4. 如图,在△ABC中,D是BC延长线上一点,
E是边AB上一点,连接ED交AC于点F,
∠BED=∠AFD.
(1)若∠BED=110°,求∠A的度数;
(2)若∠A=2∠D,判断△ABC的形状,并说明理由.

解：(1)
∵ ∠BED = 110°，∠BED + ∠AED = 180°，
∴ ∠AED = 180° - 110° = 70°，
∵ ∠BED = ∠AFD，
∴ ∠AFD = 110°，
∵ ∠AFD是△AEF的外角，
∴ ∠AFD = ∠A + ∠AED，
∴ ∠A = ∠AFD - ∠AED = 110° - 70° = 40°。
(2) △ABC是直角三角形，理由如下：
∵ ∠AED是△BDE的外角，
∴ ∠AED = ∠B + ∠D，
由∠AFD是△AEF的外角，得∠AFD = ∠A + ∠AED，
又∵ ∠AFD = ∠BED，∠BED + ∠AED = 180°，
∴ ∠A + ∠AED + ∠AED = 180°，
即∠A + 2∠AED = 180°，
将∠AED = ∠B + ∠D代入上式，得：
∠A + 2∠B + 2∠D = 180°，
∵ ∠A = 2∠D，
∴ 2∠D = ∠A，代入上式得：
∠A + 2∠B + ∠A = 180°，
即2∠A + 2∠B = 180°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，
∴ ∠ACB = 180° - (∠A + ∠B) = 90°，
∴ △ABC是直角三角形。

【分析】
(1) 求∠A的度数时，先根据邻补角和为180°，由已知的∠BED的度数求出∠AED的度数；再结合∠BED=∠AFD得到∠AFD的度数，最后利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，由∠AFD是△AEF的外角，即可反推求出∠A的度数。
(2) 判断△ABC的形状时，先利用三角形外角的性质，分别得到∠AED=∠B+∠D、∠AFD=∠A+∠AED；再结合∠BED=∠AFD、∠BED与∠AED互补的关系进行角的等量代换，代入∠A=2∠D的条件化简，即可得到△ABC内角的特征，进而判断形状。
【解析】
(1)
∵ ∠BED = 110°，∠BED + ∠AED = 180°，
∴ ∠AED = 180° - 110° = 70°，
∵ ∠BED = ∠AFD，
∴ ∠AFD = 110°，
∵ ∠AFD是△AEF的外角，
∴ ∠AFD = ∠A + ∠AED，
∴ ∠A = ∠AFD - ∠AED = 110° - 70° = 40°。
(2) △ABC是直角三角形，理由如下：
∵ ∠AED是△BDE的外角，
∴ ∠AED = ∠B + ∠D，
由∠AFD是△AEF的外角，得∠AFD = ∠A + ∠AED，
又
∵ ∠AFD = ∠BED，∠BED + ∠AED = 180°，
∴ ∠A + ∠AED + ∠AED = 180°，
即∠A + 2∠AED = 180°，
将∠AED = ∠B + ∠D代入上式，得：
∠A + 2∠B + 2∠D = 180°，
∵ ∠A = 2∠D，
∴ 2∠D = ∠A，代入上式得：
∠A + 2∠B + ∠A = 180°，
即2∠A + 2∠B = 180°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，
∴ ∠ACB = 180° - (∠A + ∠B) = 90°，
∴ △ABC是直角三角形。
【答案】
(1) ∠A的度数为40°；(2) △ABC是直角三角形
【知识点】
三角形外角的性质，邻补角的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算与形状判定的典型习题，重点考查三角形内外角性质的灵活应用，解题的关键是准确识别外角对应的不相邻内角，通过多次等量代换梳理角的关系，可有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

5. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
(1)如图(1),若AB//CD,点P在AB,CD外部,则有∠B = ∠BOD,又因为∠BOD是△POD的外角,故∠BOD = ∠BPD + ∠D,得∠BPD = ∠B - ∠D. 将点P移到AB,CD内部,如图(2),以上结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,则∠BPD,∠B,∠D之间有何数量关系?请证明你的结论.
(2)在图(2)中,将直线AB转动一定角度交直线CD于点Q,如图(3),则∠BPD,∠B,∠D,∠BQD之间有何数量关系?(不需要证明)
(3)根据(2)的结论求图(4)中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.

解：
(1) 原结论不成立，∠BPD、∠B、∠D的数量关系为$\boldsymbol{∠ BPD = ∠ B + ∠ D}$。
证明：延长$BP$交$CD$于点$O$，
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ B = ∠ BOD$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ BPD$是$△ POD$的外角，
$\therefore ∠ BPD = ∠ BOD + ∠ D$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
$\therefore ∠ BPD = ∠ B + ∠ D$。
(2) 数量关系为：$\boldsymbol{∠ BPD = ∠ B + ∠ D + ∠ BQD}$。
(3) 由(2)的结论可得：图中$∠ BFD = ∠ A + ∠ B + ∠ E$，
在$△ CFD$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ BFD + ∠ C + ∠ D = 180°$，
$\therefore ∠ A + ∠ B + ∠ E + ∠ C + ∠ D = 180°$，
即$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E = 180°$。

【分析】
(1) 当点P移到AB、CD内部时原结论不成立，思考方向：通过延长BP交CD于点O构造辅助线，先利用平行线的内错角相等得到∠B与∠BOD的等量关系，再结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可推导出三个角的数量关系；
(2) 图(3)可沿用三角形外角的性质，通过两次外角推导即可得出四个角的数量关系；
(3) 图(4)直接套用(2)的结论，将∠A、∠B、∠E转化为同一个角，再结合三角形内角和定理即可求出五个角的和。
【解析】
(1) 原结论不成立，∠BPD、∠B、∠D的数量关系为$\boldsymbol{∠ BPD = ∠ B + ∠ D}$。
证明：延长$BP$交$CD$于点$O$，
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ B = ∠ BOD$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ BPD$是$△ POD$的外角，
$\therefore ∠ BPD = ∠ BOD + ∠ D$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
$\therefore ∠ BPD = ∠ B + ∠ D$。
(2) 数量关系为：$\boldsymbol{∠ BPD = ∠ B + ∠ D + ∠ BQD}$。
(3) 由(2)的结论可得：图中$∠ BFD = ∠ A + ∠ B + ∠ E$，
在$△ CFD$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠ BFD + ∠ C + ∠ D = 180°$，
$\therefore ∠ A + ∠ B + ∠ E + ∠ C + ∠ D = 180°$，
即$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E = 180°$。
【答案】
(1) 原结论不成立，$\boldsymbol{∠ BPD = ∠ B + ∠ D}$；
(2) $\boldsymbol{∠ BPD = ∠ B + ∠ D + ∠ BQD}$；
(3) $\boldsymbol{180°}$。
【知识点】
平行线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是平行线与三角形角度计算的综合题，考查了从特殊到一般的结论推导及迁移应用能力，解题关键是合理构造辅助线，灵活运用已有结论转化角度，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6