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1. 如图,在$△ ABC$中,AD是边BC上的高,AE平分$∠ BAC$,$∠ B=50°$,$∠ C=80°$.
(1)求$∠ DAC$的度数;
(2)求$∠ AED$的度数.
(1)求$∠ DAC$的度数;
(2)求$∠ AED$的度数.
答案
解：
(1) ∵ AD是边BC上的高，
∴ ∠ADC = 90°，
在△ADC中，∠DAC + ∠ADC + ∠C = 180°，
∴ ∠DAC = 180° - 90° - ∠C = 90° - 80° = 10°。
(2) 在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 50° - 80° = 50°，
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = 25°，
由三角形外角的性质，∠AED是△ABE的外角，
∴ ∠AED = ∠B + ∠BAE = 50° + 25° = 75°。
综上，∠DAC的度数为10°，∠AED的度数为75°。
(1) ∵ AD是边BC上的高，
∴ ∠ADC = 90°，
在△ADC中，∠DAC + ∠ADC + ∠C = 180°，
∴ ∠DAC = 180° - 90° - ∠C = 90° - 80° = 10°。
(2) 在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 50° - 80° = 50°，
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = 25°，
由三角形外角的性质，∠AED是△ABE的外角，
∴ ∠AED = ∠B + ∠BAE = 50° + 25° = 75°。
综上，∠DAC的度数为10°，∠AED的度数为75°。
解析
【分析】
对于（1），已知AD是BC边上的高，可得∠ADC=90°，在△ADC中已知∠C的度数，根据三角形内角和为180°，代入数值即可求出∠DAC的度数。对于（2），先在△ABC中利用三角形内角和求出∠BAC的度数，再结合AE是角平分线的定义求出∠BAE的度数，最后根据三角形外角的性质，即可求出∠AED的度数。
【解析】
(1)
∵ AD是边BC上的高，
∴ ∠ADC = 90°，
在△ADC中，∠DAC + ∠ADC + ∠C = 180°，
∴ ∠DAC = 180° - 90° - ∠C = 90° - 80° = 10°。
(2) 在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 50° - 80° = 50°，
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×50° = 25°，
∵ ∠AED是△ABE的外角，
∴ ∠AED = ∠B + ∠BAE = 50° + 25° = 75°。
【答案】
(1) $\boxed{10°}$；(2) $\boxed{75°}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题时要结合图形找准各角的数量关系，熟练运用三角形的相关性质即可快速求解，侧重考查基础几何推理和运算能力。
【难度系数】
0.8
对于（1），已知AD是BC边上的高，可得∠ADC=90°，在△ADC中已知∠C的度数，根据三角形内角和为180°，代入数值即可求出∠DAC的度数。对于（2），先在△ABC中利用三角形内角和求出∠BAC的度数，再结合AE是角平分线的定义求出∠BAE的度数，最后根据三角形外角的性质，即可求出∠AED的度数。
【解析】
(1)
∵ AD是边BC上的高，
∴ ∠ADC = 90°，
在△ADC中，∠DAC + ∠ADC + ∠C = 180°，
∴ ∠DAC = 180° - 90° - ∠C = 90° - 80° = 10°。
(2) 在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 50° - 80° = 50°，
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×50° = 25°，
∵ ∠AED是△ABE的外角，
∴ ∠AED = ∠B + ∠BAE = 50° + 25° = 75°。
【答案】
(1) $\boxed{10°}$；(2) $\boxed{75°}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题时要结合图形找准各角的数量关系，熟练运用三角形的相关性质即可快速求解，侧重考查基础几何推理和运算能力。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$△ ABC$中,$CD ⊥ AB$于点$D$,$DE // BC$交$AC$于点$E$,$EF ⊥ CD$于点$G$,交$BC$于点$F$.
(1)判断$∠ ADE$与$∠ EFC$是否相等,并说明理由；
(2)若$∠ ACB = 72°$,$∠ A = 60°$,求$∠ DCB$的度数.
(1)判断$∠ ADE$与$∠ EFC$是否相等,并说明理由；
(2)若$∠ ACB = 72°$,$∠ A = 60°$,求$∠ DCB$的度数.
