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13. (★★★)整理一批文件,若由一个人独做需要80 h完成,假设每人的工作效率相同.
(1)若限定32 h完成,一个人先做8 h,需再增加多少人帮忙刚好在规定的时间内完成?
(2)计划由一部分人先做4 h,然后增加3人与他们一起做4 h,正好完成这项工作的$\frac{3}{4}$,应该安排多少人先工作?
(1)若限定32 h完成,一个人先做8 h,需再增加多少人帮忙刚好在规定的时间内完成?
(2)计划由一部分人先做4 h,然后增加3人与他们一起做4 h,正好完成这项工作的$\frac{3}{4}$,应该安排多少人先工作?
答案
解：(1)设需再增加$x$人帮忙刚好在规定的时间内完成。
由题意可知每人每小时的工作效率为$\frac{1}{80}$，列方程得：
$\frac{1}{80} × 8 + \frac{1}{80}(x+1) × (32-8) = 1$
两边同乘80，得：
$8 + 24(x+1) = 80$
去括号，得：
$8 + 24x + 24 = 80$
移项、合并同类项，得：
$24x = 48$
系数化为1，得：
$x=2$
(2)设应该安排$x$人先工作。
列方程得：
$\frac{4x}{80} + \frac{4(x+3)}{80} = \frac{3}{4}$
两边同乘80，得：
$4x + 4(x+3) = 60$
去括号，得：
$4x + 4x + 12 = 60$
移项、合并同类项，得：
$8x = 48$
系数化为1，得：
$x=6$
答：(1)需再增加2人帮忙刚好在规定的时间内完成；(2)应该安排6人先工作。
由题意可知每人每小时的工作效率为$\frac{1}{80}$，列方程得：
$\frac{1}{80} × 8 + \frac{1}{80}(x+1) × (32-8) = 1$
两边同乘80，得：
$8 + 24(x+1) = 80$
去括号，得：
$8 + 24x + 24 = 80$
移项、合并同类项，得：
$24x = 48$
系数化为1，得：
$x=2$
(2)设应该安排$x$人先工作。
列方程得：
$\frac{4x}{80} + \frac{4(x+3)}{80} = \frac{3}{4}$
两边同乘80，得：
$4x + 4(x+3) = 60$
去括号，得：
$4x + 4x + 12 = 60$
移项、合并同类项，得：
$8x = 48$
系数化为1，得：
$x=6$
答：(1)需再增加2人帮忙刚好在规定的时间内完成；(2)应该安排6人先工作。
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题核心是将总工作量看作单位“1”，已知单人独做80小时完成，可得每人每小时的工作效率为$\frac{1}{80}$，利用“工作量=工作效率×工作时间”的关系找等量关系列方程即可。
(1) 第一问：总工作量由两部分组成，第一部分是1人单独做8小时的工作量，第二部分是增加x人后（共$x+1$人）在剩余$32-8=24$小时内完成的工作量，两部分相加等于总工作量1，据此列方程求解。
(2) 第二问：总工作量的$\frac{3}{4}$由两部分组成，第一部分是x人先做4小时的工作量，第二部分是增加3人后（共$x+3$人）做4小时的工作量，两部分相加等于总工作量的$\frac{3}{4}$，据此列方程求解。
【解析】
(1) 设需再增加$x$人帮忙刚好在规定的时间内完成。
由题意可知每人每小时的工作效率为$\frac{1}{80}$，列方程得：
$\frac{1}{80} × 8 + \frac{1}{80}(x+1) × (32-8) = 1$
两边同乘80，得：
$8 + 24(x+1) = 80$
去括号，得：
$8 + 24x + 24 = 80$
移项、合并同类项，得：
$24x = 48$
系数化为1，得：
$x=2$
(2) 设应该安排$x$人先工作。
列方程得：
$\frac{4x}{80} + \frac{4(x+3)}{80} = \frac{3}{4}$
两边同乘80，得：
$4x + 4(x+3) = 60$
去括号，得：
$4x + 4x + 12 = 60$
移项、合并同类项，得：
$8x = 48$
系数化为1，得：
$x=6$
【答案】
(1) 需再增加2人帮忙刚好在规定的时间内完成；(2) 应该安排6人先工作。
