11. 如图(1),油纸伞是中国传统工艺品之一,起源于中国.油纸伞的制作工艺十分巧妙,如图(2),滑套点D沿着中棒AP滑动时,中棒AP始终平分同一平面内两根伞骨所成的∠BAC,伞骨上的点B,C固定不动,且到点A的距离满足AB=AC.
(1)当点D在中棒AP上滑动时,处于同一平面的两根伞骨BD和CD相等吗?请说明理由.
(2)如图(3),当油纸伞撑开时,伞的边缘M,N与点D在同一条直线上.若∠BAC=140°,∠MBD=120°,求∠CDA的度数.

解：(1) BD=CD，理由如下：
∵ AP平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠CAD。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAD=∠CAD \\AD=AD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACD（SAS），
∴ BD=CD。
(2) ∵ AP平分∠BAC，∠BAC=140°，
∴ ∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=70°。
∵ 点A、B、M共线，∠MBD=120°，
∴ ∠ABD=180°-∠MBD=60°。
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-70°-60°=50°。
由(1)得△ABD≌△ACD，
∴ ∠CDA=∠ADB=50°。
答：∠CDA的度数为50°。

【分析】
（1）要判断BD与CD是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知AB=AC，AP平分∠BAC可得∠BAD=∠CAD，再结合公共边AD，满足SAS全等判定条件，证明△ABD≌△ACD后即可得到对应边相等。
（2）首先根据角平分线的定义求出∠BAD的度数，再利用邻补角的性质算出∠ABD的度数，接着在△ABD中用三角形内角和定理求出∠ADB的度数，最后结合（1）中全等三角形的对应角相等，即可得到∠CDA的度数。
【解析】
(1) BD=CD，理由如下：
∵ AP平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠CAD。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠BAD=∠CAD \\AD=AD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACD（SAS），
∴ BD=CD。
(2)
∵ AP平分∠BAC，∠BAC=140°，
∴ ∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=70°。
∵ 点A、B、M共线，∠MBD=120°，
∴ ∠ABD=180°-∠MBD=60°。
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-70°-60°=50°。
由(1)得△ABD≌△ACD，
∴ ∠CDA=∠ADB=50°。
【答案】
(1) BD=CD，理由见解析；
(2) $\boldsymbol{50°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题结合传统油纸伞的生活场景考查几何知识的应用，解题核心是熟练掌握全等三角形的判定方法及性质，能结合已知条件将待求结论转化为三角形的边角关系求解，注重对基础几何知识的理解与灵活运用。
【难度系数】
0.7

12.（类比探究）已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC = ∠DAE，AB = AC，AD=AE。

图(1) 图(2)
(1)如图(1)，连接BD，点E在BC上，求证：BC=BD+BE。
(2)如图(2)，点E在CB的延长线上，(1)的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，写出成立的式子，并证明。

(1) 证明：
∵ ∠BAC = ∠DAE，
∴ ∠BAC - ∠BAE = ∠DAE - ∠BAE，
即 ∠CAE = ∠BAD。
在△BAD和△CAE中，
$\{\begin{array}{l}AD = AE \\∠BAD = ∠CAE \\AB = AC\end{array} $
∴ △BAD ≌ △CAE（SAS）。
∴ BD = CE。
∵ BC = CE + BE，
∴ BC = BD + BE。
---
(2) 解：(1)的结论不成立，成立的式子为$\boldsymbol{BC = BD - BE}$。
证明：
∵ ∠BAC = ∠DAE，
∴ ∠BAC + ∠BAE = ∠DAE + ∠BAE，
即 ∠CAE = ∠BAD。
在△BAD和△CAE中，
$\{\begin{array}{l}AD = AE \\∠BAD = ∠CAE \\AB = AC\end{array} $
∴ △BAD ≌ △CAE（SAS）。
∴ BD = CE。
∵ CE = BC + BE，
∴ BD = BC + BE，
即 $BC = BD - BE$。

【分析】
本题为类比探究类几何证明题，核心思路是通过全等三角形转化对应线段，结合线段和差关系推导结论：
(1) 要证$BC=BD+BE$，观察可知$BC=BE+CE$，因此只需证明$BD=CE$即可。已知$AB=AC$、$AD=AE$，结合$∠ BAC=∠ DAE$，可通过等式性质得到两个三角形的夹角$∠ BAD=∠ CAE$，用SAS判定证明$△ BAD≌△ CAE$，得到$BD=CE$后代入线段和关系即可得证；
(2) 当点$E$在$CB$延长线上时，类比第一问的全等证明思路，此时$∠ BAC$和$∠ DAE$需同时加公共角$∠ BAE$得到相等的夹角，仍可证明$△ BAD≌△ CAE$得到$BD=CE$，此时线段关系变为$CE=BC+BE$，移项即可得到正确结论。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ BAC = ∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAC - ∠ BAE = ∠ DAE - ∠ BAE$，
即 $∠ CAE = ∠ BAD$。
在$△ BAD$和$△ CAE$中，
$\{\begin{array}{l}AD = AE \\∠ BAD = ∠ CAE \\AB = AC\end{array} $
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE$（SAS）。
$\therefore BD = CE$。
$\because BC = CE + BE$，
$\therefore BC = BD + BE$。
(2) 解：(1)的结论不成立，成立的式子为$\boldsymbol{BC = BD - BE}$。
证明：
$\because ∠ BAC = ∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ BAE = ∠ DAE + ∠ BAE$，
即 $∠ CAE = ∠ BAD$。
在$△ BAD$和$△ CAE$中，
$\{\begin{array}{l}AD = AE \\∠ BAD = ∠ CAE \\AB = AC\end{array} $
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE$（SAS）。
$\therefore BD = CE$。
$\because CE = BC + BE$，
$\therefore BD = BC + BE$，
即 $BC = BD - BE$。
【答案】
(1) 可证得$BC=BD+BE$，结论成立；
(2) (1)的结论不成立，成立的结论为$\boldsymbol{BC=BD-BE}$。
【知识点】
SAS全等判定，全等三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题是典型的动态类比探究题型，解题关键是抓住图形位置变化中不变的全等关系，仅根据点的位置调整角、线段的和差推导逻辑，能有效锻炼几何推理能力，解题时需注意不同图形位置下公共角的加减关系，避免混淆线段和差。
【难度系数】
0.6