答案
解：(1) $∠ ADE = ∠ EFC$，理由如下：
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ B$。
$\because CD⊥ AB$，$EF⊥ CD$，
$\therefore AB// EF$，
$\therefore ∠ EFC = ∠ B$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ EFC$。
(2) 在$△ ABC$中，
$∠ B = 180° - ∠ A - ∠ ACB = 180° - 60° - 72° = 48°$。
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ CDB = 90°$，
$\therefore ∠ DCB = 90° - ∠ B = 90° - 48° = 42°$。
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ B$。
$\because CD⊥ AB$，$EF⊥ CD$，
$\therefore AB// EF$，
$\therefore ∠ EFC = ∠ B$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ EFC$。
(2) 在$△ ABC$中，
$∠ B = 180° - ∠ A - ∠ ACB = 180° - 60° - 72° = 48°$。
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ CDB = 90°$，
$\therefore ∠ DCB = 90° - ∠ B = 90° - 48° = 42°$。
解析
【分析】
(1) 要判断∠ADE与∠EFC是否相等，可通过中间量∠B推导：首先根据DE//BC，利用平行线的性质可得∠ADE=∠B；再由CD⊥AB、EF⊥CD，可推出AB//EF，再利用平行线的性质得到∠EFC=∠B，最后通过等量代换即可判断两角的关系。
(2) 求∠DCB的度数时，先在△ABC中利用三角形内角和定理算出∠B的度数；再结合CD⊥AB可知△CDB为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，用90°减去∠B的度数即可得到∠DCB的度数。
【解析】
(1) $∠ ADE = ∠ EFC$，理由如下：
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ B$（两直线平行，同位角相等）。
$\because CD⊥ AB$，$EF⊥ CD$，
$\therefore AB// EF$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠ EFC = ∠ B$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠ ADE = ∠ EFC$。
(2) 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ B = 180° - ∠ A - ∠ ACB = 180° - 60° - 72° = 48°$。
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ CDB = 90°$（垂直的定义），
在$\mathrm{Rt}△ CDB$中，$∠ DCB + ∠ B = 90°$，
$\therefore ∠ DCB = 90° - ∠ B = 90° - 48° = 42°$。
【答案】
(1) $∠ ADE = ∠ EFC$，理由见解析；
(2) $42°$
【知识点】
平行线的判定与性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是熟练掌握平行线的判定、性质以及三角形内角和相关定理，能够通过中间量建立待求角与已知角之间的等量关系。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断∠ADE与∠EFC是否相等，可通过中间量∠B推导：首先根据DE//BC，利用平行线的性质可得∠ADE=∠B；再由CD⊥AB、EF⊥CD，可推出AB//EF，再利用平行线的性质得到∠EFC=∠B，最后通过等量代换即可判断两角的关系。
(2) 求∠DCB的度数时，先在△ABC中利用三角形内角和定理算出∠B的度数；再结合CD⊥AB可知△CDB为直角三角形，根据直角三角形两锐角互余，用90°减去∠B的度数即可得到∠DCB的度数。
【解析】
(1) $∠ ADE = ∠ EFC$，理由如下：
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ B$（两直线平行，同位角相等）。
$\because CD⊥ AB$，$EF⊥ CD$，
$\therefore AB// EF$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠ EFC = ∠ B$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠ ADE = ∠ EFC$。
(2) 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ B = 180° - ∠ A - ∠ ACB = 180° - 60° - 72° = 48°$。
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ CDB = 90°$（垂直的定义），
在$\mathrm{Rt}△ CDB$中，$∠ DCB + ∠ B = 90°$，
$\therefore ∠ DCB = 90° - ∠ B = 90° - 48° = 42°$。
【答案】
(1) $∠ ADE = ∠ EFC$，理由见解析；
(2) $42°$
【知识点】
平行线的判定与性质；三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是熟练掌握平行线的判定、性质以及三角形内角和相关定理，能够通过中间量建立待求角与已知角之间的等量关系。
【难度系数】
0.8
3. 在$△ ABC$中，$∠ B=2∠ C$，$AE$平分$∠ BAC$.
(1)如图(1)，若$AD⊥ BC$于点$D$，$∠ C=35°$，求$∠ DAE$的度数；
(2)如图(2)，若$EF⊥ AE$交$AC$于点$F$，求证：$∠ C=2∠ FEC$.
(1)如图(1)，若$AD⊥ BC$于点$D$，$∠ C=35°$，求$∠ DAE$的度数；
(2)如图(2)，若$EF⊥ AE$交$AC$于点$F$，求证：$∠ C=2∠ FEC$.
