90°$。
（2）①由折叠的性质得：$∠ APN=∠ A'PN=30°$，$∠ BPM=∠ B'PM$，
∴$∠ APA'=∠ APN+∠ A'PN=60°$，
∵$∠ APA'+∠ A'PB'+∠ BPB'=180°$，$∠ A'PB'=20°$，
∴$∠ BPB'=180°-60°-20°=100°$，
∴$∠ B'PM=\frac{1}{2}∠ BPB'=50°$，
∴$∠ NPM=∠ A'PN + ∠ A'PB' + ∠ B'PM=30°+20°+50°=100°$。
②由折叠的性质得：$∠ APN=∠ A'PN$，$∠ BPM=∠ B'PM$，
∴$∠ APA'=2∠ APN$，$∠ BPB'=2∠ BPM$，
∵$∠ APA'+∠ A'PB'+∠ BPB'=180°$，$∠ A'PB'=α$，
∴$2∠ APN + 2∠ BPM + α = 180°$，
∴$∠ APN + ∠ BPM = \frac{180°-α}{2} = 90° - \frac{1}{2}α$，
∵$∠ APN + ∠ NPM + ∠ BPM = 180°$，
∴$∠ NPM=180° - (∠ APN + ∠ BPM)=180° - (90° - \frac{1}{2}α)=90°+\frac{1}{2}α$。
【答案】
（1）$\boxed{90°}$；（2）①$\boxed{100°}$；②$\boxed{∠ NPM=90°+\dfrac{1}{2}α}$
【知识点】
轴对称的性质，角的和差计算，平角的定义
【点评】
本题以折纸活动为载体考查角度运算，解题关键是熟练掌握折叠前后对应角相等的性质，结合平角定义梳理角的数量关系，能有效锻炼逻辑推理能力和数形结合能力。
【难度系数】
0.7
本题是折叠类角度计算问题，核心解题依据是折叠（轴对称）的性质：折叠前后对应角相等。
（1）对折后∠APN=∠A'PN，∠BPM=∠B'PM，而∠APB是平角为180°，因此∠NPM是平角的一半，可直接求出度数。
（2）①先根据折叠性质求出∠APA'的度数，再结合平角定义求出∠BPB'的度数，得到∠B'PM的大小，最后将∠A'PN、∠A'PB'、∠B'PM相加即可得到∠NPM的度数。
②用字母α代替已知角度，先根据平角定义得到∠APA'+∠A'PB'+∠BPB'=180°，结合折叠性质将∠APA'、∠BPB'转化为2∠APN、2∠BPM，推导得到∠APN+∠BPM的表达式，再用平角减去∠APN与∠BPM的和即可得到∠NPM的表达式。
【解析】
（1）由折叠的性质可知：$∠ APN=∠ A'PN$，$∠ BPM=∠ B'PM$，
∵$∠ APB=180°$，即$∠ APN+∠ A'PN+∠ BPM+∠ B'PM=180°$，
∴$2∠ A'PN + 2∠ B'PM = 180°$，
∴$∠ A'PN + ∠ B'PM = 90°$，
∴$∠ NPM=∠ A'PN + ∠ B'PM=90°$。
（2）①由折叠的性质得：$∠ APN=∠ A'PN=30°$，$∠ BPM=∠ B'PM$，
∴$∠ APA'=∠ APN+∠ A'PN=60°$，
∵$∠ APA'+∠ A'PB'+∠ BPB'=180°$，$∠ A'PB'=20°$，
∴$∠ BPB'=180°-60°-20°=100°$，
∴$∠ B'PM=\frac{1}{2}∠ BPB'=50°$，
∴$∠ NPM=∠ A'PN + ∠ A'PB' + ∠ B'PM=30°+20°+50°=100°$。
②由折叠的性质得：$∠ APN=∠ A'PN$，$∠ BPM=∠ B'PM$，
∴$∠ APA'=2∠ APN$，$∠ BPB'=2∠ BPM$，
∵$∠ APA'+∠ A'PB'+∠ BPB'=180°$，$∠ A'PB'=α$，
∴$2∠ APN + 2∠ BPM + α = 180°$，
∴$∠ APN + ∠ BPM = \frac{180°-α}{2} = 90° - \frac{1}{2}α$，
∵$∠ APN + ∠ NPM + ∠ BPM = 180°$，
∴$∠ NPM=180° - (∠ APN + ∠ BPM)=180° - (90° - \frac{1}{2}α)=90°+\frac{1}{2}α$。
【答案】
（1）$\boxed{90°}$；（2）①$\boxed{100°}$；②$\boxed{∠ NPM=90°+\dfrac{1}{2}α}$
【知识点】
轴对称的性质，角的和差计算，平角的定义
【点评】
本题以折纸活动为载体考查角度运算，解题关键是熟练掌握折叠前后对应角相等的性质，结合平角定义梳理角的数量关系，能有效锻炼逻辑推理能力和数形结合能力。
【难度系数】
0.7
12. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（
C
）。答案
12. C
解析
【分析】
解题时首先回忆轴对称图形的定义，判断核心是看能否找到一条直线，使图形沿这条直线对折后，直线两旁的部分能完全重合。我们可以默认对称轴为图形的竖直中线，依次核对四个选项的图形对折后各部分是否都能重合，重点观察有没有不对称的凸出结构、部件长度差异等细节即可。
