登录
4. 如图，C是AB的中点，CD=BE，CD//BE. 求证：∠D=∠E.
答案
证明：
∵ C是AB的中点，
∴ AC = BC。
∵ CD // BE，
∴ ∠ACD = ∠CBE。
在△ACD和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}AC = BC \\∠ACD = ∠CBE \\CD = BE\end{array} $
∴ △ACD ≌ △CBE（SAS），
∴ ∠D = ∠E。
∵ C是AB的中点，
∴ AC = BC。
∵ CD // BE，
∴ ∠ACD = ∠CBE。
在△ACD和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}AC = BC \\∠ACD = ∠CBE \\CD = BE\end{array} $
∴ △ACD ≌ △CBE（SAS），
∴ ∠D = ∠E。
解析
【分析】
要证明∠D=∠E，通常可通过证明两角所在的三角形全等实现。首先梳理已知条件：C是AB中点，可得到一组相等的边AC=BC；CD//BE，根据平行线的同位角相等性质，可得到一组相等的角∠ACD=∠CBE；再结合已知CD=BE，恰好满足SAS全等判定的条件，证明△ACD和△CBE全等后，利用全等三角形对应角相等即可得出结论。
【解析】
证明：
∵ C是AB的中点，
∴ AC = BC。
∵ CD // BE，
∴ ∠ACD = ∠CBE。
在△ACD和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}AC = BC \\∠ACD = ∠CBE \\CD = BE\end{array} $
∴ △ACD ≌ △CBE（SAS），
∴ ∠D = ∠E。
【答案】
证明过程如上，可证得∠D=∠E。
【知识点】
平行线的性质，SAS判定全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题的关键是将中点、平行的已知条件转化为三角形全等所需的边、角相等条件，熟练掌握全等三角形的判定和性质即可轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.8
要证明∠D=∠E，通常可通过证明两角所在的三角形全等实现。首先梳理已知条件：C是AB中点，可得到一组相等的边AC=BC；CD//BE，根据平行线的同位角相等性质，可得到一组相等的角∠ACD=∠CBE；再结合已知CD=BE，恰好满足SAS全等判定的条件，证明△ACD和△CBE全等后，利用全等三角形对应角相等即可得出结论。
【解析】
证明：
∵ C是AB的中点，
∴ AC = BC。
∵ CD // BE，
∴ ∠ACD = ∠CBE。
在△ACD和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}AC = BC \\∠ACD = ∠CBE \\CD = BE\end{array} $
∴ △ACD ≌ △CBE（SAS），
∴ ∠D = ∠E。
【答案】
证明过程如上，可证得∠D=∠E。
【知识点】
平行线的性质，SAS判定全等，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题的关键是将中点、平行的已知条件转化为三角形全等所需的边、角相等条件，熟练掌握全等三角形的判定和性质即可轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.8
5. (2024 曲靖期中)如图,在$△ ABC$中,过点$C$作$CD ⊥ AB$于点$E$,$AB=CD$,$AE=CE$.求证:$∠ B = ∠ D$.
答案
证明：
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BEC = ∠DEA = 90°。
∵ AB = CD，AE = CE，
∴ AB - AE = CD - CE，
即 BE = DE。
在△BCE和△DAE中，
$\{\begin{array}{l}BE = DE \\∠BEC = ∠DEA \\CE = AE\end{array} $
∴ △BCE ≌ △DAE（SAS），
∴ ∠B = ∠D。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BEC = ∠DEA = 90°。
∵ AB = CD，AE = CE，
∴ AB - AE = CD - CE，
即 BE = DE。
在△BCE和△DAE中，
$\{\begin{array}{l}BE = DE \\∠BEC = ∠DEA \\CE = AE\end{array} $
∴ △BCE ≌ △DAE（SAS），
∴ ∠B = ∠D。
解析
【分析】要证明∠B=∠D，可通过证明两角所在的三角形全等实现。观察图形可知∠B在△BCE中，∠D在△DAE中，我们逐步推导全等条件：首先由CD⊥AB可得两个直角相等；再结合已知AB=CD、AE=CE，利用线段的和差关系可推出BE=DE；此时△BCE和△DAE满足两边及其夹角对应相等，可通过“SAS”判定全等，全等三角形对应角相等，即可得证∠B=∠D。
【解析】
证明：
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BEC = ∠DEA = 90°。
∵ AB = CD，AE = CE，
∴ AB - AE = CD - CE，
即 BE = DE。
在△BCE和△DAE中，
$\{\begin{array}{l}BE = DE \\∠BEC = ∠DEA \\CE = AE\end{array} $
∴ △BCE ≌ △DAE（SAS），
∴ ∠B = ∠D。
【答案】
证明：
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BEC = ∠DEA = 90°。
∵ AB = CD，AE = CE，
∴ AB - AE = CD - CE，
即 BE = DE。
在△BCE和△DAE中，