答案
解：(1)
∵∠B=2∠C，∠C=35°
∴∠B=70°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-35°=75°
∵AE平分∠BAC
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=37.5°
∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∴∠DAC=90°-∠C=90°-35°=55°
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=55°-37.5°=17.5°
证明：(2)
∵∠B=2∠C
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-3∠C
∵AE平分∠BAC
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-$\frac{3}{2}$∠C
∵EF⊥AE
∴∠AEF=90°
∴∠AFE=90°-∠EAC=90°-(90°-$\frac{3}{2}$∠C)=$\frac{3}{2}$∠C
∵∠AFE是△EFC的外角
∴∠AFE=∠FEC+∠C
∴$\frac{3}{2}$∠C=∠FEC+∠C
整理得∠FEC=$\frac{1}{2}$∠C
即∠C=2∠FEC
∵∠B=2∠C，∠C=35°
∴∠B=70°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-35°=75°
∵AE平分∠BAC
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=37.5°
∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∴∠DAC=90°-∠C=90°-35°=55°
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=55°-37.5°=17.5°
证明：(2)
∵∠B=2∠C
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-3∠C
∵AE平分∠BAC
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-$\frac{3}{2}$∠C
∵EF⊥AE
∴∠AEF=90°
∴∠AFE=90°-∠EAC=90°-(90°-$\frac{3}{2}$∠C)=$\frac{3}{2}$∠C
∵∠AFE是△EFC的外角
∴∠AFE=∠FEC+∠C
∴$\frac{3}{2}$∠C=∠FEC+∠C
整理得∠FEC=$\frac{1}{2}$∠C
即∠C=2∠FEC
解析
【分析】
(1) 先根据∠B=2∠C求出∠B的度数，再利用三角形内角和定理算出∠BAC的度数；结合AE是角平分线的性质，求出∠EAC的度数；再由AD⊥BC，利用直角三角形两锐角互余求出∠DAC的度数，最后通过∠DAE=∠DAC-∠EAC即可得到结果。
(2) 首先用∠C表示出∠BAC，结合角平分线的性质得到∠EAC的表达式；再由EF⊥AE得到∠AEF=90°，利用直角三角形两锐角互余求出∠AFE的度数；最后利用三角形外角的性质，将∠AFE转化为∠FEC与∠C的和，代入整理即可证得结论。
【解析】
(1) 解：
∵∠B=2∠C，∠C=35°，
∴∠B=2×35°=70°，
根据三角形内角和定理，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-35°=75°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×75°=37.5°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠C=90°-35°=55°，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=55°-37.5°=17.5°。
(2) 证明：
∵∠B=2∠C，
根据三角形内角和定理，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-3∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×(180°-3∠C)=90°-$\frac{3}{2}$∠C，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
在Rt△AEF中，∠AFE=90°-∠EAC=90°-(90°-$\frac{3}{2}$∠C)=$\frac{3}{2}$∠C，
∵∠AFE是△EFC的外角，根据三角形外角的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠AFE=∠FEC+∠C，
即$\frac{3}{2}$∠C=∠FEC+∠C，
整理得∠FEC=$\frac{1}{2}$∠C，
即∠C=2∠FEC。
【答案】
(1) $\boldsymbol{17.5°}$；
(2) 证明成立，$\boldsymbol{∠C=2∠FEC}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算与证明的基础综合题，解题核心是通过已知条件将未知角用已知角逐步转化，熟练掌握角平分线、垂直的性质以及三角形内角和、外角定理即可顺利解题，有助于巩固三角形角度转化的相关方法。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据∠B=2∠C求出∠B的度数，再利用三角形内角和定理算出∠BAC的度数；结合AE是角平分线的性质，求出∠EAC的度数；再由AD⊥BC，利用直角三角形两锐角互余求出∠DAC的度数，最后通过∠DAE=∠DAC-∠EAC即可得到结果。
(2) 首先用∠C表示出∠BAC，结合角平分线的性质得到∠EAC的表达式；再由EF⊥AE得到∠AEF=90°，利用直角三角形两锐角互余求出∠AFE的度数；最后利用三角形外角的性质，将∠AFE转化为∠FEC与∠C的和，代入整理即可证得结论。
【解析】
(1) 解：
∵∠B=2∠C，∠C=35°，
∴∠B=2×35°=70°，
根据三角形内角和定理，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-35°=75°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×75°=37.5°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠C=90°-35°=55°，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=55°-37.5°=17.5°。
(2) 证明：
∵∠B=2∠C，
根据三角形内角和定理，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-3∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×(180°-3∠C)=90°-$\frac{3}{2}$∠C，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
在Rt△AEF中，∠AFE=90°-∠EAC=90°-(90°-$\frac{3}{2}$∠C)=$\frac{3}{2}$∠C，
∵∠AFE是△EFC的外角，根据三角形外角的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠AFE=∠FEC+∠C，
即$\frac{3}{2}$∠C=∠FEC+∠C，
整理得∠FEC=$\frac{1}{2}$∠C，
即∠C=2∠FEC。
【答案】
(1) $\boldsymbol{17.5°}$；
(2) 证明成立，$\boldsymbol{∠C=2∠FEC}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算与证明的基础综合题，解题核心是通过已知条件将未知角用已知角逐步转化，熟练掌握角平分线、垂直的性质以及三角形内角和、外角定理即可顺利解题，有助于巩固三角形角度转化的相关方法。
【难度系数】
0.7