【解析】
轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。
我们逐个分析选项：
A. 该仪器是蒸馏烧瓶，侧面有单独的支管结构，沿任意直线折叠后，支管都无法和另一侧对应部分重合，不属于轴对称图形；
B. 该仪器是分液漏斗，下部有横向伸出的活塞旋钮，折叠后旋钮部分无法重合，不属于轴对称图形；
C. 该仪器是带塞广口瓶，沿竖直中线折叠后，左右两部分可完全重合，属于轴对称图形；
D. 该仪器是洗气瓶，瓶内两根导管长度不同（左长右短），折叠后导管部分无法重合，不属于轴对称图形。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的判定
【点评】
本题结合常见化学仪器考查轴对称图形的判断，解题时需注意观察图形的细节结构，避免忽略不对称的小部件导致判断失误。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆轴对称图形的定义，判断核心是看能否找到一条直线，使图形沿这条直线对折后，直线两旁的部分能完全重合。我们可以默认对称轴为图形的竖直中线，依次核对四个选项的图形对折后各部分是否都能重合，重点观察有没有不对称的凸出结构、部件长度差异等细节即可。
【解析】
轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。
我们逐个分析选项：
A. 该仪器是蒸馏烧瓶，侧面有单独的支管结构，沿任意直线折叠后，支管都无法和另一侧对应部分重合，不属于轴对称图形；
B. 该仪器是分液漏斗，下部有横向伸出的活塞旋钮，折叠后旋钮部分无法重合，不属于轴对称图形；
C. 该仪器是带塞广口瓶，沿竖直中线折叠后，左右两部分可完全重合，属于轴对称图形；
D. 该仪器是洗气瓶，瓶内两根导管长度不同（左长右短），折叠后导管部分无法重合，不属于轴对称图形。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的判定
【点评】
本题结合常见化学仪器考查轴对称图形的判断，解题时需注意观察图形的细节结构，避免忽略不对称的小部件导致判断失误。
【难度系数】
0.7
13. 武术是我国传统的体育项目. 下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（
C
）.答案
13. C
解析
【分析】
要判断哪个武术动作图形是轴对称图形，首先回忆轴对称图形的定义：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形。解题时我们只需要逐个观察选项中的图形，判断是否存在这样的一条直线，使得图形沿直线对折后两侧完全重合即可。
【解析】
根据轴对称图形的定义：在平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。我们对各选项逐一判断：
A. 该图形左右手臂姿势不同，沿任何直线折叠后，两侧都无法完全重合，不是轴对称图形；
B. 该图形左右手臂高度不同，腿部姿势也不对称，沿任何直线折叠后，两侧都无法完全重合，不是轴对称图形；
C. 该图形沿过中心的竖直直线折叠时，直线两侧的头部、手臂、腿部都能完全重合，属于轴对称图形；
D. 该图形一条腿抬起，左右腿部姿势不同，沿任何直线折叠后，两侧都无法完全重合，不是轴对称图形。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题是轴对称图形判定的基础题，核心是抓住“沿直线折叠后两侧完全重合”这一判断要点，结合图形特征即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
要判断哪个武术动作图形是轴对称图形，首先回忆轴对称图形的定义：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形。解题时我们只需要逐个观察选项中的图形，判断是否存在这样的一条直线，使得图形沿直线对折后两侧完全重合即可。
【解析】
根据轴对称图形的定义：在平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。我们对各选项逐一判断：
A. 该图形左右手臂姿势不同，沿任何直线折叠后，两侧都无法完全重合，不是轴对称图形；
B. 该图形左右手臂高度不同，腿部姿势也不对称，沿任何直线折叠后，两侧都无法完全重合，不是轴对称图形；
C. 该图形沿过中心的竖直直线折叠时，直线两侧的头部、手臂、腿部都能完全重合，属于轴对称图形；
D. 该图形一条腿抬起，左右腿部姿势不同，沿任何直线折叠后，两侧都无法完全重合，不是轴对称图形。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题是轴对称图形判定的基础题，核心是抓住“沿直线折叠后两侧完全重合”这一判断要点，结合图形特征即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