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程类方程应用的基础题型，解题关键是准确拆分不同阶段的工作量，结合总工作量（或对应占比）建立等量关系，计算时注意遵循解一元一次方程的运算规则，避免去括号、移项时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程问题，解题核心是将总工作量看作单位“1”，已知单人独做80小时完成，可得每人每小时的工作效率为$\frac{1}{80}$，利用“工作量=工作效率×工作时间”的关系找等量关系列方程即可。
(1) 第一问：总工作量由两部分组成，第一部分是1人单独做8小时的工作量，第二部分是增加x人后（共$x+1$人）在剩余$32-8=24$小时内完成的工作量，两部分相加等于总工作量1，据此列方程求解。
(2) 第二问：总工作量的$\frac{3}{4}$由两部分组成，第一部分是x人先做4小时的工作量，第二部分是增加3人后（共$x+3$人）做4小时的工作量，两部分相加等于总工作量的$\frac{3}{4}$，据此列方程求解。
【解析】
(1) 设需再增加$x$人帮忙刚好在规定的时间内完成。
由题意可知每人每小时的工作效率为$\frac{1}{80}$，列方程得：
$\frac{1}{80} × 8 + \frac{1}{80}(x+1) × (32-8) = 1$
两边同乘80，得：
$8 + 24(x+1) = 80$
去括号，得：
$8 + 24x + 24 = 80$
移项、合并同类项，得：
$24x = 48$
系数化为1，得：
$x=2$
(2) 设应该安排$x$人先工作。
列方程得：
$\frac{4x}{80} + \frac{4(x+3)}{80} = \frac{3}{4}$
两边同乘80，得：
$4x + 4(x+3) = 60$
去括号，得：
$4x + 4x + 12 = 60$
移项、合并同类项，得：
$8x = 48$
系数化为1，得：
$x=6$
【答案】
(1) 需再增加2人帮忙刚好在规定的时间内完成；(2) 应该安排6人先工作。
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程类方程应用的基础题型，解题关键是准确拆分不同阶段的工作量，结合总工作量（或对应占比）建立等量关系，计算时注意遵循解一元一次方程的运算规则，避免去括号、移项时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
14. (★★★)一蓄水池有一个进水管和两个出水管，其中进水管$\frac{1}{2}$ h能把水池注满，1个出水管1 h能把满池水放空. 已知蓄水池中有$\frac{1}{2}$池水，工作人员打开一个出水管5 min后去打开另一个出水管时，却误打开了进水管，问：工作人员最晚在出错后多长时间时纠正错误，水不会溢出水池？
答案
解：
$5\ \mathrm{min} = \frac{1}{12}\ \mathrm{h}$，
进水管的注水效率为 $1÷\frac{1}{2}=2$（池/小时），
单个出水管的放水效率为 $1÷1=1$（池/小时）。
设工作人员最晚在出错后$x\ \mathrm{h}$时纠正错误，水不会溢出水池。
打开一个出水管5 min后，水池剩余水量为：
$\frac{1}{2} - 1×\frac{1}{12} = \frac{5}{12}$
根据总水量不超过1池，列方程：
$\frac{5}{12} + 2x - 1· x = 1$
解得：$x=\frac{7}{12}$
$\frac{7}{12}\ \mathrm{h} = 35\ \mathrm{min}$
答：工作人员最晚在出错后$\frac{7}{12}$小时（即35分钟）时纠正错误，水不会溢出水池。
$5\ \mathrm{min} = \frac{1}{12}\ \mathrm{h}$，
进水管的注水效率为 $1÷\frac{1}{2}=2$（池/小时），
单个出水管的放水效率为 $1÷1=1$（池/小时）。
设工作人员最晚在出错后$x\ \mathrm{h}$时纠正错误，水不会溢出水池。
打开一个出水管5 min后，水池剩余水量为：
$\frac{1}{2} - 1×\frac{1}{12} = \frac{5}{12}$
根据总水量不超过1池，列方程：
$\frac{5}{12} + 2x - 1· x = 1$