$\{\begin{array}{l}BE = DE \\∠BEC = ∠DEA \\CE = AE\end{array} $
∴ △BCE ≌ △DAE（SAS），
∴ ∠B = ∠D。
【知识点】
垂直的定义、SAS判定三角形全等、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题核心是通过已知线段的和差关系得到全等所需的等边条件，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
【解析】
证明：
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BEC = ∠DEA = 90°。
∵ AB = CD，AE = CE，
∴ AB - AE = CD - CE，
即 BE = DE。
在△BCE和△DAE中，
$\{\begin{array}{l}BE = DE \\∠BEC = ∠DEA \\CE = AE\end{array} $
∴ △BCE ≌ △DAE（SAS），
∴ ∠B = ∠D。
【答案】
证明：
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BEC = ∠DEA = 90°。
∵ AB = CD，AE = CE，
∴ AB - AE = CD - CE，
即 BE = DE。
在△BCE和△DAE中，
$\{\begin{array}{l}BE = DE \\∠BEC = ∠DEA \\CE = AE\end{array} $
∴ △BCE ≌ △DAE（SAS），
∴ ∠B = ∠D。
【知识点】
垂直的定义、SAS判定三角形全等、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题核心是通过已知线段的和差关系得到全等所需的等边条件，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6. 要测量圆形工件的外径,工人师傅设计了如图的卡钳,O为卡钳两柄的交点,且有OA=OB=OC=OD.如果圆形工件恰好通过卡钳AB,那么此工件的外径必是CD之长,其中的判定依据是.
答案
证明：在$△ AOB$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}OA=OD \\∠ AOB=∠ DOC \\OB=OC\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$
$\therefore AB=CD$
判定依据是：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。
$\begin{cases}OA=OD \\∠ AOB=∠ DOC \\OB=OC\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$
$\therefore AB=CD$
判定依据是：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。
解析
【分析】
要得出工件外径等于CD的长度，本质是要证明AB=CD。已知OA=OB=OC=OD，观察图形可得∠AOB与∠DOC是对顶角，二者相等，因此可先证明△AOB和△DOC全等，再由全等三角形的性质得到AB=CD。解题时先梳理两个三角形对应相等的边和角，选择对应的全等判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：在$△ AOB$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}OA=OD \\∠ AOB=∠ DOC \\OB=OC\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$
$\therefore AB=CD$
因此圆形工件的外径等于CD的长度。
【答案】
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的应用，贴合生活场景，解题的关键是准确找到两个全等三角形的对应边和对应夹角，掌握全等三角形的判定和性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要得出工件外径等于CD的长度，本质是要证明AB=CD。已知OA=OB=OC=OD，观察图形可得∠AOB与∠DOC是对顶角，二者相等，因此可先证明△AOB和△DOC全等，再由全等三角形的性质得到AB=CD。解题时先梳理两个三角形对应相等的边和角，选择对应的全等判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：在$△ AOB$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}OA=OD \\∠ AOB=∠ DOC \\OB=OC\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$
$\therefore AB=CD$
因此圆形工件的外径等于CD的长度。
【答案】
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的应用，贴合生活场景，解题的关键是准确找到两个全等三角形的对应边和对应夹角，掌握全等三角形的判定和性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7.“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法.所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形.具体做法:如图,AD是$△ ABC$的中线,延长AD到点E,使$DE=AD$,连接BE,构造出$△ BED$和$△ CAD$.求证:$△ BED ≌ △ CAD$.