解得：$x=\frac{7}{12}$
$\frac{7}{12}\ \mathrm{h} = 35\ \mathrm{min}$
答：工作人员最晚在出错后$\frac{7}{12}$小时（即35分钟）时纠正错误，水不会溢出水池。
解析
【分析】
这是一道进出水类的工程问题，解题时首先把满池水的总量看作单位“1”：第一步先统一时间单位，计算出进水管、出水管的工作效率；第二步计算只打开1个出水管5分钟后水池剩余的水量；第三步分析出错后的水管工作状态：此时同时打开了1个出水管和1个进水管，可算出此时的净进水效率；最后根据“剩余水量+出错时段的净进水量≤1（满池水量）”，设出错后x小时纠正错误，列一元一次方程求解最大的x即可。
【解析】
解：先统一单位：$5\ \mathrm{min} = \frac{5}{60}\ \mathrm{h} = \frac{1}{12}\ \mathrm{h}$
把满池水总量看作单位“1”，计算各管工作效率：
进水管的注水效率：$1÷\frac{1}{2}=2$（池/小时）
单个出水管的放水效率：$1÷1=1$（池/小时）
打开1个出水管5分钟后，水池剩余水量为：
$\frac{1}{2} - 1×\frac{1}{12} = \frac{5}{12}$（池）
设工作人员最晚在出错后$x\ \mathrm{h}$时纠正错误，水不会溢出水池。出错后同时打开1个出水管和1个进水管，每小时净进水量为$(2-1)$池，水刚好不溢出时总水量为1池，列方程得：
$\frac{5}{12} + (2-1)x = 1$
解得：$x = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$
换算为分钟：$\frac{7}{12}\ \mathrm{h} = \frac{7}{12}×60 = 35\ \mathrm{min}$
【答案】
工作人员最晚在出错后$\frac{7}{12}$小时（即35分钟）时纠正错误，水不会溢出水池。
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题，效率计算
【点评】
本题属于典型的动态水量类工程问题，解题核心是明确不同阶段的水管工作状态，准确计算各阶段的水量变化，注意统一单位后再列方程求解，能很好地考查分析分段问题的能力。
【难度系数】
0.6
这是一道进出水类的工程问题，解题时首先把满池水的总量看作单位“1”：第一步先统一时间单位，计算出进水管、出水管的工作效率；第二步计算只打开1个出水管5分钟后水池剩余的水量；第三步分析出错后的水管工作状态：此时同时打开了1个出水管和1个进水管，可算出此时的净进水效率；最后根据“剩余水量+出错时段的净进水量≤1（满池水量）”，设出错后x小时纠正错误，列一元一次方程求解最大的x即可。
【解析】
解：先统一单位：$5\ \mathrm{min} = \frac{5}{60}\ \mathrm{h} = \frac{1}{12}\ \mathrm{h}$
把满池水总量看作单位“1”，计算各管工作效率：
进水管的注水效率：$1÷\frac{1}{2}=2$（池/小时）
单个出水管的放水效率：$1÷1=1$（池/小时）
打开1个出水管5分钟后，水池剩余水量为：
$\frac{1}{2} - 1×\frac{1}{12} = \frac{5}{12}$（池）
设工作人员最晚在出错后$x\ \mathrm{h}$时纠正错误，水不会溢出水池。出错后同时打开1个出水管和1个进水管，每小时净进水量为$(2-1)$池，水刚好不溢出时总水量为1池，列方程得：
$\frac{5}{12} + (2-1)x = 1$
解得：$x = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$
换算为分钟：$\frac{7}{12}\ \mathrm{h} = \frac{7}{12}×60 = 35\ \mathrm{min}$
【答案】
工作人员最晚在出错后$\frac{7}{12}$小时（即35分钟）时纠正错误，水不会溢出水池。
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题，效率计算
【点评】
本题属于典型的动态水量类工程问题，解题核心是明确不同阶段的水管工作状态，准确计算各阶段的水量变化，注意统一单位后再列方程求解，能很好地考查分析分段问题的能力。
【难度系数】
0.6