答案
证明：
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD = CD。
在△BED和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}DE = AD \quad (\mathrm{已知}), \\∠BDE = ∠CDA \quad (\mathrm{对顶角相等}), \\BD = CD \quad (\mathrm{已证}),\end{array} $
∴ △BED ≌ △CAD（SAS）。
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD = CD。
在△BED和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}DE = AD \quad (\mathrm{已知}), \\∠BDE = ∠CDA \quad (\mathrm{对顶角相等}), \\BD = CD \quad (\mathrm{已证}),\end{array} $
∴ △BED ≌ △CAD（SAS）。
解析
【分析】
要证明△BED≌△CAD，可结合全等三角形的判定定理梳理对应条件：首先根据AD是△ABC的中线，由三角形中线的定义可得BD=CD；其次题目已知延长AD到E使得DE=AD；最后∠BDE与∠CDA是对顶角，根据对顶角的性质二者相等。三个条件刚好符合全等三角形的“SAS”判定要求，整理条件即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD = CD。
在△BED和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}DE = AD \quad (\mathrm{已知}), \\∠BDE = ∠CDA \quad (\mathrm{对顶角相等}), \\BD = CD \quad (\mathrm{已证}),\end{array} $
∴ △BED ≌ △CAD（SAS）。
【答案】
证明：
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD = CD。
在△BED和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}DE = AD \quad (\mathrm{已知}), \\∠BDE = ∠CDA \quad (\mathrm{对顶角相等}), \\BD = CD \quad (\mathrm{已证}),\end{array} $
∴ △BED ≌ △CAD（SAS）。
【知识点】
三角形中线的定义；对顶角的性质；全等三角形SAS判定
【点评】
本题是倍长中线法构造全等三角形的基础题型，核心考查全等三角形SAS判定定理的应用，掌握中线性质和全等判定条件即可顺利解题，倍长中线也是后续处理几何线段相关问题的常用技巧。
【难度系数】
0.9
要证明△BED≌△CAD，可结合全等三角形的判定定理梳理对应条件：首先根据AD是△ABC的中线，由三角形中线的定义可得BD=CD；其次题目已知延长AD到E使得DE=AD；最后∠BDE与∠CDA是对顶角，根据对顶角的性质二者相等。三个条件刚好符合全等三角形的“SAS”判定要求，整理条件即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD = CD。
在△BED和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}DE = AD \quad (\mathrm{已知}), \\∠BDE = ∠CDA \quad (\mathrm{对顶角相等}), \\BD = CD \quad (\mathrm{已证}),\end{array} $
∴ △BED ≌ △CAD（SAS）。
【答案】
证明：
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD = CD。
在△BED和△CAD中，
$\{\begin{array}{l}DE = AD \quad (\mathrm{已知}), \\∠BDE = ∠CDA \quad (\mathrm{对顶角相等}), \\BD = CD \quad (\mathrm{已证}),\end{array} $
∴ △BED ≌ △CAD（SAS）。
【知识点】
三角形中线的定义；对顶角的性质；全等三角形SAS判定
【点评】
本题是倍长中线法构造全等三角形的基础题型，核心考查全等三角形SAS判定定理的应用，掌握中线性质和全等判定条件即可顺利解题，倍长中线也是后续处理几何线段相关问题的常用技巧。
【难度系数】
0.9
8. 如图，$AB=AC$，$AD=AE$，$∠ BAC=∠ DAE$，$B$，$D$，$E$三点共线，$∠ 1=25°$，$∠ 2=30°$，则$∠ 3$等于（）。
A.$60°$
B.$55°$
C.$50°$
D.无法计算
A.$60°$
B.$55°$
C.$50°$
D.无法计算
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：有两组边相等（AB=AC，AD=AE），还有一组相等的角（∠BAC=∠DAE），首先通过角的和差运算，推导出△BAD和△CAE的夹角相等，再利用SAS判定定理证明两个三角形全等，得到对应角相等；接下来观察∠3的位置，它是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入已知角度即可求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{array} $
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠2=30°。
∵∠3是△ABD的外角，
∴∠3=∠1 + ∠ABD = 25° + 30° = 55°。
【答案】
B
【知识点】
SAS证全等；全等三角形的性质；三角形外角性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题，解题的核心是先通过角的和差得到全等所需的夹角相等，证明全等后转化角度，再结合外角性质计算，解题时要注意找准全等三角形的对应元素。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：有两组边相等（AB=AC，AD=AE），还有一组相等的角（∠BAC=∠DAE），首先通过角的和差运算，推导出△BAD和△CAE的夹角相等，再利用SAS判定定理证明两个三角形全等，得到对应角相等；接下来观察∠3的位置，它是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，代入已知角度即可求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{array} $
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠2=30°。
∵∠3是△ABD的外角，
∴∠3=∠1 + ∠ABD = 25° + 30° = 55°。
【答案】
B
【知识点】
SAS证全等；全等三角形的性质；三角形外角性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题，解题的核心是先通过角的和差得到全等所需的夹角相等，证明全等后转化角度，再结合外角性质计算，解题时要注意找准全等三角形的对应元素。
【难度系数】
0.7
9.(易错题)如图，CA平分∠∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E.若∠EAC=49°,则∠BAE的度数为.
答案
$\boldsymbol{82°}$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：CA平分∠DCB可得一组等角，又有CB=CD和公共边CA，可优先通过SAS判定△DCA和△BCA全等，得到对应角∠BAC=∠DAC；再结合DA延长线交BC于E，可得∠DAC与∠EAC为邻补角，先求出∠DAC的度数，最后用∠BAC减去∠EAC即可得到∠BAE的度数。
【解析】
1. 证明三角形全等：
∵ CA平分∠DCB，
∴ $∠ DCA=∠ BCA$。
在$△ DCA$和$△ BCA$中：
$\begin{cases}CD=CB \\∠ DCA=∠ BCA \\CA=CA\end{cases}$
∴ $△ DCA≌△ BCA$（SAS），
∴ $∠ BAC=∠ DAC$。
2. 求$∠ DAC$的度数：
∵ DA的延长线交BC于点E，即D、A、E三点共线，$∠ DAE=180°$，
∴ $∠ DAC=180°-∠ EAC=180°-49°=131°$，
∴ $∠ BAC=∠ DAC=131°$。
3. 计算$∠ BAE$：
$∠ BAE=∠ BAC-∠ EAC=131°-49°=82°$。
【答案】
$\boldsymbol{82°}$
【知识点】
SAS证三角形全等，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略全等三角形对应角相等的关系，或错误判断角的和差关系，需结合已知条件逐步推导角的等量关系，避免跳步导致计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：CA平分∠DCB可得一组等角，又有CB=CD和公共边CA，可优先通过SAS判定△DCA和△BCA全等，得到对应角∠BAC=∠DAC；再结合DA延长线交BC于E，可得∠DAC与∠EAC为邻补角，先求出∠DAC的度数，最后用∠BAC减去∠EAC即可得到∠BAE的度数。
【解析】
1. 证明三角形全等：
∵ CA平分∠DCB，
∴ $∠ DCA=∠ BCA$。
在$△ DCA$和$△ BCA$中：
$\begin{cases}CD=CB \\∠ DCA=∠ BCA \\CA=CA\end{cases}$
∴ $△ DCA≌△ BCA$（SAS），
∴ $∠ BAC=∠ DAC$。
2. 求$∠ DAC$的度数：
∵ DA的延长线交BC于点E，即D、A、E三点共线，$∠ DAE=180°$，
∴ $∠ DAC=180°-∠ EAC=180°-49°=131°$，
∴ $∠ BAC=∠ DAC=131°$。
3. 计算$∠ BAE$：
$∠ BAE=∠ BAC-∠ EAC=131°-49°=82°$。
【答案】
$\boldsymbol{82°}$
【知识点】
SAS证三角形全等，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略全等三角形对应角相等的关系，或错误判断角的和差关系，需结合已知条件逐步推导角的等量关系，避免跳步导致计算错误。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在$3×3$的方格中,每个小方格的边长均为1.若$∠1$的度数为$x°$,则$∠2$的度数为.
答案
$\boldsymbol{(90 - x)°}$
解析
【分析】
解题时先观察方格中∠1和∠2对应的直角三角形：首先利用方格边长为1的特征，找到两条直角边分别相等的两个直角三角形，用本节课所学的SAS定理判定两个三角形全等；再根据全等三角形对应角相等的性质，得到∠1与∠2的相邻锐角相等，最后结合直角为90°的角度和差关系，即可推出∠2的度数。
【解析】
设∠1所在的直角三角形两条直角边分别为1、2，∠2相邻的直角三角形两条直角边也分别为1、2：
1. 两个三角形均为直角三角形，直角都等于90°，且两组直角边对应相等，根据SAS判定定理，可得这两个直角三角形全等；
2. 由全等三角形对应角相等，可知∠1与和∠2共顶点的锐角相等；
3. 该锐角与∠2的和为90°，已知∠1=x°，因此可得：
$∠ 2=90°-x°=(90-x)°$
【答案】
$\boldsymbol{(90 - x)°}$
【知识点】
SAS判定全等、全等三角形性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是典型的网格角度计算问题，将全等三角形的判定、性质和角度和差计算结合考查，找准网格中对应的全等三角形是解题的突破口。
【难度系数】
0.7
解题时先观察方格中∠1和∠2对应的直角三角形：首先利用方格边长为1的特征，找到两条直角边分别相等的两个直角三角形，用本节课所学的SAS定理判定两个三角形全等；再根据全等三角形对应角相等的性质，得到∠1与∠2的相邻锐角相等，最后结合直角为90°的角度和差关系，即可推出∠2的度数。
【解析】
设∠1所在的直角三角形两条直角边分别为1、2，∠2相邻的直角三角形两条直角边也分别为1、2：
1. 两个三角形均为直角三角形，直角都等于90°，且两组直角边对应相等，根据SAS判定定理，可得这两个直角三角形全等；
2. 由全等三角形对应角相等，可知∠1与和∠2共顶点的锐角相等；
3. 该锐角与∠2的和为90°，已知∠1=x°，因此可得：
$∠ 2=90°-x°=(90-x)°$
【答案】
$\boldsymbol{(90 - x)°}$
【知识点】
SAS判定全等、全等三角形性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是典型的网格角度计算问题，将全等三角形的判定、性质和角度和差计算结合考查，找准网格中对应的全等三角形是解题的突破口。
【难度系数】
0.7
